Tilgungsrechnung

11.04.2010, 11:54

Monjy

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Tilgungsrechnung

Hallo zusammen, ich hab mal wieder ein kleines Problemchen...

ich bekomm die Umformung der allgemeinen Tilgungsformel : $\begin{eqnarray*} S_{0}q^{n}-A\frac{q^{n}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} q^{n} \end{eqnarray*}$ nicht hin unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} S_{0} \end{eqnarray*}$ = Anfangsschuld ; q = Aufzinsfaktor ; A: Annuität

ich habe jetzt einen Lösungsansatz erhalten , den ich aber nicht nachvollziehen kann:

$\begin{eqnarray*} S_{0}q^{n}-A\frac{q^{n}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$

Schritt 1:

$\begin{eqnarray*} S_{0}*i*q^{n} -Aq^{n}+A = 0 \end{eqnarray*}$

Schritt 2:

$\begin{eqnarray*} Aq^{n}-S_{0}*iq^{n} = A \end{eqnarray*}$

Schritt 3

$\begin{eqnarray*} q^{n}(A-S_{0}*i) = A \end{eqnarray*}$

Schritt 4

$\begin{eqnarray*} q_{n} = \frac{A}{A-S_{0}*i } \end{eqnarray*}$

Schritt 1 ist mein großes Probem ... Schritt 2 hab ich auch noch nich ganz verstanden, wobei ich mich noch nicht groß damit beschäftigt habe , da ich Schritt 1 nicht verstehe. Schritt 3 und 4 sind klar...

Meine Gedanken:
Also von

$\begin{eqnarray*} S_{0}q^{n}-A\frac{q^{n}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$

Wird wohl nach dem Minus ... also in dem Abschmitt $\begin{eqnarray*} -A\frac{q^{n}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -A(q^{n}-1) \end{eqnarray*}$ gerechnet weil nach Schritt 1 nach dem Minus $\begin{eqnarray*} -Aq^{n}+A \end{eqnarray*}$ steht.

jetzt wird $\begin{eqnarray*} q-1 \end{eqnarray*}$ im Nenner zu $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ (auch noch verständlich) und wird mal $\begin{eqnarray*} S_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q^{n} \end{eqnarray*}$ genommen ??? Da hörts dann auf ...

11.04.2010, 14:36

Equester

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Also deine Gedanken sind mir etwas zu wirr^^

Aber ich versuchs mal mit meinen eigenen.

Er hat, so weit ich das sehe, q-1=i gemacht und mit i multipliziert.

Also musst du jeden Summanden mit i (oder q-1) multiplizieren.
Das hat er im Schritt 1 bereits gemacht. Der linke Summand ist mit
i multipliziert, deswegen steht es noch da, beim Bruch fällt es weg, da du
ja mit i (oder eben q-1) multiplizierst.

Danach bringt er das alleinstehende A auf die andere Seite und multipliziert mit -1
(und stellt dann die zwei Summanden auf der rechten Seite um)

Du kannst mir soweit folgen?

11.04.2010, 15:45

Monjy

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Zitat:

Original von Equester
Also deine Gedanken sind mir etwas zu wirr^^

Aber ich versuchs mal mit meinen eigenen.

Er hat, so weit ich das sehe, q-1=1 gemacht und mit i multipliziert.

meinst du nicht q-1=i ?

Zitat:

Also musst du jeden Summanden mit i (oder q-1) multiplizieren.

Muss man das dann nich auch nach dem Komma machen ? Also mit i multiplizieren ?

Dann würde es doch
$\begin{eqnarray*} S_{0}*i*q^{n} -Aq^{n}+A = i \end{eqnarray*}$

heissen oder ?

