Endomorphismus, Polynom = 0

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new11 Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus, Polynom = 0
Hallo,
ich sitze ich vor einer Aufgabe und komme gar nicht weiter:
Es soll gezeigt werden, dass es zu jedem Endomorphismus f : V -> V eines endlich-dimensionalen Vektorraums V ein Polynom p Element von K(t)\{0} gibt mit p(f) = 0.

Ich weiß, dass hiermit das charakteristische Polynom von f gemeint ist. Das es sich bei den Nullstellen um Eigenwerte handelt ist klar.

Könnte mir jemand helfen?
Grüße
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Tach auch!

n:=dim(V)
Die Menge aller Endomorphismen bildet einen -dimensionalen Vektorraum. (Warum?!)
Nun schau Dir mal die Menge der Endomorphismen an. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

PS: Das charakteristische Polynom hat zwar auch diese Eigenschaft, aber das brauchst Du hier nicht. Es geht auch einfacher.
 
 
new11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Ich verstehe nicht so ganz was das mit der Menge der Endomorphismen heißen soll, also: f, f^2, f^3, ..
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Na ja, die Menge ist eine k-elementige Teilmenge von - dem oben erwähnten Vektorraum aller Endomorphismen, welcher die Dimension n² hat.
(Und bezeichnet hier die -malige Hintereinanderausführung von .)
new11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
mhh ... leider verstehe ich das nicht. Kannst Du mir das vielleicht genauer erklären? Was bringt mir das dann in meinem Beweis ... hab das noch nicht so richtig durchblickt.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Was verstehst Du nicht?
Ich gebe hier nur Ideen, Hinweise, ... Zusammensetzen musst Du das allein.

Wenn Du etwas von meinen Hinweisen nicht verstehst, dann sag mir doch bitte was genau.
Wenn Du dagegen einfach nur nicht weiterkommst, dann überlege einfach mal, was es bedeutet, dass Hom(V,V) die Dimension n² hat.

Gruß,
Reksilat.
new11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Sorry, ich stehe aber auf dem Schlauch. Ich kann mir nicht erklären, wie man auf die Dimension n^2 kommt. Auch das mit der Menge der Endomorphismen verstehe ich nicht richtig. Wenn ich das verstanden habe, dann fällt mir dazu evtl selber noch was ein. Könntest Du mir sagen, wie du darauf kommst und mir vielleicht einen kleinen Tipp geben inwieweit mich das bei der Aufgabe voran bringt?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Das mit der Dimension sieht man zum Beispiel, wenn man die Endomorphismen bezüglich einer beliebigen, fest gewählten Basis als Matrizen darstellt. Man erhält dann die Menge aller nxn-Matrizen mit Einträgen aus K und kann dafür dann eine Basis bestimmen.

Was Du an der Menge missverstehen kannst, ist mir allerdings nicht klar. Das ist eine Menge, die konkret angegeben wurde. Interessant wird dann allerdings, wie viele Potenzen von f man da letztendlich reinpacken muss, um den Beweis zu vollbringen, d.h. wie groß man das k wählen muss.
new11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
ich komme immer noch nicht weiter. ich weiß, dass es sich wahrscheinlich um den satz von cayley-hamilton handelt. haben schon versucht beweise zu verstehen von diesem satz, aber keinen gefunden, den ich gut nachvollziehen kann ... kann mir da jemand weiterhelfen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was gilt denn laut Definition, wenn die Menge linear abhängig ist?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Alles was Du brauchst, ist die Definition der Begriffe "linear unabhängig" und "Dimension", also lass irgendwelche schweren Zitate lieber bleiben. Das hier ist völlig elementar!

(Und deshalb ist es auch echt schwer, hier weiterzuhelfen, da von Dir ja leider nix kommt.)
tata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Hallo

Ich habe die gleiche Aufgabe hier.
Ich habe verstanden wie du auf dimHom(V,V)=n^2 kommst, ich weiß auch, was mit dieser Menge gemeint ist. Ich weiß aber auch nicht, wie ich damit nun die Aufgabe lösen soll??
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Wenn ein Vektorraum die Dimension x hat, welche Eigenschaft hat dann jede (x+1)-elementige Teilmenge dieses Vektorraums?
Sete Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Sie ist linear abhängig. dimension x heißt ja, dass die basis dimension x hat, d.h. der vektorraum lässt sich mit x vektoren aufspannen. Wenn cih mcih also im Z^4 befinde aber 5 Vektoren habe muss ja min. einer davon l.a. sein. Oder? :P
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
Und nun versuche das doch mal auf die Aufgabe anzuwenden. Augenzwinkern

PS: ist kein Vektorraum!
tata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Polynom = 0
ich steh auf dem schlauch, ich weiß wirlich nicht wie das mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen soll?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich mich nochmal einmische, aber vielleicht macht es ja wirklich klick, wenn man du mal das hier beantwortest:

Zitat:
Original von tmo
Was gilt denn laut Definition, wenn die Menge linear abhängig ist?


