gebrochen rationale Funktionen

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Dandi Auf diesen Beitrag antworten »
gebrochen rationale Funktionen
Edit (mY+): Von Hilfeersuchen im Titel ist bitte abzusehen. Modifiziert.

Meine Frage:
Hallo
Ich habe extreme mühe die rationellen Funktionen zu verstehen!

Helft mir bitte diese Funktion zu lösen und sie zu verstehen!



A) Faktorisiere Nenner und Zählerpolynom


B) Ermittle Definitionslücken
das wären ja aus




und aus


C) Welches sind die Nullstellen von F? wie verläuft der Graph in ihrer Umgebung?
Nun hab ich schon das erste Problem, zu unterscheiden zwischen einer Deffinitionslücke und einer nullstelle.
Ich hätte hier gedacht das x= -1 eine wäre?? aber warum ist x= -1 eine Nullstelle, warum sind die anderen Zahlen keine??

D) Wo hat die Funktion Pole und wie verläuft der Graph in ihrer Näche?
Das einzige was ih nun Ableiten kann aus diesen Zahlen dass, 2 und -2 die Pole sind, als Vertikale Asymptome. Somit geht die Funktion (x+1)^2 ja halbkreismässig zwischen x-achse und den Polen 2 und -2 )I I I( wenn das mittlere I die y-achse darstellt.

Jetzt habe ich bei der Lösung allerdings noch zwei Parabel die nach unten verlaufen, eine hängt bei x=-1, weil doppelte Nullstelle

spätestens hier versteh ich gar nichts mehr.

Wieso guckt die Parabel nach unten??
Wieso sind da 2 Parabeln??

Wie finde ich die Steigung heraus??
Aus der Lösung:




Meine Ideen:
Alles oben geschildert

Hier die Lösung für die Letzte Frage, die ich nicht verstehe!

In der Lösung steht für D)


tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht liegt es daran, dass die Funktion gebrochen rational ist, und nicht rationell. Ferner löst man Funktionen nicht. unglücklich




Zitat:
A) Faktorisiere Nenner und Zählerpolynom


Freude

Warum sollte der Zähler nicht 0 werden dürfen? verwirrt
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich meine ich gebrochene rationale Funktionen smile
wenn er 0 Wäre, würde er dann nicht auf der x- achse liegen oder so was?

im Buch steht Zähler>0 oder Zähler<0.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zähler [oben] darf natürlich 0 werden. Und das wird er [Definitionsmenge beachten!] dann genau in den Nullstellen der Funktion f. Nur der Nenner [unten] darf nicht 0 werden. Dadurch können wir nicht teilen.

Damit kennen wir nun auch die Nullstelle deiner Funktion. Schauen wir uns ein Bild an.



Die Frage nach der Umgebung bedeutet, ob wir VZW haben oder nicht. Man soll also die Vielfachheit der Nullstelle anschaulich deuten. Welche Vielfachheit haben wir?
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Lösung ist richtig dargestellt. Ich verstehe nicht ws du mit VZW meinst?
meinst du mit Vielfachheit die Zahl, die doppelt vorkommt? also hier x= -1) wegen (x+1)^2?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ja die Lösung ist richtig dargestellt.


Big Laugh , danke.

Zitat:
Ich verstehe nicht ws du mit VZW meinst? meinst du mit Vielfachheit die Zahl, die doppelt vorkommt? also hier x= -1) wegen (x+1)^2?


Genau das meine ich mit Vielfachheit. ()² => Doppelte Nullstelle.

VZW, sorry. Vorzeichenwechsel. Liegt nur bei ungeraden Vielfachheiten vor. Du musst nun noch begründen, ob die Werte von f um x=-1 größer oder kleiner 0 sind. Dann ist auch diese Frage fertig.

Zitat:
Wo hat die Funktion Pole und wie verläuft der Graph in ihrer Nähe?


Na, Kandidaten sind die Definitionslücken. Was macht uns sicher? Das es keine ...... Definitionslücken sind. Dann wieder Aussagen über VZW und Vorzeichen der Funktion.
 
 
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber wo soll ich den nun -1 einsetzten?? beim Zähler oder Nenner? und warum da?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie, einsetzen? f(-1)=0. Das hatten wir doch schon geklärt. Du sollst die Umgebung untersuchen. So f(-1.1) und f(-0.) mal als Veranschaulichung.
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

um zu begründen ob die werte um f um x=-1 grösser oder kleiner sind.

wenn ich -1 auf den Zähler setze (-1-1)^2=0
aber die Regel besagt doch a>0 oder a<0
vielleicht verwechsle ich da auch was
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Es hilft hier, für Nenner und Zähler VZ-Wertetabellen zu machen. Dazu benutzen wir die jeweiligen Nullstellen [Kanditaten für VZW].

Erste Zeile: Intervall in dem x-liegt
zweite: Vorzeichen Zähler
dritte Vorzeichen Nenner
vierte: Vorzeichen f.

