Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorphismus selbst)

Neue Frage »

09.04.2010, 19:30	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorphism Meine Frage: Hi Leute, ich möchte folgende Aufgabe lösen, komme aber nicht gänzlich auf die Lösung bzw. hab noch Verständnisprobleme. Gegeben ein Endomorphismus $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ eines n-dimensionalen K-Vektorraums V und ein $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} V=\langle v,f(v),f^2(v),\cdots,f^{n-1}(v) \rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^n(v)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_if^i(v) \end{eqnarray}$ (dabei bezeichnet $\begin{eqnarray} f^i \end{eqnarray}$ die i-fache Komposition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} f^0(v):=v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n\geq1 \end{eqnarray}$ ). Ich soll nun beweisen, dass für die Determinante dieses Endomorphismus gilt: $\begin{eqnarray} detf=(-1)^{n-1}a_0 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also ich find die Formulierung des Problems schon irgendwie nich so schön, aber das ist ja Ansichtssache. Ich habe mir überlegt, wie die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ aussehen könnten. Dann müsste ich diese Bilder als Linearkombination der Basisvektoren darstellen und die Skalare der Kombination in ein Matrixschema bringen. Dann würde ich diese zum Endomorphismus gehörende Matrix auf Dreiecksform bringen und das Produkt der Diagonale mit einer bestimmten Anzahl an Zeilen-/Spaltenvertauschungen gäbe mir ja dann das gesuchte Produkt $\begin{eqnarray} (-1)^ka_0 \end{eqnarray}$ ,da die Determinante der Abbildung mit der Determinante der zugehörigen Matrix übereinstimmt. Für die Abbildung habe ich aus der Summenvorschrift ermittelt: $\begin{eqnarray} f(v)=a_0v \end{eqnarray}$ . Wende ich nun $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf die einzelnen Basisvektoren an, so bekomme ich: $\begin{eqnarray} f(f^i(v))=f^{i+1}(v) \end{eqnarray}$ . Somit wird also ein Basisvektor auf den nächsten abgebildet. Die Matrix enthält also für den $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -ten Basisvektor an der Stelle $\begin{eqnarray} [i+1,i] \end{eqnarray}$ eine 1 und sonst nur Nullen. Für die Stelle $\begin{eqnarray} [1,1] \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} f(v)=a_0v=a_0f^0(v) \end{eqnarray}$ , also der Skalar $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ . Für die n-te Stelle $\begin{eqnarray} [n,n] \end{eqnarray}$ muss ich das ganze etwas anders darstellen, dort habe ich mir überlegt was bei Anwendung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf die i-fache Komposition eigentlich passiert. Ich kam dabei darauf, dass gilt: $\begin{eqnarray} ()\, f^{i+1}(v)=f^{i}+a_ia_0^iv \end{eqnarray}$ . (Ich habe mir dafür angeschaut was $\begin{eqnarray} f(f(f(v))) \end{eqnarray}$ etc. ist und sukzessive geschlussfolgert.). Ich kann also für die letze Spalte sagen, dass an der Stelle $\begin{eqnarray} [n,n] \end{eqnarray}$ eine 1 hinmuss und an die Stelle $\begin{eqnarray} [1,n] \end{eqnarray}$ der Skalar $\begin{eqnarray} a_na^n_0 \end{eqnarray}$ hin müsste. Mit all dem würde ich schonmal auf ff. Form kommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_0 & 0 & \cdots & \cdots & 0& a_na_0^n \\ 0 & 0 & & & & 0 \\ 0 & 1 & & & & \vdots \\ \vdots & & 1 & & \\ & & & \ddots & \\ 0& & & & 1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dort dachte ich mir müsste ich nur noch Zeilen vertauschen und dann hätte ich ja den Faktor $\begin{eqnarray} (-1)^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gleich