Der arme Reksilat postet ja jetzt schon seit gefühlten 10 Beiträgen fast die Komplettlösung und ihr wollt nicht auf ihn hören. Vielleicht finde ich ja Gehör.
Sete Auf diesen Beitrag antworten »

Das sie den Nullvektor enthält?^^ Also cih glaube eher das Problem ist nicht das zu verstehen was ihr schreibt sondern eher die Umsetzung auf die Aufgabe.
Evtl. könnt ihr sie mal für uns umformulieren dann sollte es evlt jedem klar sein
tata Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gilt:



Ist das richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr lineare Abhängigkeit wirklich so definiert? Wenn ja, zieh mal auf beiden Seiten ab.
tata Auf diesen Beitrag antworten »



Ok, aber wie hilft es mir bei der Aufgabe???
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der linken Seite steht eine 0. Auf der rechten Seite steht ein Polynom.

Suche diese beiden Stichworte mal im Aufgabentext.

PS: Und geh von der Leitung runter Augenzwinkern
Sete Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Lösung, also jetzt mal grob formuliert. Da es sich ja um einen endlichen VR handelt und ja bedeutet das es sich um einen linear abhängigen Vektor handelt.
Und da wie Reksilat geschrieben hat
Zitat:
Na ja, die Menge ist eine k-elementige Teilmenge von - dem oben erwähnten Vektorraum aller Endomorphismen, welcher die Dimension n² hat. (Und bezeichnet hier die -malige Hintereinanderausführung von .)

Ist dieses Polynom Element des VR?!?!
tata Auf diesen Beitrag antworten »

ok, langsam klingelt es.

Ist (f, f^1,f^2,...,f^k) eine Menge von Hom(V,V) mit k>= n^2. Dann muss obiges gelten oder? Da diese Menge l.a. ist. Damit ex. ein Polynom mit p(f)=0. Oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tata
Ist (f, f^1,f^2,...,f^k) eine Menge von Hom(V,V) mit k>= n^2. Dann muss obiges gelten oder? Da diese Menge l.a. ist. Damit ex. ein Polynom mit p(f)=0. Oder?


Setz dich nochmal in Ruhe hin und formuliere das mal verständlich. Es kann sein, dass du das richtige meinst, aber woher soll ich das wissen, wenn der erste Satz wie eine Frage formuliert ist, aber mit einem Punkt endet? Man könnte es Erbsenzählerei nennen, aber schließlich willst du ja, dass dir geholfen wird.
Sete Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist meine grobe Formulierung auch korrekt?! wenn ja dann schreibe ich das nochmal vernünftig hin :P!
tata Auf diesen Beitrag antworten »

Ok:

Sei dimV=n. Die Menge aller Endomorphismen V --> V bilden den Vektorraum Hom(V,V) mid dim Hom(V,V)=n^2
Sei (f, f^1,f^2,...,f^k) eine Menge aus Hom(V,V) mit k=n^2.
Dann gilt:



Sei p nun aus K[t], dh. mit
Mit r=n^2 und bzw.

Ist das so richtig?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht korrekt, denn es kann ja durchaus sein, dass die Menge linear unabhängig ist. Da Du in Deiner Summenformel aber eh mit drin hast, kann man gleich die Menge betrachten, wobei ist. Diese Menge hat dann n²+1 Elemente und ist insofern linear abhängig. Augenzwinkern

Weiterhin ist es GRUNDVERKEHRT mit irgendwelchen herumzuhantieren, wenn man sie vorher nicht korrekt eingeführt hat.
Besser: Wenn eine linear abhängige Menge ist, dann existieren mit und mindestens eins der ist ungleich Null.

(So wie Du das oben gemacht hast, stimmt es nämlich nicht. Nur weil die Menge linear abhängig ist, muss sich nicht zwangsläufig als Linearkombination der anderen Funktionen darstellen lassen.)

Gruß,
Reksilat.
new11 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich habe die Diskussion verfolgt. Habs jetzt endlich verstanden. Vielen Dank!!!!
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