Summenwert einer Reihe in Schranken einschließen

08.04.2010, 15:19

LarsEUM

Summenwert einer Reihe in Schranken einschließen

Ich habe eine Reihe gegeben, die in Schranken die sich nicht mehr als 0,001 vonenander unterscheiden sollen. Nun kann ich ja hingehen, und die einzelnen Partialsummen berechnen. Durch den Vergleich der einzelnen Summen werde ich sicherlich zu dem gewünschten Ziel kommen. Nur geht das auch eleganter?

08.04.2010, 15:39

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

08.04.2010, 15:53

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab hier im Skript unter Leibniz-Kriterium sowas stehn wie:

$\begin{eqnarray*} | s-\sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_{k} | \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Also der Abbruchfehler ist höchstens so groß wie das erste vernachlässigte Glied.

Also anstatt des ersten vernachlässigten GLiedes könnte ich vielleicht 0,001 einsetzen ? Dann müsste ja das Ergebnis für n die linke Schranke sein, oder?

Nun, wahrscheinlich ist das schon falsch, aber das bin ich gewohnt.

Nun fehlt mir der Grenzwert s und eine Formel für die n-te Partialsumme. Also alles zwischen den Betragstrichen. :-)

Ist da ein ansatzfähiger Gedanke dabei ?

08.04.2010, 16:26

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LarsEUM
Ich habe eine Reihe gegeben, die in Schranken die sich nicht mehr als 0,001 vonenander unterscheiden sollen. Nun kann ich ja hingehen, und die einzelnen Partialsummen berechnen. Durch den Vergleich der einzelnen Summen werde ich sicherlich zu dem gewünschten Ziel kommen. Nur geht das auch eleganter?

Ich schätze mal, dass du eine konkrete Reihe gegeben hast? So allgemein kann man nämlich wirklich nicht viel sagen... Augenzwinkern

Das "Ja." war nur als kleine Provokation gedacht. smile

Edit: Aus deinem Ansatz könnte man evtl. etwas machen, aber das hängt davon ab, wie die Reihe aussieht... Und vermutlich hast du's nicht ganz korrekt abgeschrieben (zumindest mit den Grenzen und so).

09.04.2010, 11:18

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp. Habe den Fehler oben korrigiert.

Die Reihe lautet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^{3} } \end{eqnarray*}$

Ich muss glaub ich noch ein bisschen Arbeit in die Suche der Formeln für den Grenzwert und die n-te Partialsumme stecken, um obigen Ansatz anzuwenden.

09.04.2010, 11:42

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand einen Tipp? Mir fehlt anscheinend das Grundverständnis die Formeln zu erkennen selbst wenn sie mir auf dem Silbertablett serviert werden, geschweige denn sie zu entwickeln.

Ich würd mich ja gerne mit Mathematik anfreunden, aber sie ist sehr zickig. Mit Zunge

09.04.2010, 11:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LarsEUM
Ich habe eine Reihe gegeben, die in Schranken die sich nicht mehr als 0,001 vonenander unterscheiden sollen.

Grammatikalisch und inhaltlich ist dieser Satz eine einzige Katastrophe und eines Studenten ganz einfach unwürdig. Ich könnte mir vorstellen, dass du folgendes meinst:

Man gebe eine Intervall an, welches nicht breiter als 0,001 ist und den Reihenwert beinhaltet.

----------------------------------------------

Naja, dann kannst du ja das für Leibniz-Reihen gültige

Zitat:

Original von LarsEUM
$\begin{eqnarray*} \left| s-\sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_{k} \right| \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

hier auf den Fall $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{k^3} \end{eqnarray*}$ anwenden: Indem du ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^3} \leq \frac{0.001}{2} \end{eqnarray*}$

findest. Dann sind die beiden Partialsummen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_{k} \end{eqnarray*}$ und die nächste $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1} a_{k} \end{eqnarray*}$ geeignete Intervallgrenzen für die obige Frage - warum?

