Geraden, Ebenen und Vektoren

08.04.2010, 12:04

Gladiator

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Geraden, Ebenen und Vektoren

Hi!

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie das geht.

Es seien die Punkte A( 1 | 1 | 0 ), B( -1 | 2 | 1 ) und C( 2 | -2 | 3 ) gegeben.

a) Zeichnen Sie die Punkte in ein räumliches Koordinatensystem ein und verbinden Sie diese zu einem Dreieck.

b) Berechnen Sie die Länge aller drei Seiten des Dreiecks und bestimmen Sie die Größe aller drei Winkel.

c) Es gibt eine eindeutig bestimmte Ebene E, in welcher alle drei Punkte liegen. Geben Sie für E eine Ebenengleichung in Parameter- und eine Ebenengleichung in Koordinatenform an.

d) Zusätzlich sei der Punkt D( 0 | 5 | 0 ) gegeben. Geben Sie eine Gleichung derjenigen Geraden an, die durch D geht und auf der Ebene E senkrecht steht.

Bestimmen Sie den Schnittpunkt F von g und E und geben Sie den Abstand von D zur Ebene E an.

Bin noch bei A beim Zeichnen... Hatte bisher nur Zweidimensionales gezeichnet.
Soweit ich weiß, werden Punkte so definiert: A ( z | x | y ). Ist das richtig?

LG

08.04.2010, 12:12

klarsoweit

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RE: Geraden, Ebenen und Vektoren

Zitat:

Original von Gladiator
Soweit ich weiß, werden Punkte so definiert: A ( z | x | y ). Ist das richtig?

Üblicherweise nimmt man A ( x | y | z ). Also als erstes steht da die x-Komponente, dann die y-Komponente und zuletzt die z-Komponente.

08.04.2010, 12:37

Vinyl

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Schau dich mal bei Oberprima um. Da ist eigentlich alles sehr gut und genau erklärt, in Videos, was du gefagt hast.

Siehe hier!

Gruß Vinyl

08.04.2010, 15:02

Gladiator

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Danke erstmal!

Leider funktioniert bei mir der Sound gerade nicht... Deshalb bringen diese Videos nicht so viel. Kann jemand irgendwie an einem Beispiel erklären, wie ich einen dreidimensionalen Punkt einzeichne?

LG

08.04.2010, 18:03

Vinyl

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Schau dir mal dieses Bild ganz genau an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht hilft es ja.

[attach]14151[/attach]

Vinyl

09.04.2010, 10:17

Gladiator

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Das sieht jetzt kompliziert aus...
Bei Punkt A wurde 4 nach rechts und 2 nach oben gegangen... und was heißt die 6? Diagonale Länge?
Und bei B wird es noch komplizierter...
Hmm.

LG

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09.04.2010, 10:20

Gladiator

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Ah habs jetzt verstanden. Big Laugh

Big Laugh

das ganze geht von x1 aus. Danke.

Sry wegen Doppelpost.

09.04.2010, 12:38

Vinyl

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Nochmal zur Sicherheit.
Du gehst 2 Schritte nach vorne, also zu dir her, 6 nach rechts und 4 nach oben für Punkt A
Analog dazu kannst du für Punkt B vorgehen.

09.04.2010, 14:40

Anonymer Mathefreak

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Mit welchem Programm wurde denn die grafik erstellt?

09.04.2010, 16:16

Gladiator

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Würde mich auch interessieren.

Wie gehe ich denn jetzt bei b) bei der Seitenlängen- und Winkel-Berechnung vor?

LG

09.04.2010, 16:37

Dustin B

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Kann mir mal wer sagen, wo hier der Login Button ist? Bin eigtl unter dem Namen Dustin registriert...

Zur Aufgabe:
Also a) ist klar? Die x- Achse geht diagonal nach links unten, die y-Achse nach rechts und die z-Achse nach oben. Für A(2/4/6) gehst du also 2 Kästchen diagonal nach inls unten, 4 nach rechts und 6 nach oben.

Bei b): Seitenlänge berechnet man mit Pythagoras. Zum Beispiel Länge von A nach B:
A(1/1/0), B(-1/2/1)

Also lautet der Vektor von A nach B mit Spitze minus Fuß, also B-A= (-2/1/1)
Länge mit Pythagoras: l²=(-2)²+1²+1²=6, also l(AB)= wurzel(6)

09.04.2010, 17:11

Vinyl

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Hallo Dustin B
Ganz oben im Forum!
Wenn du jemandem helfen willst, dann bitte nicht so. Die Hilfe beruht in diesem Board auf Selbsthilfe.
Also werden gemäß dem Matheboard Prinzip hier keine Komplettlösungen gepostet, so wie du es eigentlich getand hast, wobei ich bezweifle, das Gladiaor irgendetwas davon verstanden hat.