der Anzahl der Zeilentauschungen und das $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ . Offensichtlich ist dort aber noch was falsch denn ich habe ja dort eine Nullzeile stehen (die kommt von der Darstellung des Bildes des zweiten Basisvektors als dritter Basisvektor. Allgemein hab ich das Problem, dass ich das sicherlich verschieden darstellen könnte, je nachdem ob ich nun einfach nur die Verschiebung in Skalaren ausdrücke oder mit Vorschrift $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray*}$ arbeite). Ich hab jetzt ne ganze Weile draufgeschaut und komm nicht so recht weiter. Jetzt seid ihr gefragt. Wäre dankbar für jede Hilfe. Grüße Crosell
09.04.2010, 20:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorp Hallo, also die Aufgabe ist nicht schlecht formuliert. Es kommt ein besonderer Vektorraum vor. Ein Krylowraum mit dim n. Ich bekomme allerdings eine andere Darstellende Matrix raus. In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl. der Einheitsvektoren. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & \hdots & a_0 \\ 1 & & \vdots \\ & 1 & a_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
09.04.2010, 20:57	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorp Hmm die Bilder der Basisvektoren bzgl. der Einheitsvektoren sagst du? Warum kann ich bei dem Endomorphismus nicht die gleiche Basis wieder wählen, ich mein der Raum ist doch der gleiche. Nach deiner Matrixdarstellung würde ja quasi das letzte Bild also $\begin{eqnarray} f(f^{n-1}(v))=a_0e_1+a_1e_2+...+a_{n-1}e_n \end{eqnarray}$ sein, wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe. Sorry aber ich bin verwirrt , und der Artikel auf Wikipedia zum Krylow-Raum hilft mir auch nicht wirklich weiter, dort ist das ja noch viel allgemeiner gefasst als bei der Aufgabe schon. Wie sieht es denn mit meinem Betrachtungen aus, stimmen die denn halbwegs oder ist das so wie ich das dargestellt habe falsch?
09.04.2010, 20:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorp Ich sagte nicht Einheitsvektoren, sondern die Bilder der Basisvektoren. Und die Basisvektoren sind v, f(v), f²(v) ... Den Artikel brauchst du nicht, ich wollte dir nur den Namen zeigen.
09.04.2010, 21:15	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorp Naja das dachte ich mir ja eben auch, nehmen wir zum Beispiel die erste Spalte der darstellenden Matrix, dort finde ich das Bild vom ersten Basisvektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Dieses wäre doch eben $\begin{eqnarray} f(v) \end{eqnarray}$ und das ist für mich $\begin{eqnarray} f^1(v)=\sum\limits_{k=0}^{1-1} a_if^i(v)=a_0f^0(v)=a_0v \end{eqnarray}$ . Dargestellt als Linearkombination mit den gleichen Vektoren aus der Basis (da Urbild/Bildraum identisch) als $\begin{eqnarray} f(v)=a_0f^0(v)+0f^1(v)+...+0f^{n-1}(v) \end{eqnarray}$ . Somit steht für mich an der Stelle $\begin{eqnarray} c_{11} \end{eqnarray}$ der Matrix $\begin{eqnarray} A=(c_{ij})_{i,j\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und für alle anderen $\begin{eqnarray} c_{i1} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Soweit doch okay oder?
09.04.2010, 21:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorp Wir reden über das gleiche. Das ist schonmal gut. Wir haben die Basis v,f(v), f²(v) etc. Dann gilt: v -> f(v) f(v) -> f²(v) das geht solange gut, bis wir beim letzten Vektor sind. Nun besagt die Angabe [Krylow], dass dieser Vektor in V liegt, sich also als LK der Basisvektoren darstellen lassen kann. Nun gehen wir in die Koordinatenschreibweise. v=(1,0,...)^T f(v)=(0,1,0,...)^T f²(v)=(0,0,1,0,...)^T etc. Nun klar, warum die Matrix so aussieht?
Anzeige