So kannst du unser Bild bestätigen.
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

ohhh goottttt was schreibst du den da??!!! ich verstehs nicht..
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

tigerbine reicht mir als Name. Big Laugh

Du wirst doch Wertetabellen kennen. Wir haben ermittelt als Nullstellen [Zähler + Nenner]

x=-2,-1,0,2

Also untersuche in

]-oo,-2[ und ]-2,-1[ und ]-1,0[ und ]0,2[ und ]2,oo[

die Vorzeichen von

* Zähler
* Nenner

Dann kannst du auch was über das VZ von f = Z/N sagen.

Nun klar?
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

Frage:
Aus Zähler ermittle ich IMMER die NULLSTELLEN?
Aus Nenner ermittle ich IMMER die DEFINITIONSLÜCKEN?

Wobei die Nullstellen auch im Nenner vorkommen könnten, wo sie da gekürzt werden?


nun...
Mag die zwar komisch erscheinen, aber ich verstehe nicht was du mit Wertetabelle meinst...klar kenn ich die x-werte, aber das wäre dann ja schon alles..

und ich sehe schon gar nicht, wie der Graph verlaufen soll. Die Vorzeichen sind doch positiv bei Zähler und Nenner?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dandi
Frage:
Aus Zähler ermittle ich IMMER die NULLSTELLEN?
Aus Nenner ermittle ich IMMER die DEFINITIONSLÜCKEN?


ja

Zitat:

Wobei die Nullstellen auch im Nenner vorkommen könnten, wo sie da gekürzt werden?


Nein, kürzen verboten! In solchen Fällen handelt sich aber um hebbare Definitionslücken. Siehe ...... oben.


Zitat:

nun...
Mag die zwar komisch erscheinen, aber ich verstehe nicht was du mit Wertetabelle meinst...klar kenn ich die x-werte, aber das wäre dann ja schon alles..


du wirst doch für ein Intervall prüfen können, welches Vorzeichen vorliegt. Notfalls durch einsatzen eines Wertes. Wir haben ja geschickt aufgeteilt [Nullstellen].

Zähler ist hier sogar wegen ()² immer >=0. Wie sieht es mit dem Nenner aus?
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

(-1)^2(-1+2)(-1-2)= -3 ??
(2)^2(2+2)(2-2)=0
(-2)^2(-2+2)(-2-2)=0

okey ich blick nicht durch...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst doch nicht die Nullstellen einsetzen. die habe ich doch gerade ausgeschlossen.

[quote] ]-oo,-2[ und ]-2,-1[ und ]-1,0[ und ]0,2[ und ]2,oo[ [\quote]
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann soll ich alles ausser die Nullstellen einsetzten??

zb x= -1.5

(-1.5)^2(-1.5+2)(-1.5-2)= -3.9

das is ja auch falsch! unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann es falsch sein, einen Wert in die Funktion einzusetzen,d er in der Def-Menge liegt. Uns interessiert dann doch nur das Vorzeichen.
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke tigerbine, hab die Aufgabe dank deiner Hilfe lösen können!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich. Leider konnte ich mich [hab die Zeit vergessen Ups ] mich aufgrund der Wartungsarbeiten nicht mehr verabschieden.
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

kein Problem. Die wichtigste Info kam gerade noch an smile

allerdings habe ich bei weiteren Aufgaben mühe herzuleiten, wie der Graph aussehen könnte. Klar wenn man die Punkte einsetzt kommt er iergendwann mal zustande, aber dauert schon sehr lange!

zb
x^3-x^2+4/ x^2
hier sehe ich zb überhaupt nicht mehr wieder Graph verlaufen könnte! Was soll die Idee dahinter sein bei solchen aufgaben? wie kann ich schritte auslassen, umd den Graphen schneller zu zeichnen? es geh mir darum so wenig zu rechnen wie möglich!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wir alle wollen nicht viel tun. Aber du musst eben erst noch üben, wenn du es noch nicht siehst. Augenzwinkern



1. Defintionsmenge.

2. Klären ob Lücken hebbar sind oder Pole Vorliegen

3. Vorzeichen abklären.

4. Grenzwertverhalten überdenken [Gibt es Asymptoten]

Wozu das ganze? Es sind Übungen für Kurvendiskussion. Das man ein Gefühl bekommt, wie so eine Funktion aussieht, was kritische Punkte sind.
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

Super Danke!

eine weitere Frage:
16x^2-64/x^3
bedeutet ja das die n=3 beim Nenner ungerade ist, die n=2 beim Zähler Gerade oder?
x^3 hat ja 0 als Definitionslücke.

wenn ich 16x^2-64/x^3 faktorisiere zu 16(x^2-4) ist x1,2=-+2 als Nullstellen wegen dem binom (x+2)(x-2). und jetzt verwirren mich diese 16. was soll ich damit??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

3 ist ungerade, 2 gerade. Ja. Augenzwinkern

16 ist eben ein Faktor. Der verstärkt. Streckt Funtkion Richtung y-Achse.
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

darf ich einfach so annehmen das x^3 zwischen den Definitionslücken x=2, x=-2 als normale polynom 3. Grades steht bei 0?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was?
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

die Definitionslücke bei X^3 ist ja 0, weil nix anderes geht, das vorzeichen ist positiv.


ich zeichne mal was mich mein:
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

AH SORRY, das sind ja die nullstellen... nicht die definitionslücken..
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich hier eine Polynomdivision für die Asymptote mache, bekomme ich
16x^2-64/x^3=16/x-64/x^3

werte die mir überhaupt nichts sagen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

PD macht hier doch keinen Sinn [unnötig]. Schau die größten Exponenten unten und oben an und du weißt, das strebt gegen die x-Achse. Augenzwinkern
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

okey danke. hab sie lösen können. Allerdings musste ich wieder Punkte einsetzten umd den genauen Graphen orten zu können.