@ Gladiator:

Den Betrag eines Vektor, also seine Länge, erhälst du mit dem sogenannten "Doppelten Pythagoras", wie es in der Schule gelehrt wird.

Nun erst einmal die Frage, hast du die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}\ (=\vec{AB}) ; \vec{b}\ (=\Vec{BC}) ; \vec{c}\ (=\vec{AC}) \end{eqnarray*}$ bestimmt?

Die Länge/der Betrag ergibt sich hieraus:

$\begin{eqnarray*} Betrag=|\vec{a}|=\sqrt{x_{1}\ ^{2}+x_{2}\ ^{2}+x_{3}\ ^{2}} \end{eqnarray*}$

[edit: @ Dustin B: Mach bitte einen neue Beitrag für deine Frage auf. Ich würde es ja gerne machen, aber das können nur Admins und Vergleichbare]

09.04.2010, 17:13

Vinyl

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Diese Seite könnte noch ganz interessant für dich sein, Gladiator.

Vinyl

09.04.2010, 17:16

Dustin B

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Hi Vinyl!
Danke für die Orientierungshilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich bin selbst auch mehr für Selbsthilfe! Aber wenn er keine Ahnung hat was er tun soll, wo soll man dann ansetzen? Dann muss man doch mal ein Beispiel erklären??? Außerdem war das von mir keine Komplettlösung, denn die anderen beiden Seitenlängen habe ich ja nicht vorgerechnet!!

10.04.2010, 09:40

Gladiator

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Das hat mir jetzt schon sehr geholfen, die Seitenlängen habe ich fertig, allerdings kommen als nächstes die Winkel... ich weiß noch, dass da was mit Ankathete und Gegenkathete war, aber hilft mir das hierbei? Wie muss ich als nächstes vorgehen?

LG

10.04.2010, 12:50

Vinyl

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Weist du wie eine Grade im Dreidimensionalen Raum aufgebaut ist?
Wenn nicht, ist dieser Artikel hilfreich für dich.

[edit: Betrachte bei dem Link zu Wikipedia den Abschnitt: "Bestimmung der Gleichung einer Geraden im dreidimensionalen Raum"]

Als Hinweis:
Ganz am Anfang hast du ja zwei Vektoren errechnet. Wenn du aus diesen Vektoren "machen" willst, benötigst du noch einen sog. Stützvektor, von dem aus die Grade sozusagen los geht. In unseren Beispielen am Anfang wäre der Stützvektor (0|0|0), da die Gerade ja durch den Ursprung geht. Vielleicht etwas viel grade auf einmal, aber evtl. verstehst du ja etwas. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du das verstanden hast, verstehst du auch untenstehendes Zitat. Für dich ist jetzt nur der zweite Fall interessant.

Zitat:

Original von Vinyl
Also. Der Winkel errechnet sich zwischen zwei Ebenen so:

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma)=\frac{|\vec n_{1} \cdot \vec n_{2} |}{|\vec n_{1}| \cdot |\vec n_{2} |} \end{eqnarray*}$

Zwischen zwei Graden so:

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma)=\frac{|\vec r_{1} \cdot \vec r_{2} |}{|\vec r_{1}| \cdot |\vec r_{2} |} \end{eqnarray*}$

Und zwischen einer Grade und einer Ebene so:

$\begin{eqnarray*} sin(\gamma)=\frac{|\vec r_{1} \cdot \vec n_{1} |}{|\vec r_{1}| \cdot |\vec n_{1} |} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ einem Richtungsvektor entspricht,

und $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ einem Normalenvektor.

10.04.2010, 13:36

Gladiator

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Das sieht jetzt etwas kompliziert aus... Was wären denn die Richtungsvektoren bei meiner Aufgabe? Wäre das eine der errechneten Geraden?

LG

10.04.2010, 14:28

Vinyl

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Hmm, ja nun hab ich dir das Leben etwass schwer gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Vektoren, die du errechnet hat, also zwischen AB, BC usw., dass sind die Vektoren, die du in die Formel einsetzen musst, wenn du den Winkel suchst, den sie einschließen.

Im Zähler musst du die Vektoren Skalar-Multiplizieren, und im Nenner, musst du ihre Beträge multiplizieren.