11.04.2010, 15:49

Equester

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Ja, war mein Fehler, ich habe es oben verbessert.
Es muss sein q-1=i Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du meinst, in dem du Komma sagst, sicher das Gleichheitszeichen.
Und ja, dass ist richtig!
Aber es steht rechts 0 und 0*i ist immer noch 0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

-> $\begin{eqnarray*} S_{0}*i*q^{n} -Aq^{n}+A = i*0=0 \end{eqnarray*}$

11.04.2010, 15:50

Monjy

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ach ne blödsinn 0* i ist ja = 0 ...

kann ich grundsätzlich wenn hinter dem gleich ne 0 steht mit allem multiplizieren wie ich will ? ne das geht doch auch nicht ...

verwirrt

verwirrt

11.04.2010, 15:54

Equester

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Doch kannst du prinzipiell schon.

Wenn du zum Beispiel diese Gleichung hast

5x = 0

kannst du auch mit 100 multiplizieren!
500x = 0*100 = 0

Oder eben durch 5 teilen

x = 0/5 = 0
(Und damit ist x=0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Du darfst allerdings nicht mit 0 multiplizieren (oder gar dividieren!)!

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11.04.2010, 15:55

Monjy

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doch ... klar geht ... ohje ...lang ists her ...

Hat jemand einen Tip wie man solche grundlegenden Rechenoperationen nochmal auffrischen kann ?

Hatte z.Bsp. auch vergessen dass man jeden Summanden multiplizieren muss ...

11.04.2010, 15:58

Equester

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Üben, üben, üben xD

Wenn du willst stelle ich mich zur Verfügung, damit du ein paar Aufgaben rechnest
und ich sie dann durchgehe Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2010, 16:02

Monjy

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das wäre super ! aber wo kann ich die regeln finden?

Das sind ja alles Dinge die man nur einmal wieder gehöhrt haben muss , dann sitzen die eigentlich auch wieder

11.04.2010, 16:04

Equester

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Hmm, da kommt es darauf an was und wie :P

Wenn du noch die Namen kennst, könntest du wikipedia zur Hilfe nehmen um
nochmals kurz drüber zu fliegen.
Oder du nimmst dir eine alte Formelsammlung und suchst so lange bis du wieder
etwas interessantes entdeckst, worüber du dann auch kurz fliegst xD

Oder wie darf ich dich verstehen?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2010, 16:11

Monjy

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ja wenn ich die namen noch alle wüsste ... also ich hab mir bereits die bruchregeln angeschaut , das ausklammern, das vereinfachen...

wie heisst nun der rechenschritt wo man auf beiden seiten das gleiche macht ?
dafür bräuchte ich nochmal die regeln...

hab auch direkt nochmal eine frage dazu...

also wenn in einer aufgabe vor dem gleichheitszeichen 2 oder mehr Summanden sind,
und ich wie eben in der Aufgabe multiplizieren möchte ... dann muss ich jeden Summanden multiplizieren ... das habe ich verstanden... dividieren wird dann wohl auch so sein ...

Was ist aber wenn ich addieren oder subtrahieren möchte ?

11.04.2010, 16:18

Equester

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Du sprichst von der Äquivalenzumformung.
Bei einer Gleichung auf beiden Seiten das Gleiche "machen" um die
Lösungsmenge nicht zu verändern!

(Hier steht zwar nicht so viel traurig

traurig

aber immerhin Augenzwinkern

Augenzwinkern

http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzumformung)

Wenn du hast

5x²+3x = 3

(und ich möchte jetzt nicht auf eine Lösung kommen, sondern nur Äquivalenzumformungen machen)
dann möchte ich zum Beispiel mit 3 multiplizieren.
Also:

3*5x²+3*3x = 3*3

oder eine Addition von 5 auf beiden Seiten:

5x²+3x+5 = 3+5

Kommts wieder? Sonst frag gerne Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Im Übrigen löst du die obige Gleichung mit der Mitternachtsformel, oder in
einer etwas anderen Form "p-q-Formel"
http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternacht....B6sungsformeln
(Bei LÖSUNGSFORMELN)

Viel Spaß beim wieder auffrischen Big Laugh

Big Laugh

11.04.2010, 16:22

Monjy

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okay ich glaube ich habs mir grade selber beantwortet...

