Unterräume und Invarianzen

07.04.2010, 22:35

D@Npower

Unterräume und Invarianzen

Guten Abend! smile

Die original Aufgabe lautet wie folgt:
Sei V ein K-Vektorraum und U Teilmenge von V ein Unterraum.
Seien $\begin{eqnarray*} \phi , \psi : V \to V \end{eqnarray*}$ Endomorphismen und $\begin{eqnarray*} \lambda , \mu \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ so, dass U psi- und phi-invariant sei.
Zu zeigen ist, dass U dann auch $\begin{eqnarray*} \lambda \phi \end{eqnarray*}$ - und $\begin{eqnarray*} \mu \psi \end{eqnarray*}$ -invariant ist.

Meine Frage ist nun, wie dies am besten zu zeigen ist.
Dass U psi- und phi-invariant ist, heisst, dass psi(U) und phi(U) Teilmenge von U sind.
Besten Dank im Voraus für die Hilfe / Tipps smile

08.04.2010, 07:14

kiste

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Das ist trivial da U ein Unterraum ist!

08.04.2010, 11:41

D@Npower

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Das habe ich auch gedacht, aber wenn die Aufgabe schon so lautet, kann ich doch nicht gut schreiben (so wie ich es eigentlich ursprünglich hatte):

Da U ein phi- und psi-invarianter Unterraum ist, gilt, dass phi(U) und psi(U) Teilmengen von U sind. Da Lambda und Müh in K sind, gilt nach Definition automatisch, dass U dann auch Lambda*phi und Müh*Psi-invariant ist.

(oder doch?) smile

11.04.2010, 00:34

Sebi06

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Wie würdet ihr denn folgendes zeigen? :

Sei Phi: V-->V ein Endomorphismus mit Phi(U) Teilmenge von U, und sei Lambda in K mit VEig(Phi,Lambda) geschnitten mit U ist nicht {0}.
Dann gilt bereits Eig(Phi,Lambda) geschnitten mit U ist nicht 0.

12.04.2010, 21:13

D@Npower

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Hey zusammen!

Also, zu meiner Frage (dessen Antwort eigentlich trivial ist), habe ich folgendes gemacht (zeigen muss man es ja trotzdem, irgendwie..) smile

Sei Phi(U) Teilmenge von U und Psi(U) Teilmenge von U. U sei also Phi- und Psi-invariant.
Durch die Eigenraumzerlegung eines Endomoprhismus Phi / Psi ergibt sich V als direkte Summe invarianter Unterräume. Die Einschränkung von Phi / Psi auf den Eigenraum V_(Lambda) ist dabei die Abbildung $\begin{eqnarray*} \lambda id_{V \lambda} \end{eqnarray*}$ . Gilt zudem dim(V_(Lambda)) > 1, so lässt sich die Zerlegung weiter verfeinern, denn durch Wahl einer Basis findet man eine direkte Summenzerlegung der Eigenräume in eindimensionale, invariante Unterräume.

$\begin{eqnarray*} V = U_1 \oplus ... \oplus U_t \end{eqnarray*}$ sei eine direkte Zerlegung des VR V in eine Summe Phi-/Psi -invarianter Unterräume U_i. Phi_i und Psi_i bezeichnen die Einschränkungen von Phi / Psi auf U_i. Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi = \phi_1 \oplus ... \oplus \phi_i \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \psi = \psi_1 \oplus ... \oplus \psi_i \end{eqnarray*}$ die durch lineare Fortsetzung gegebene direkte Summe der Endomorphismen $\begin{eqnarray*} \phi_i: V_i \to V_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi_i: V_i \to V_i \end{eqnarray*}$

Da Lambda und Müh Element von K sind, folgt automatisch, dass U auch Lambda-Phi- und Müh-Psi- invariant sind.
(weil $\begin{eqnarray*} \lambda \phi = \lambda \phi_1 \oplus ... \oplus \lambda \phi_i \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mu \psi = \mu \psi_1 \oplus ... \oplus \mu \psi_i \end{eqnarray*}$ die durch lineare Fortsetzung gegebene direkte Summe der Endomorphismen $\begin{eqnarray*} \lambda \phi_i: V_i \to V_i \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mu \psi_i: V_i \to V_i \end{eqnarray*}$ sind.

Hmm..Sebi's Frage würde ich so beantworten:
Sei V ein VR über einen Körper K und Phi Element von End(V) ein Endomorphismus.
Eig(Phi, Lambda) heisst dann der Eigenraum zum EW Lambda von Phi.
Es gelte zudem Lambda Element von K mit VEig(Phi, Lambda) geschnitten mit U != {0}

$\begin{eqnarray*} Eig( \phi, \lambda) := Kern( \phi - \lambda id_V) = \{ x \in V | \phi(x) = \lambda x \} = \{ x \in V | x \neq 0, \phi(x) = \lambda x \} \cup \{ 0 \} \end{eqnarray*}$

Wird der letzte Ausdruck nun noch geschnitten mit U, so ergibt die Schnittmenge sicher nicht 0 (da U Teilmenge von V ist).
q.e.d.

13.04.2010, 03:33

kiste

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Äh ich dachte eher sowas wie $\begin{eqnarray*} u\in U \Rightarrow \phi(u) \in U \Rightarrow \lambda \phi(u) \in U \Rightarrow (\lambda\phi)(u) \in U \end{eqnarray*}$

13.04.2010, 20:27

WebFritzi

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Zitat:

Original von D@Npower
Durch die Eigenraumzerlegung eines Endomoprhismus Phi

Das geht im Allgemeinen nur, wenn Phi diagonalisierbar ist. Und das ist hier nicht gegeben.

14.04.2010, 20:17

D@Npower

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Du hast recht, kiste..warum es kompliziert machen, wenn es doch so einfach ginge :P

Danke auch an WebFritzi..stimmt, die Diagonalisierbarkeit wäre für meinen Weg natürlich eine benötigte Voraussetzung..

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