09.04.2010, 21:31	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin so frei, hier mal kurz dazwischenzufunken: Ich glaube crosell ist etwas verwirrt durch die Angabe $\begin{eqnarray} f^n(v)=\sum_{i=0}^{n-1}a_if^i(v) \end{eqnarray}$ . Dies bedeutet, dass Die Menge $\begin{eqnarray} \{v,f(v),...f^{n-1}(v),f^n(v)\} \end{eqnarray}$ linear abhängig ist. $\begin{eqnarray} f^n(v) \end{eqnarray}$ kann also als LK der kleineren Potenzen von $\begin{eqnarray} f(v) \end{eqnarray}$ dargestellt werden. Es bedeutet jedoch nicht, dass $\begin{eqnarray} f(v)=a_0 v \end{eqnarray}$ . Dann wären insbesondere auch $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(v) \end{eqnarray}$ linear abhängig.
09.04.2010, 21:37	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorp Ahh mir ist grad ein Licht aufgegangen. Es stimmt ich habe mich nach der Angabe $\begin{eqnarray} f^n(v) \end{eqnarray}$ gerichtet, aber das ist ja im Prinzip nur die Bedingung die ich brauche, um zu wissen, wie das Bild des letzten Basisvektors aussieht, es ist dann wie Tigerbiene schon richtig festgestellt hat, die Linearkombination der Basisvektoren (wie ja schon offensichtlich in der Summenformel zu erkennen ist). Somit kommt man natürlich genau auf die Matrix, die Tigerbiene schon gepostet hat, klar. Das Problem ist glaub ich bei mir gewesen, dass ich so gern $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ an erster Stelle haben wollte, um dann mit dem Produkt der Diagonalglieder auf die geforderte Determinante zu kommen. Sehr gut. Ich probier mir jetzt noch aus, wie ich die Matrix dann durch Zeilen/Spaltenvertauschungen umformen muss, damit man die Determinante berechnen kann, dann müsste ja quasi dabei rauskommen, dass dazu genau $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Permutationen nötig sind und in der Hauptdiagonalen an einer Stelle das $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ und sonst 1 steht. Ich poste dann später mein Ergebnis, denke aber es müsste wohl so gehen, wenn nich frage ich nochmal. Danke nochmal Jester für den Hinweis, das mit der Linearen Abhängigkeit hatte ich dort wohl grad ausgeblendet Und natürlich danke an Tigerbiene
09.04.2010, 21:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorp Tipp: Entwickle doch mal nach der .... Zeile . edit: you're welcome.
09.04.2010, 21:44	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Entwickeln ist natürlich eine Möglichkeit. Gewinnbringender ist möglicherweise aber folgende Erkenntnis: Hat man einen Endomorphismus f und einen Vektorraum, der bezüglich diesem Endomorphismus zyklisch ist (a.k.a. Krylowraum), so ist die Darstellungsmatrix des Endomorphismus bzgl. der Basis $\begin{eqnarray} (v,f(v),...,f^{n-1}(v)) \end{eqnarray}$ die Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms (bzw. Minimalpolynoms; diese stimmen in diesem Fall überein). Dann kann man die bekannte Eigenschaft verwenden, die besagt, wie die Determinante im charakteristischen Polynom "steckt".
09.04.2010, 21:56	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
So eine schöne Einheitsmatrix die da drin steckt, wenn man nur den $\begin{eqnarray} (n-1,n-1) \end{eqnarray}$ -ten Minor bildet, dann hat man wohl $\begin{eqnarray} (-1)^{n-1}a_0detA^* \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} detA^=detE_{n-1}=1 \end{eqnarray}$ ist. Stimmt ihr mir zu ^^ Nachtrag: Übrigens kann ich deinen Lösungsvorschlag noch nicht umsetzen Jester, da wir in der Vorlesung grad erst mit Polynomringen beginnen. Zum charakteristischen Polynom etc. müssen wir erst noch kommen. Aber trotzdem danke
09.04.2010, 22:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Thread eben nochmal lesen, wenn ihr so weit seid.
09.04.2010, 22:08	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
Das könnte man wohl so tun

Neue Frage »

Antworten »

Determinante Endomorphismus (Basis des zug. VR besteht aus Potenzen [Kompositionen] des Endomorphismus selbst)

Verwandte Themen