2*4 + 3*5 - 6 = 17 wenn ich jetzt mit 3 multipliziere erhalte ich :

2*4*3 + 3*5*3 -6*3 =17*3
24 + 45 - 18 = 51
51 = 51

2*4 + 3*5 - 6 = 17 wenn ich nun mit 6 addiere erhalte ich :

2*4 +3*5 = 23

Also muss ich nicht mit jedem Summanden addieren , sonder nur auf jeder seite einmal.

11.04.2010, 16:24

Monjy

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mit wirklichen Zahlen ist es leichter zu verstehen glaube ich ... aber vielen Dank für deine Hilfe !!!

11.04.2010, 16:25

Equester

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Perfekt

Augenzwinkern

Schon alleine es selber mit einem Beispiel auszuprobieren xD

Nurr...kann es sein, dass es zufällig funzt. Jetzt noch ein Beweis bitte hahaha
(ich kanns selber nicht :P)

11.04.2010, 16:26

Equester

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"Wirkliche Zahlen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun...dein Beispiel hat nicht viel Sinn?! (Zum testen selbstverständlich, aber sonst?)
Bei meinem ist sogar ein bisschen Sinn dabei xDDD

Aber ich weiss was du meinst smile

smile

Freude

11.04.2010, 17:00

Monjy

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Okay , um nochmal auf die Uhrsprungsfrage zurück zu kommen. Da habe ich noch eine kleine Frage.

Müsste die Formel $\begin{eqnarray*} S_{0}q^{n}-A\frac{q^{n}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$ nicht eigentlich so geschrieben werden : $\begin{eqnarray*} S_{0}q^{n}-A\frac{(q^{n}-1) }{q-1} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} S_{0}q^{n}-A\frac{q^{n}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} S_{0}q^{n}-A\frac{(q^{n}-1) }{q-1} \end{eqnarray*}$ oder ?

11.04.2010, 17:02

Equester

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Nun...du bist dran mir zu erklären, warum dem nicht so sein sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also, erkläre warum du unbedingt eine Klammer brauchst (oder auch nicht)!

11.04.2010, 18:17

Monjy

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weil $\begin{eqnarray*} -A\frac{q^{n}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$ doch = $\begin{eqnarray*} \frac{-Aq^{n}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ ergibt und

$\begin{eqnarray*} -A\frac{(q^{n}-1) }{q-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-Aq^{n}+A }{q-1} \end{eqnarray*}$ richtig ???

11.04.2010, 18:22

Equester

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Nein leider nicht.
Unteres ist richtig, aber oberes entspricht genau wie dem unteren.
Die Klammer KANN gesetzt werden, muss aber nicht!
Da das -A NICHT auf dem Bruchstrich steht, bedeutet dass das man den GANZEN
Bruch mit -A multiplizieren muss! Demnach multiplizierst du so wie unten!
(Du kannst also eine Klammer setzen, es ist aber nicht notwendig!)
Auf jeden Fall ist dein obiges Beispiel falsch und gilt nur, wenn sich -A AUF dem
Bruchstrich befindet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst das gerne mit "wirklichen Zahlen" überprüfen! Vllt hilft dir das mehr?!

11.04.2010, 18:25

Equester

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z.B.:

$\begin{eqnarray*} 5*\frac{3-1}{6-5} = \frac{15-5}{6-5} = \frac{10}{1} = 10 \end{eqnarray*}$

Ist dasselbe wie:

$\begin{eqnarray*} 5*\frac{3-1}{6-5} = 5*\frac{2}{1} = 5*2 = 10 \end{eqnarray*}$

Aber NICHT dasselbe wie:
$\begin{eqnarray*} \frac{5*3-1}{6-5} = \frac{15-1}{6-5} = \frac{14}{1} = 14 \end{eqnarray*}$

11.04.2010, 18:46

Monjy

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okay ... habs eingesehen. vielen dank nochmals !

11.04.2010, 18:47

Equester

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Immer gerne Augenzwinkern

Augenzwinkern

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