Wurzel aus x2

10.04.2010, 11:16

Razen

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Wurzel aus x2

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} } \end{eqnarray*}$

irgendwas sagt mir ich hab ein brett vorm kopf - wenn in ner grenzwertbetrachtung gegen -unendlich (VORZEICHEN WICHTIG!!) durchgeführt werden muss und der term vorkommt - wie muss ich das umschreiben - betrag x!?

10.04.2010, 11:53

mYthos

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$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ selbst ist immer positiv.
Aber die Quadratwurzel .... Edit: Auf vielfache Beschwerde hin: Falsche Aussage entfernt.

mY+

10.04.2010, 11:55

Razen

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dankeschön, thema erledigt

10.04.2010, 12:05

Calvin

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Zitat:

Original von mYthos
Aber die Quadratwurzel ist nicht eindeutig, sie hat ihrerseits zwei Vorzeichen.

Ist das wirklich so? Mir war so, als wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\geq0 \end{eqnarray*}$ definiert (natürlich nur wenn x nicht negativ).

Im Gegensatz dazu hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$ zwei Lösungen.

10.04.2010, 12:08

Razen

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ja wenn x positiv wäre dann ist das wohl... logisch, da mein x aber gegen -unendlich geht kann ich diese annahme leider nicht machen...

10.04.2010, 12:54

mYthos

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@Calvin
Da ist sicher was dran. Die Wurzel(funktion) ist tatsächlich nur für ein positives Vorzeichen vor der Wurzel definiert. Leider wird das im Schulbereich nicht immer so streng gehandhabt. Dann ist immer wieder z.B. zu sehen: $\begin{eqnarray*} \sqrt 9 = \pm 3 \end{eqnarray*}$

@Razen
Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ eindeutig! Was ergibt sich dabei?

mY+

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10.04.2010, 13:03

Razen

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na ich würd sagen -x
Lieg ich da richtig?

10.04.2010, 13:08

mYthos

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Nein. Die Wurzel und das Quadrat heben einander auf. Demzufolge ergibt sich x. Allgemein gilt das Potenzgesetz

$\begin{eqnarray*} (a^n)^{\frac 1 n} = (a^{\frac 1 n})^n = a \ \text{mit} \ a > 0 \ ! \end{eqnarray*}$

mY+

10.04.2010, 13:09

kiste

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Nö, mYthos.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = -x \end{eqnarray*}$ für negative x.

10.04.2010, 13:14

mYthos

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Sehe ich anders. Wenn x negativ ist, dann gehört das Vorzeichen ohnehin zu x.
-x wäre ja dann positiv. Wo steht eigentlich, dass x negativ ist? Es ging doch jetzt nur noch um die Frage, was $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ist.

10.04.2010, 13:22

Razen

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zitat erste post: "wenn in ner grenzwertbetrachtung gegen -unendlich (VORZEICHEN WICHTIG!!) durchgeführt werden muss und der term vorkommt"

also vom sinn meinte ich das was mythos geschrieben hat - nur wenn ich -x verwende müsste ich dann limes gegen unendlich und nicht gegen -unendlich laufen lassen, da in dem term aber noch mehr vorkommt lass ich das und nehm x

10.04.2010, 13:34

wisili

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Für reelle x gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}} = \begin{cases}\ \ x, & \text{wenn } x\geq 0<br /> - x , & \text{wenn } x< 0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$ . Wenn das bestritten wird, können wir hier alle einpacken.

10.04.2010, 14:52

Gualtiero

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@wisili
Ich kann Deine Formel nicht lesen. Soll sie so aussehen?
Kenne die cases-Umgebung nicht. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}} = \begin{cases} x, & \text{wenn } x \geq 0 \\ - x , & \text{wenn } x< 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

10.04.2010, 15:09

wisili

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Ja, bei mir sieht jetzt beides genau gleich aus. Habe den Latex-Befehl von Wikipedia.
[attach]14181[/attach]

10.04.2010, 15:38

Airblader

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Man kann es auch kurz ausdrücken: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$

Man muss immer unterscheiden (a >= 0): Sucht man $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ oder sucht man Lösungen für x der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = a ~\Leftrightarrow~ x^2-a=0 \end{eqnarray*}$

Letztere Gleichung hat sehr wohl zwei Lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ . Der erstgenannte Fall jedoch ist eine eindeutige, reelle Zahl. Eine Wurzel hat erstmal keine zwei Vorzeichen und - sorry mYthos - ich habe jedenfalls auch noch nie gehört, dass das wirklich "korrekterweise" in der Schule so gelehrt wird.

air

(Edit: Übrigens wird in der Schule eigentlich immer so die Wurzel eingeführt, indem man sie gerade als die positive Lösung dieser Gleichung definiert)

10.04.2010, 15:49

wisili

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weil |x| genau so definiert ist: $\begin{eqnarray*} |x| = \begin{cases}\ \ x, & \text{wenn } x\geq 0<br /> - x , & \text{wenn } x< 0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

10.04.2010, 15:53

Airblader

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Richtig.
Und weil es für diese Fallunterscheidung - die bei mir übrigens auch nicht dargestellt werden kann - eine nette Funktion gibt, habe ich sie verwendet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

War ja aber auch nicht das Wichtige am Ganzen.

air

10.04.2010, 16:08

wisili

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@airblader
Kennst du eine alternative Latex-Lösung, die verbreiteter funktioniert? Dann würde ich sie natürlich fürs matheboard übernehmen.