Beispiel zur Skalarmultiplikation aus Wikipedia:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} =1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36 \end{eqnarray*}$

10.04.2010, 19:46

Gladiator

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Toll, danke, das hilft mir weiter. smile

smile

An c) setze ich mich dann morgen ran, das hört sich kompliziert an. Big Laugh

Big Laugh

LG

10.04.2010, 20:20

Vinyl

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Vielleicht ist es gut zur Kontrolle, wenn du mir die drei Winkel nennst, und ich sie bestätigen kann.

Vinyl

c) ist nicht wirklich schwerer.

11.04.2010, 09:20

Gladiator

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Hab die Winkelgrößen gerade berechnet, aber die Werte sehen etwas komisch aus...

AB = 73°
BC = 107°
AC = 90°

Beispiel A: Hab zuerst 1 * -1 + 1 * 2 + 0 * 1 gerechnet. Da kommt +1 raus.
Dann:
1² + 1² + 0² = Wurzel 2
-1² + 2² + 1² = Wurzel 6

Danach die Gleichung 1/(Wurzel 2 * Wurzel 6) = 0,29
und dann cos^-1(0,29) = 73°

Ist daran was falsch?

LG

11.04.2010, 10:01

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

@Gladiator
Du hast den Winkel berechnet, den die Ortsvektoren von A und B im Ursprung einschließen. Der ist aber nicht gefragt, sondern die drei Winkel des Dreiecks ABC.

Für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ : der wird von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$ eingeschlossen, das bedeutet, Du musst diese beiden Vektoren mal berechnen, dann daraus das Skalarprodukt bilden, dieses durch das Produkt der beiden Beträge teilen. Damit hast Du den Cosinus von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Verständlich?

11.04.2010, 10:43

Vinyl

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits gesagt wurde, du hast einen falschen Winkel berechnet.
Ich hab das mal in einer Skizze veranschaulicht.

[attach]14193[/attach]

Du hast den "gelben Winkel" berechnet. Aber es sind die Winkel vom Dreieck (rot) gefragt.

Vinyl

[edit: Aber vom Prinzip her bist du richtig vorgegangen!]

11.04.2010, 14:03

Gladiator

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt genau so gut wie ihr, dass folgende Winkel richtig sind. Big Laugh

Big Laugh

Alpha = 101°
Beta = 52°
Gamma = 27°

Macht zusammen 180°.

Zu c) Hab' da mal was aufgestellt zur Koordinatengleichung:

x = (1|1|0) + r*(-1|2|1) + s*(2|-2|3)

und was muss ich damit jetzt machen?

11.04.2010, 14:58

Vinyl

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Winkel scheinen richtig zu sein!

Dein Versuch mit der Koordinatengleichung einer Ebene ist leider schief gelaufen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Stützvektor, der auf die Ebene führt ist richtig.
Doch deine Spannvektoren (die mit den Parametern r und s davor) sind falsch.

Stell dir das so vor.
Der Stützvektor führt auf die Ebene.
Die Spannvektoren liegen in der Ebene.

Ungefähr so: (Nur als Beispiel)

[attach]14200[/attach]

Vinyl

[edit: In der Skizze habe ich ausversehen zwei Punkt mit B benannt. Einer davon ist Punkt C. Sorry Gott

Gott

]

11.04.2010, 15:54

Gladiator

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, hab' mich sowieso vertan, wollte erst die Parametergleichung machen.

Wäre das denn richtig?

x = (1|1|0) + r*(B-A) + s*(C-A)

LG

11.04.2010, 15:57

Vinyl

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, das wäre vollkommen richtig.
Die Vektoren musst du aber natürlich hinschreiben.

LG

11.04.2010, 19:42

Gladiator

Auf diesen Beitrag antworten »

Supi.

smile

War nur ein bisschen faul alles aufzuschreiben. :P

Und wie muss ich bei der Koordinatengleichung vorgehen?