Nun steh ich vor dem nächsten Problem:
Wenn ich beim Nenner und Zähler keine Zahlen kriege, auch die Polynomdivision hilft nicht weiter wie hier:

16x/x^2+8

so sind ja die Nullstellen x=0 und die Definitionslücken sind erst gar nicht vorhanden, weil man mit x^2+8 rein gar nichts machen kann!

bleibt hier der letzte Ausweg nur noch durch Punkte einsetzen???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh Richtige Feststellung, zu negative Interpretation.

Der Nenner ist immer positiv, der Zahler wechselt bei x=0 das Vorzeichen von - nach +. Das Gilt auch für die Funktion. Exponenten geben Auskunft über das Verhalten gegen unendlich, wir klatschen an die x-Achse [salopp Forum Kloppe ]

Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

neue Aufgabe:
ich versuch mal so genau es mir geht zu schildern was ich mache:



1. Ich rechne die Nullstellen aus beim Zähler

Nullstellen x1=3,x2=-3

2. Definitionslücken beim Nenner:
x^2
D=R\{0}

3.Die Asymptote bestimmen durch Polynomdivision
3*x^2-27/x^2 = 3- (27/x^2)
wobei nur die 3 wichtig ist y=3 als Gerade

4.Den Graphen bestimmen
Hier setze ich die 0 der Definitionslücke und erhalte


F(x)= -27/x^2
dieser sagt mir aus dass der Zähler negativ ist, und der nenner positiv mit n=2
a<0 a<-27
x^2 n=2

5. Ein weiterer Schritt für den ich keinen Namen finde
Die Nullstellen in die Nenner setzen

Nun verstehe ich diesen letzetn Schritt als Parabel auf der y-Achse die bei -3 anfängt.

Da wir ja die Nullstellen 3 und -3 haben, dachte ich das die Parabel dort durchgeht und dann links rechts ins unendliche gegen die Asymptote 3 die als Gerade gezeichnet ist.

ich habe den Graphen noch nicht gezeichnet, ich will allerdings wissen, wo der Fehler liegt. vielleicht lieg ich richtig, vielleicht total falsch. Bitte sagt es mir!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dandi
neue Aufgabe:
ich versuch mal so genau es mir geht zu schildern was ich mache:



1. Ich rechne die Nullstellen aus beim Zähler

Nullstellen x1=3,x2=-3

2. Definitionslücken beim Nenner:
x^2
D=R\{0}

3.Die Asymptote bestimmen durch Polynomdivision
3*x^2-27/x^2 = 3- (27/x^2)
wobei nur die 3 wichtig ist y=3 als Gerade


Bis dahin gut. Aber was ist der Sinn von Definitionslücken? Werte zu bestimmen, die man nicht einsetzen darf. Also mach das auch nicht. Setze bitte auch Klammern!
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

ne diesen einen Schritt darf man, den habe ich mir extra eingeprägt. es geht darum herauszufinden WIE sich dich funktion GRUNDLEGEND verhält, und das ist eine Methode um das herauszufinden.
Bin allerdings grad bisl stolz auf mich, hab alles richtig gemacht smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Seltsame Methode, Punkte die man nicht einsetzen darf, einzusetzen. Naja. Augenzwinkern

Noch Fragen?
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber das ist die letzte für heute abend smile

nun stehe ich vor dem gleichen Problem wie beim 1x mal der Fall war.
Wenn ich Nenner weder faktorisieren noch eine 0 bekomme für die Definitionslücke, was bedeutet das konkret?

das alles unendlich ist'?
zb.
(x-2)^2/x^2+4

x^2+4 = unendlich?
Dandi Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen darf im Zähler die Definitonslücken einsetzen weil sie mir den Graphen vorschreiben smile

Legende
(x-1)=(x-x0)!!
1 als Zähler=a!!

Formel die dazu gehört:

a/(x-x0)^n


alle werte die posiitiv im Zähler sind (linke Tabellen)
a>0

Alle werte die negativ im Zähler sind (rechte Tabellen)
a<0

n=1



n=2


n=3


n=4
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte mit Klammern. unglücklich

(x-2)^2/x^2+4 hat eine Def.lücke bei x=0

(x-2)^2/(x^2+4) hat keine.

Nenner und Zähler sind immer positiv, Nullstelle bei x=2, Grenzwerte für unendlich ist +1.

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