Gruppen/Körper/Ringe |
| 13.04.2010, 13:19 | KnightofCydonia | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppen/Körper/Ringe Folgende Fragestellungen bereiten mir Probleme: a. Gibt es eine(n) Gruppe/Ring/Körper mit keinem Element? b. Gibt es eine(n) Gruppe/Ring/Körper mit einem Element? c. Gibt es eine(n) Gruppe/Ring/Körper mit zwei Elementen? Meine Ideen: ad a. Das kann ich mit überhaupt keiner Sicherheit beantworten. Ich vermute aber dass dies nicht möglich ist, da ja zumindest neutrale Elemente und Inverse existieren müssen. ad b. Für eine Gruppe muss sogar eine abelsche Gruppe existieren nämlich M={e}, da eoe=e ja auch kommutativ ist. Ob diese Gruppe aber ein Ring oder Körper sein kann, bzw ob es andere einelementige Ringe/Körper gibt, weiß ich nicht. ad c. K:=({0,1},+,*,0,1) ist eindeutig und der "kleinste" Körper, soweit ich weiß (was ausschließen würde, dass es einen einelementigen Körper gibt). Damit ist K also Ring und auch Gruppe. Ich weiß überhaupt nicht ob meine Argumentationen stimmen... |
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| 13.04.2010, 16:09 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Gruppen/Körper/Ringe Tach auch, ad a): Richtig. In einer Gruppe muss per Definition immer ein neutrales Element existieren, sie darf somit nicht leer sein. Ringe und Körper bilden bezüglich der Addition ebenfalls immer Gruppen und sind somit auch nicht leer. ad b) Das Beispiel zu Gruppen stimmt. Die sogenannte "triviale Gruppe" besteht nur aus dem neutralen Element. Ein Körper hat dagegen immer ein Nullelement 0 und außerdem muss K\{0} bezüglich der Multiplikation auch immer eine Gruppe bilden, so dass K\{0} nicht leer sein darf. Ein Körper hat also mindestens zwei Elemente, wie Du ja in c) auch schon bemerkt hast. ad c): Stimmt. Es bleibt also die Frage, ob es einen Ring mit einem Element gibt. Probier mal ein bisschen! Was muss auf jeden Fall in einem Ring enthalten sein? Kann das schon ein kompletter Ring werden? ... Gruß, Reksilat. |
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| 13.04.2010, 20:35 | KnightofCydonia | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Gruppen/Körper/Ringe hmmm...also die Menge M={0} bildet auf jeden Fall mal eine Gruppe bzgl +, oder? Die Gruppenaxiome sind glaube ich erfüllt: Assoziativgesetz (0+0)+0=0=0+(0+0), neutrales Element 0+0=0, Inverse: 0+(-0)=0 (M,*) würde auch das Assoziativitätsgesetz erfüllen: (0*0)*0=0=0*(0*0) und Distributivgesetze von + bzgl * gelten natürlich auch 0*(0+0)=(0*0)+(0+0)=0 damit folgt meinen Überlegungen, dass ({0},+,*) ein Ring ist. wenn das so stimmt, was wie ich finde ziemlich seltsam aussieht...wo liegt dann der Unterschied zur "trivialen Gruppe"??...oder ist die triviale Gruppe nur Gruppe, weil ({0},+,*) ein Ring ist? Irgendwie hab ich nicht ganz den Durchblick.... |
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| 14.04.2010, 21:47 | KnightofCydonia | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich bedanke mich vielmals bei Reksilat für die Hilfe, doch kann mir niemand mehr weiterhelfen? Ich möchte wissen ob ich nun am richtigen Weg bin oder ob meine Überlegungen jetzt völlig falsch waren.... |
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| 15.04.2010, 10:53 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Komisch... Weiß gar nicht, warum ich Deine Antwort nicht gesehen habe - Tschuldigung! 
Du hast natürlich Recht, ({0},+,*) ist ein Ring und jeder beliebige Ring enthält auch einen solchen Teilring. Und der Unterschied zwischen ({0},+) und ({0},+,*) ist eben nur der, dass man in einem Ring auch noch die Multiplikation hat. Beachten solltest Du allerdings noch, dass wir hier zwar von einem Nullelement und Einselement sprechen, diese aber nicht eindeutig sind. Auch gibt es nicht die triviale Gruppe oder nur einen Nullring, aber bis auf Isomorphie ist das eben alles gleich. Bsp: Die ganze Zahl bildet mit der klassischen Addition und Multiplikation einen Ring . Ebenso bildet aber auch die Nullmatrix mit Matrixmultplikation und -addition einen Ring Diese Ringe sind offensichtlich nicht gleich, aber eben isomorph. Gruß, Reksilat. |
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| 15.04.2010, 12:08 | KnightofCydonia | Auf diesen Beitrag antworten » |
kP... hab nur befürchtet dass mein beitrag in Vergessenheit gerät 
Vielen vielen Dank...!! Jetzt ist mir alles klar! |
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