LG

11.04.2010, 23:34

Vinyl

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Umformung zur Koordinatenform musst du zuerst den Normalenvektor deiner Ebene bestimmt.
Dieser steht senkrecht zu der Ebene. (siehe Bild)
Er wir berechnet mittels des Kreuzproduktes der zwei Spannvektoren.
Siehe dazu hier!
Schaue bei dem Artikel in Wikipedia unter "Normale und Normalenvektor einer Ebene"
Die Spannvektoren in dem Beispiel dort sind $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$

Um sich da gut merken zu können, gibt es bei dem Kreuzprodukt einen guten und wirksamen Trick!
Ich kann das hier leider schlecht zeigen, deswegen mal ein Bild.
[attach]14215[/attach]

Zur Erklärung:
Schreibe zu erst jeweils beide Spannvektoren untereinander.
Das sähe dann im Beispiel des Bildes so aus:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	3 4 2 1 1 2 3 4 2 1 1 2

Streiche dann die obere und die untere Zeile weg.
Was übrig bleib, steht dann weiter im Beispiel.
Schau dir das Bild mal genau an und studiere es. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist grade etwas schwer schriftlich zu erklären.
Aber man sollte sehen was da gemacht wird!
Viel Erfolg.

Vinyl

12.04.2010, 12:55

Gladiator

Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, habe das soweit verstanden und werde das jetzt berechnen.
Ich melde mich dann wieder.

LG

12.04.2010, 15:59

Vinyl

Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar! Freude

Freude

LG Vinyl

12.04.2010, 19:28

Anonymer Mathefreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Vinyl
[attach]14215[/attach]
Vinyl

Danke Jetzt hab ich das auch mal Verstanden, kollege aus dem Studium nimmt immer die Variante, ich hingegen nehme hier immer den Sarrus fand den bisher einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2010, 19:54

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Mathefreak,
Sarrus, Der Satz von Sarrus, hat mit Determinaten zu tun???
Das Kreuzprodukt ist etwas anderes!

Oder möchtest du hier mal deine Vorgehensweise verdeutlichen?

12.04.2010, 22:41

Gladiator

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine Lösung:

AB( -2 | 1 | 1 )
AC( 1 | -3 | 3 )

1 -3
1 3
-2 1
1 -3
=
1 x 3 - (-3 x 1) = 0
1 x 1 - 3 x (-2) = -5
-2 x (-3) - 1 x 1 = 5

Doofe Frage, aber muss ich jetzt noch was bei c) machen? :p

12.04.2010, 23:05

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Da sind noch einige Vorzeichenfehler drin...

13.04.2010, 07:22

Anonymer Mathefreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Mathefreak,
Sarrus, Der Satz von Sarrus, hat mit Determinaten zu tun???
Das Kreuzprodukt ist etwas anderes!

Oder möchtest du hier mal deine Vorgehensweise verdeutlichen?

Da muss ich dir zustimmen, aber du kannst ja auch eine Matrix in der Form aufstellen

$\begin{eqnarray*} R= \begin{pmatrix} ex & v1x & v2x \\ ey & v1y & v2y\\ ez & v1z & v2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei v1 der vektor 1 ist und v2 der Vektor 2 und dann kannst du den Sarrus auf das Kreuzprodukt anwenden und schreiben

du schreibst da dann unterinander die einheitsvektoren ex, ey und ez die dann beim Sarrus die Position angeben.

€dit: und erweiterst um die ersten 2 Spalten vorne.

$\begin{eqnarray*} R= \begin{pmatrix} v1y*v2z - v1z*v2y \\ v2x*v1z - v2z*v1x \\ v1x*v2y - v1y*v2x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Siehe auch hier Kreuzprodukt

€dit: diese Methode kenne ich auch aus Vielen Mathe Büchern, wie z.B: dem Papula.

13.04.2010, 09:19

Gladiator

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Hmm, will das jetzt aber so weitermachen.
Also nochmal:

1 x 3 - (-3 x 1) = 3 - (-3) = +6
1 x 1 - (3 x -2) = 1 - (-6) = +5
-2 x (-3) - 1 x 1 = 6 - 1 = +5

So richtig?

LG

13.04.2010, 12:01

Anonymer Mathefreak

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nicht ganz die erste und dritte zeile stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

korrigier mal Zeile 2 Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2010, 12:05

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Gladiator...schau dir nochmals die zweite Zeile an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Richtig umgeformt, aber das Ergebnis...

@ Mathefreak:
Ahh ich verstehen, aber wie dort angesprochen ist es SYMBOLISCH mit
dem Satz von Sarrus gleichzusetzen xD, war deshalb etwas verwundert^^
Aber gut, man lernt nur dazu Big Laugh

Big Laugh

13.04.2010, 13:24

Gladiator

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach bin ich doof "1 + 6 = 5" Big Laugh

Big Laugh

7 ist richtig, ist ja schlimmer als inner ersten Klasse mit mir.

Muss ich denn noch was bei c) machen oder kann ich jetzt zu d)?

LG

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