EDIT: Ok, es genügt auch schon

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^3} \leq 0.001 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

09.04.2010, 11:54

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort, ich werde versuchen damit zu arbeiten.
Jeder Mensch macht mal einen Flüchtigkeitsfehler, es ist mir nicht klar weshalb dermaßen ... auf diesem einen Satz rumgehackt wird. Ein friedvoller Umgang miteinander würde den Spaß an der Mathematik im Rahmen dieses Forums sicherlich wahren.

09.04.2010, 12:00

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es mittlerweile nicht mehr politisch korrekt ist, gravierende Formulierungsfehler (die nichts mit Flüchtigkeit zu tun haben) anzusprechen, dann bitte ich vielmals um Entschuldigung. Auf Wiedersehen. Wink

09.04.2010, 12:18

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es einfach "nicht politisch korrekt" zu unterstellen, man könne keinen korrekten Satz formulieren. Das ist herabwürdigend. Aber wems Spaß macht, du kannst den Fehler gerne behalten, hast ihn ja auch gefunden. smile

So, schluss jetzt mit dem Quatsch; das macht nur schlechte Laune und verschwendet Ressourcen.

Ja, das ist logisch dass es ausreicht, wenn

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^{3} }\leq 0,001 \end{eqnarray*}$

Ok, mir hilft der Hinweis, dass das erste Abbruchglied kleiner gleich 0,001 ist. Das bringt mich ab von dem Glauben, ich müsse irgendeine Partialsumme der Reihe berechnen.

Mal schauen ob ich damit weiterkomme.

09.04.2010, 12:48

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Antwort lautet n größer gleich 9. DIe Musterlösung lautet leider 10.

09.04.2010, 12:51

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, hab noch nen Fehler gefunden ..........

09.04.2010, 13:13

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlts mir leider wieder an Grundfähigkeiten:

Wenn ich
$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n+1} }{(n+1)^{3}} \leq 0,001 \end{eqnarray*}$

nach n Auflösen möchte, dann komme ich hier an:

$\begin{eqnarray*} (n+1)*ln(-1)\leq ln (0,001*(n^{3}+3n^{2}+3n+1)) \end{eqnarray*}$

Nur ist ja ln(-1) nicht reell. Und ich frage mich auch ob es wirklich so ist, dass ich alles rechts neben ln einklammern muss. Sprich: Ist die äußere Klammer auf der rechten Seite korrekt, oder kann ich durch ln 0,001 teilen?

09.04.2010, 13:31

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Uff... Vielleicht mangelts hier an Verständnis für den Ursprung deiner Formel. Ich erklär's dir mal kurz:

Zitat:

Original von LarsEUM
$\begin{eqnarray*} \left| s-\sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_{k} \right| \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

"s" ist darin ja eigentlich die ganze Reihe, also könnte man auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} \left| s-\sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_{k} \right| = \left| \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} a_{k}-\sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_{k} \right| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^\infty (-1)^{k+1} a_{k} \right| \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss du jedoch, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist (beachte, dass die Folge selber nicht alternierend ist!).

Du hast jetzt ja noch stehen:

$\begin{eqnarray*} | (-1)^{n+2}\cdot (a_{n+1} - a_{n+2} + a_{n+3} - a_{n+4} + ... )| = | (-1)^{n+2}| \cdot | (a_{n+1} - a_{n+2} + a_{n+3} - a_{n+4} + ... )| = |(a_{n+1} - a_{n+2} + a_{n+3} - a_{n+4} + ... )| \end{eqnarray*}$

Einerseits ist das nun

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - \underset{positiv}{\underbrace{(a_{n+2} - a_{n+3})}} - \underset{positiv}{\underbrace{(a_{n+4} - a_{n+5})}} - ... \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Andererseits jedoch auch

$\begin{eqnarray*} \underset{positiv}{\underbrace{(a_{n+1} - a_{n+2})}} + \underset{positiv}{\underbrace{(a_{n+3} - a_{n+4})}} + ... \geq 0 \end{eqnarray*}$

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \left| s-\sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_{k} \right| \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Und daher kommt deine Formel.
Bei dir also $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ .

09.04.2010, 13:38

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens, korrigiert hast du also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 }{(n+1)^{3}} \leq 0,001 = \frac{1}{10^3} \end{eqnarray*}$

Da solltest du schnell sehen für welche n das gilt. smile

ps.: Ich weiss auch nicht warum die Leute, die hier - freiwillig - helfen, im Allgemeinen so unglaublich "sozial" im Umgang sind... Am besten schaut man darüber einfach hinweg und versuchts gar nicht zu beachten. Big Laugh

09.04.2010, 13:49

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow,

da kommt man ja ins Staunen. :-)
Und Freude kommt hinzu, da ich deiner Antwort mit ein wenig nachdenken auch folgen konnte.

Das ganze Problem das ich mit ln(-1) hatte, ist nichtig, da ich den >Vorzeichenwechsel nicht beachten muss, weil ja die Reihe (du schriebst Folge, ist der Begriff austauschbar?) selbst nicht alterniert.

Ich freue mich drauf, diese Logik an den folgenden Aufgaben auszuprobieren.

Freude

Wenn ich das richtig sehe, müsste n = 9 sein. Das sind zwar nicht die gefragten 10, oder besser der Abstand zwischen dem 10ten und 11ten Glied, aber imnmerhin nah dran.

09.04.2010, 14:15

LarsEUM

Auf diesen Beitrag antworten »

Yes, Vielen Dank !!!

Bei der nächsten Aufgabe hat es geklappt. Sehr schön.

09.04.2010, 15:19

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LarsEUM
Ich finde es einfach "nicht politisch korrekt" zu unterstellen, man könne keinen korrekten Satz formulieren.

Du kannst die Verdrehungen nicht lassen, was? Ich habe von diesem EINEN Satz gesprochen, der gar kein richtiger Satz war - ich habe dir NICHT unterstellt, dass du keinen korrekten Satz formulieren kannst. Und leider war dieser eine Satz der wesentliche, was die Aufgabenstellung betrifft. Ich finde es wirklich traurig, dass du diesen Fehler nicht zugeben kannst, und stattdessen hier die Beleidigtennummer abziehst. unglücklich

09.04.2010, 15:24

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich verteidige Arthur auch noch gleich:

Flüchtigkeitsfehler - da sagt kein Mensch was. Auch kann ein Satz ja mal misslingen. Problematisch wird es aber, wenn der Satz die Aufgabenstellung beinhaltet und derart sinnfrei ist, dass er keine Informationen über die Aufgabe enthält, die man lesen kann.

Eigentlich ist es nicht nur deine Pflicht, sondern v.a. auch in deinem eigenen Interesse, dass du den Post notfalls nochmal querliest. Dann sollte dir das ja auffallen.
Dass du die Problemstellung im Kopf hast ist schön und gut. Wir nicht. Und ohne eine Aufgabenstellung fällt Hilfe ziemlich schwer! Schließlich sind wir nicht hier, um erstmal zu raten, was du eigentlich fragen möchtest. Augenzwinkern

air

09.04.2010, 17:54

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LarsEUM
...weil ja die Reihe (du schriebst Folge, ist der Begriff austauschbar?) selbst nicht alterniert.

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum (-1)^n a_n \end{eqnarray*}$ alterniert ja schon, aber die Folge der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , aus welchen man die Reihe sozusagen gewinnt, alterniert nicht.
Sprich: $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist ja eine monoton fallende Folge nichtnegativer Glieder und man baut sich daraus halt oben genannte Reihe.

Die Begriffe "Folge" und "Reihe" sind nicht austauschbar. Wink

Freut mich übrigens, dass es dir geholfen hat. Freude

Neue Frage »

Antworten »

Summenwert einer Reihe in Schranken einschließen

Verwandte Themen