10.04.2010, 16:13

kiste

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Das Problem an der LaTeX-Umgebung ist hier dass einige Browser, wie imo der IE, Zeilenumbrüche innerhalb der LaTeX-Umgebung falsch darstellen. Der cases-Befehl funktioniert also, man darf es im Eingabefenster nur nicht formatieren.

10.04.2010, 17:25

Mystic

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Zitat:

Original von Airblader
(Edit: Übrigens wird in der Schule eigentlich immer so die Wurzel eingeführt, indem man sie gerade als die positive Lösung dieser Gleichung definiert)

Bei uns wurde $\begin{eqnarray*} \sqrt a \quad (a \ge 0) \end{eqnarray*}$ als die nichtnegative Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-a=0 \end{eqnarray*}$ eingeführt, wobei zugegebenermaßen der Unterschied jetzt nicht so groß ist... Big Laugh

Big Laugh

10.04.2010, 17:25

Airblader

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Okay, ja - du hast natürlich recht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

10.04.2010, 17:32

Razen

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also, erm, *hüstel*

eigentlich dachte ich ich stell mal die frage in der schul-mathematik weil ich dachte das ist zu banal für hochschulmathe, etz denk ich fast ich hab mich falsch entschieden :p

danke aber für die interessante diskussion, ich verfolg die mal weiter und lerne smile

smile

danke auf jeden fall für all die Hilfe smile

smile

10.04.2010, 17:35

IfindU

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Zitat:

Original von Airblader
Beispiel: x² = 81.
Lösungen wären dann $\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt{9} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_2 = -\sqrt{9} \end{eqnarray*}$ . Und nach dem, was mY+ sagte, hätte man die vier Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_{1,1} = +3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2,1} = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2,2} = +3 \end{eqnarray*}$

Kurzum: Ein Polynom zweiten Grades mit vier Nullstellen.

air

(Edit: Übrigens wird in der Schule eigentlich immer so die Wurzel eingeführt, indem man sie gerade als die positive Lösung dieser Gleichung definiert)

Öhm, keine deiner Lösungen löst deine Gleichung.

10.04.2010, 17:52

Airblader

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Herrjemine - was habe ich denn da für einen Stuss erzählt. Das kam durch zu wenig Überlegung und einem ganz blöden Edit *peinlich*

Schnell raus damit.
Das, was ich (weitestgehend) davor gesagt habe bleibt natürlich (siehe editierter Post).

Ich leg' mich jetzt lieber mal ins Bett. Fühle mich heute sowieso irgendwie krank ... vielleicht sollte ich das mit dem Denken heute sein lassen.

air

10.04.2010, 18:46

Airblader

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Okay, nein - ich muss doch korrigieren.
Klar, das noch als Zitat vorhandene Beispiel war Stuss wegen eines blöden Fehlers. Aber das Prinzip bleibt. Da man aber auch dann noch streiten könnte, drücke ich es ganz anders aus.

Wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{9} = \pm 3 \end{eqnarray*}$ wäre, dann wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt{9} \not\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Und wo der Sinn darin liegt, die Wurzel als etwas zu definieren, das nichtmal eine (reelle) Zahl darstellt, das müsste mir dann noch jemand erklären.
Warum das keine reelle Zahl sein kann sieht man ja sofort, weil man unmittelbar +3=-3 erhalten würde. Also wäre widerum auch z.B. 6=0. Na, das wär ein Spaß. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

(In der Hoffnung, dass wenigstens das nun etwas mehr Sinn macht Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

10.04.2010, 19:20

mYthos

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Die Lösung der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$

wird (fälschlich) oft salopp geschrieben als

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{9} = \pm 3 \end{eqnarray*}$

Genauer ist aber

$\begin{eqnarray*} x = 3 \ \text{ODER} \ x = -3 \end{eqnarray*}$

Die Betonung liegt auf ODER, also gibt es hier das "UND" gar nicht.

mY+

10.04.2010, 19:36

Airblader

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Zitat:

Original von mYthos
wird (fälschlich) oft salopp geschrieben als

Aber gerade das "fälschlich" ist ja das Wichtige hierbei.
Es ist eben nunmal falsch. Auch in der Schule!

Insofern verstehe ich noch nicht ganz, wie du folgendes gemeint hast:

Zitat:

Original von mYthos
Aber die Quadratwurzel ist nicht eindeutig, sie hat ihrerseits zwei Vorzeichen.

air

10.04.2010, 20:43

mYthos

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Darauf habe ich doch schon Bezug genommen, :hust:

Wurzel aus x2

Ich wollt's net wegeditieren, weil dann der Zusammenhang nicht mehr gegeben wäre. Aber jetzt tu' ich's.

mY+

10.04.2010, 20:57

Airblader

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Alles klar, das hatte ich nicht direkt als Korrektur aufgefasst Freude

Freude

air

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