Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?

24.10.2006, 22:13

Sebastian_K

Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?

Hallo,

das ist mein erster Versuch, eine "Zeigen Sie, dass"-Aufgabe zu lösen:

M ist eine Obermenge. A und B sind Teilmengen von M. C ist immer das Komplement zu einer Menge. Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} C(A \cup B) = C(A) \cap C(B) \end{eqnarray*}$

Meine bisherige Überlegung ist:

$\begin{eqnarray*} C (A \cup B) = \{x \in M | x \notin (A \cup B) \} = \{x \in M | x \notin A \wedge x \notin B\} = \{x \in M | x \in C(A) \wedge x \in C(B)\} = C (A) \cap C (B) \end{eqnarray*}$

Ist dieser Ansatz akzeptabel? Ist hier ein direkter Beweis möglich? Und wenn es in die richtige Richtung geht: muss noch mehr bewiesen werden?

Ich würde mich sehr über Eure Meinungen freuen!

Gruß,
Sebastian

24.10.2006, 22:25

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?
Da hast nur folgendes:

$\begin{eqnarray*} x \notin (A \cup B) \Leftrightarrow (x \notin A \land x \notin B) \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

24.10.2006, 22:34

Sebastian_K

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?
Danke für Deine Antwort!

Dann lag ich ja grundsätzlich, bis auf die versehntliche Vertauschung von \vee mit \wedge richtig. Ich habe als Mathe-Anfänger halt die Angst, zu wenig zu zeigen und wichtige Zwischenschritte auszulassen.

24.10.2006, 23:02

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?
OK, du hast es reineditiert (für den Thread ist das Editieren schwierig, weil jetzt für Leser nicht klar ist, um was es ging).

Jetzt stimmts aber Freude

.

Grüße Abakus smile

24.10.2006, 23:32

Sebastian_K

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?
NACHTRAG: Das war ein Irrtum.

25.10.2006, 17:26

Sebastian_K

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?
Wenn sich jemand freundlicher Weise noch die Zeit nehmen könnte, darauf zu schaue, wäre das toll. Ich verspreche auch, mich bei meinen nächsten Übungsblättern zurückzuhalten.

A und B sind wieder Teilmengen von M. C ist immer ein Komplement. Unter Berücksichtigung von C(C(A)) = A ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} C(A \cap B) = C(A) \cup C(B) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz ist:

$\begin{eqnarray*} C (C(A) \cup C(B)) = \{ x \in M | x \notin \{C(A) \cup C(B)\}\} = \{x \in M | x \notin \{x \notin A \vee x \notin B \}\} = \{ x \in M | x \in \{x \in A \wedge x \in B\}\} = A \cap B = C(C(A \cap B)) \end{eqnarray*}$

Ist diese Lösung ausreichend?

Gruß,
Sebastian

NACHTRAG: Zwei Mengen sind doch gleich, wenn sie das gleiche Komplement haben?

25.10.2006, 23:33

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?

Zitat:

Original von Sebastian_K
$\begin{eqnarray*} C (C(A) \cup C(B)) = \{ x \in M | x \notin \{C(A) \cup C(B)\}\} = \{x \in M | x \notin \{x \notin A \vee x \notin B \}\} = \{ x \in M | x \in \{x \in A \wedge x \in B\}\} = A \cap B = C(C(A \cap B)) \end{eqnarray*}$

Ist diese Lösung ausreichend?

Die Schreibweise hier macht keinen Sinn: $\begin{eqnarray*} \{C(A) \cup C(B)\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge, die als einzigstes Element eine andere Menge enthält. Wenn schon so, dann müsstest du es sauberer schreiben.

Besser ist, es ohne den Weg über das Komplement zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} x \in C(A) \cup C(B) \Leftrightarrow (x \in C(A) \lor x\in C(B)) \Leftrightarrow~ ... \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

25.10.2006, 23:44

Sebastian_K

Auf diesen Beitrag antworten »

Die falsche Schreibweise leuchtet mir ein. Laut der Aufgabenstellung müssen wir dies mit Hilfe von C(C(A) = A zeigen. Kreativität steht uns wohl nicht zu:

Ginge es denn so?

$\begin{eqnarray*} C (C(A) \cup C(B)) = \{ x \in M | x \notin (C(A) \cup C(B))\} = \{x \in M | x \notin \{x \notin A \vee x \notin B \}\} = \{ x \in M | x \in \{x \in A \wedge x \in B\}\} = A \cap B = C(C(A \cap B)) \end{eqnarray*}$

26.10.2006, 14:03

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sebastian_K
Ginge es denn so?

$\begin{eqnarray*} C (C(A) \cup C(B)) = \{ x \in M | x \notin (C(A) \cup C(B))\} = \{x \in M | x \notin \{x \notin A \vee x \notin B \}\} \end{eqnarray*}$

Die Mengenschreibweise geht so nicht. Wenn dann so:

$\begin{eqnarray*} ... = \{x \in M | x \notin \{x \in M | x \notin A \vee x \notin B \}\} \end{eqnarray*}$

Die Schreibweise ist jedoch fürchterlich (besser gar nicht erst angewöhnen). Ansonsten muss da ein "und" statt eines "oder" stehen.

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Komplement-Aufgabe - Ist meine Überlegung richtig?

Verwandte Themen