Renten - vorschüssig

13.04.2010, 00:55	tweety335	Auf diesen Beitrag antworten »
Renten - vorschüssig Hier mal das verflixte Beispiel: Du hast Anspruch auf eine heute beginnende (also vorschüssige) 10-jährige Rente mit Jahresraten á € 5.000,-. Statt der ersten Rate kassierst du aber € 10.000,- einmalig und sofort und deswegen vermindern sich die verbleibenden neun Raten. Wie hoch sind diese bei 4 % p.a.? Ich habe den kompletten Lösungsweg vor mir liegen und ich hänge schon bei der ersten Zeile, in der steht: $\begin{eqnarray} Sn=5000((q^10-1)/(q-1))=60030,54 \end{eqnarray}$ warum rechne ich auf 60.030,54, warum rechne ich mir nicht aus wieviel Geld ich am Anfang haben muss um jährlich 5.000 ausbezahlt zu bekommen? Und was sind diese 60.030,54? Weiter geht es mit: $\begin{eqnarray} B=Sn/q^9-10000=32176,66 \end{eqnarray}$ Sn mit Strich drüber $\begin{eqnarray} Sn=Bq^9=45797,42 \end{eqnarray}$ Sn und R mit Strich drüber $\begin{eqnarray} Sn=R(q^9-1)/(q-1) \end{eqnarray}$ R mit Strich drüber $\begin{eqnarray} R=4327,54 \end{eqnarray*}$ Ich verstehe Bahnhof. Bitte deshalb ganz dringend um eure Hilfe! Danke schon mal!!
13.04.2010, 06:30	phiLLo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, zu deiner ersten Zeile: du solltest dir auf jeden Fall mal die Rentenrechnung zum Beispiel in der Formelsammlung anschauen und dich damit ein bisschen beschäftigen. Evtl. kannst du dir da schonmal etwas klar machen. $\begin{eqnarray} K_n = R\cdot (1+{\frac{p}{100} } )\cdot ... \end{eqnarray}$ Zur zweiten Zeile: Hier wäre mein Tipp die Barwertformel. Ich weiß im Moment nicht ob ich da vielleicht etwas zu sehr von BWL geprägt bin, aber das ist auf jeden Fall das gleiche. $\begin{eqnarray} K_0=\frac{K_n}{(1+\frac{p}{100} )^n} \end{eqnarray}$ Hoffe das war vielleicht eine kleine Hilfe. Muss mich nun für die Schule fertig machen. gruß
13.04.2010, 12:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@phiLLo So einfach ist das auch wieder nicht. Ich denke, auch du kannst aus den untenstehenden Ausführungen noch etwas lernen. Als BWLer kannst du von diesen Dingen nicht stark genug "geprägt" sein. Es geht primär gar nicht um reines Formelwissen. Viel wichtiger ist, dass man erkennt, wie diese Formeln zustande kommen und wann man welche anzuwenden hat. __________________________________________ Bei der Barwertformel muss konkret zwischen Barwert eines feststehenden Betrages und dem von periodischen und gleichbleibenden Ein-/Auszahlungen (Rentenraten) unterschieden werden. Der Barwert einer vorschüssigen n mal jährlich fälligen Rente r ist $\begin{eqnarray} B_{n(vor)} = r + \frac r q + \frac r {q^2} + ... + \frac r {q^{n-1}} = \frac r {q^{n-1}} \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray}$ Im Lösungsweg wurde aber auf das Ende des 10. Jahres bezogen, also der Endwert aufgestellt. Es ist prinzipiell egal, ob man auf den Anfang oder das Ende der Zeitlinie bezieht, nur muss der einmal gewählte Zeitbezugspunkt beibehalten werden. Zwischen Bar- und Endwert besteht die Beziehung $\begin{eqnarray} E_n = S_n = B_n \cdot q^n \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} S_{n(vor)} = rq \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray}$ Davon kommt also die erste Beziehung in deinem Lösungsweg. $\begin{eqnarray} S_{10} \end{eqnarray}$ ist der theoretische Endwert der Rente (mit r = 5000), welcher durch den Anspruch von 10 Jahresraten gegeben ist. Es hat nun keinen Sinn, diesen Endwert und andere Zwischenergebnisse, welche gar nicht gefragt sind, zahlenmäßig auszurechnen! Man kann durchaus mit den allgemeinen Termen weiterrechnen und erst dann die neue Rate R direkt bestimmen. Nun werden aber am Beginn bereits 10000.- ausbezahlt, daher ist dieser Betrag von dem Barwert der Rente abzuziehen. Vom Restbetrag müssen nun die restlichen verbleibenden 9 Raten neu berechnet werden. Das heisst, dass der um 10000.- verminderte ursprüngliche Barwert gleich dem Barwert der neuen 9 mal fälligen Rente R sein muss. Jetzt brauchen wir erst recht den Barwert, daher ist ersichtlich, dass es besser ist, gleich mit den Barwerten zu rechnen! (Es wird nun alles auf den Beginn der Zeitlinie bezogen! Die neue Rate ist R): $\begin{eqnarray} B_{10} - 10000 = B_9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_{10} - 10000 = \frac R q + \frac R {q^2} + ... + \frac R {q^9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_{10} - 10000 = \frac R {q^9} \cdot \frac{q^9-1}{q-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {5000} {q^9} \cdot \frac{q^{10}-1}{q-1} - 10000 = \frac R {q^9} \cdot \frac{q^9-1}{q-1} \end{eqnarray}$ Damit kann nun R berechnet werden, welches exakt der in der Lösung angegebenen Rate entspricht! mY+

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