Beweis (-a)*(-b) = a*b

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zenjox Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis (-a)*(-b) = a*b
Seien a,b beliebige Elemente eines Körpes. Beweisen Sie:



Kann man das überhaupt richtig beweisen? Und wenn ja wie mache ich das dann richtig?
hut Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis (-a)*(-b) = a*b
Es genügt, zuerst -(-a)=a zu beweisen. Und das mit Hilfe der Körperaxiome, falls dir das was sagt? Big Laugh
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja eig. das gleiche, dass aus minus und minus, plus wird.
Nur damit habe ich probleme^^
hut Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch's mal mit folgenem Axiom:

Existenz inverser Elemente: Zu jedem a gibt es eine reelle Zahl -a mit a+(-a)=0
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hut
Existenz inverser Elemente: Zu jedem a gibt es eine reelle Zahl -a mit a+(-a)=0


Achtung: Das Axiom ist der Spezialfall für . zenjox spricht von einem beliebigen Körper.

air
hut Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nein, das tut mir Leid. unglücklich
Danke für den Hinweis!
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

War nicht so schlimm. Man muss halt das Wort "reell" streichen (und sich überlegen, dass das Element halt auch aus dem Körper kommt). Augenzwinkern

air
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

also stimmt das jetzt so:
Existenz inverser Elemente: Zu jedem a gibt es eine Zahl -a mit a+(-a)=0

?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz korrekt:

Sei (K,+,*) ein Körper. Dann gibt es zu jedem a € K ein inverses Element (-a) € K, so dass a + (-a) = 0 ist.

Aber im Grunde hats schon gepasst, ja Augenzwinkern
Ist aber ganz wichtig, dass auch (-a) in K liegt.

air
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

ich komm noch nciht wirklich klar damit
kann einer mir vllt. den beweis dafür aufschreiben?
Ich weiß nicht richtig wie ein Beweis sein muss damit er gültig ist etc.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis (-a)*(-b) = a*b
Zitat:
Original von hut
Es genügt, zuerst -(-a)=a zu beweisen. Und das mit Hilfe der Körperaxiome, falls dir das was sagt? Big Laugh


Das war ehrlich gesagt auch ein bisschen irreführend. Gemeint war wohl . Oder äquivalent dazu: .

Daraus folgt dann nämlich:

, wobei c hierbei nach obigem Satz das Inverse von , also ist.


Um zu beweisen, berechnest du mal den Term:



mit Hilfe der Körperaxiome.
Carlos Villa Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich würde dieses Thema gerne beleben, da ich an der selbigen Fragestellung zu knabbern habe.

In meine Fall ist die Aufgabe identisch, jedoch betrachen wir einen Ring.

Ist die Vorgehensweise dennoch identisch ? Mir erschließt sich daraus leider recht wenig :P

Hatte jedoch einen anderen Ansatz, in dem ich durch verschiedene Rechenschritte versuche mit der linken Seite auf die rechte Seite zu kommen, z.B durch Verknüpfung mit (-e). Da das ja aber auf beiden Seiten getan wird, ist es quasi nur eine Umkehrung. Welche Rechenschritte sind nötig um das sinnvoll zu beweisen ?
Bitte keine komplette Lösung schreiben, eher zum Denken animieren, ich würds mir gern selbst erarbeiten smile

Danke !
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

In keinem Schritt der Argumentation wurde benutzt, dass ein Körper ist (als Spezialisierung eines kommutativen Ringes), da nur die mit einem Ring verträglichen Operationen Addition und Multiplikation auftraten, sowie die Vertauschbarkeit der Operanden unter Multiplikation. Es wurde nirgendwo benötigt, dass in ein Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation hat - was den Unterschied zum kommutativen Ring ausgemacht hätte. Ergo kann man das Ganze analog für einen kommutativen Ring zeigen.

Die Frage wäre also nur noch, ob dies auch für einen nicht-kommutativen Ring gilt. Das läuft darauf hinaus zu zeigen, dass für alle gilt: , wobei das additiv Inverse zu ist.

Gruß
Peter
Carlos Villa Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke für deine Antwort smile

Ich habe in meinen Skript gefunden, dass wir -a = a * (-e) voraussetzen können ohne Beweis und habe daher einfach in die linke Seite der Gleichung eingesetzt.

Sieht dann ca so: (-a)*(-b) = a * (-e) * (-b)
= a * b

Mit diesem Schritt wäre ich ja bereits auf der rechten Seite der Gleichung angelangt.
Ist dies zulässig oder fehlen da grundlegende Dinge ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

wenn der Ring nicht-kommutativ ist, müsste noch gezeigt werden, dass ist, falls ihr das nicht auch schon voraussetzen dürft. Das ist allerdings einfach zu beweisen.

Edit: Hatte nicht berücksichtigt, dass der Ring ja nicht unbedingt eine Eins enthalten muss.

Es gilt aber:
wegen Rechts- und Linksdistributivität.



Gruß
Peter
Carlos Villa Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, wir gingen auch davon aus, dass die Kommutativität bereits gilt.
Dann ist das ja soweit erledigt. War ja doch ziemlich einfach ^^
Hatte wohl ein Brett vorm Kopf smile

Vielen Dank
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt aber auch bei nicht-kommutativen Ringen, siehe meinen nochmal editierten vorigen Beitrag.

Gruß
Peter
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