Eigenvektoren

13.04.2010, 19:37

mrtommy

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Eigenvektoren

Hallo,

ich habe mal wieder Probleme mit dem Eigenvektor einer Matrix.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Eigenwerte ausgerechnet $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1 , 2

Nun zu den Eigenvektoren....

für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2 :

x1 + x2 = 0
-2x1 - 2x2 = 0

ich habe, weil wir nur eine Gleichung haben x2 = z gesetzt sodass für x1 = -z resultiert!

Also $\begin{eqnarray*} \vec{x} z \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wie mache ich das mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1 ???

Laut eines rechenprogramms im www soll $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als ein eigenvektor rauskommen...

darauf komme ich aber nicht ...

ich hätte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\lambda/2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus ?!

Wie wähle ich bei lambda 2 einen ,den richtigen Parameter aus?!

13.04.2010, 19:40

DOZ ZOLE

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woher nimmst du den ersten EW? wo ist dein charakteristisches polynom?

13.04.2010, 19:47

mrtommy

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mein charakteristisches polynom lautet

$\begin{eqnarray*} \lambda ^2 - 3\lambda + 2 \end{eqnarray*}$

also folgende Eigenwerte:

$\begin{eqnarray*} \lambda 1 = 1<br /> \lambda 2 = 2 \end{eqnarray*}$

13.04.2010, 19:50

DOZ ZOLE

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das is schon mal richtig.

wie kommst du jetzt zu den basen der eigenräume zu den einzelnen eigenwerten?

13.04.2010, 19:55

mrtommy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

meinst Du das?

13.04.2010, 19:56

DOZ ZOLE

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genau, die lösung von dem LGS bildet eine basis des eigenraum zum ew $\begin{eqnarray*} \lambda_2=2 \end{eqnarray*}$ von deiner matrix.

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13.04.2010, 20:00

mrtommy

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und wie geht das für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 1 ???

da habe ich dann

2x1 + x2 = 0
-2x1 -x2 = 0

wie definiere ich hier den Eigenvektor ?

13.04.2010, 20:00

WebFritzi

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RE: Eigenvektoren

Zitat:

Original von mrtommy
ich habe, weil wir nur eine Gleichung haben, x2 = z gesetzt sodass für x1 = -z resultiert!

Das ist schonmal richtig.

Zitat:

Original von mrtommy
Also $\begin{eqnarray*} \vec{x} z \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Du meinst das richtige. Aber so, wie du es aufgeschrieben hast, ist es kompletter Unsinn. Der Eigenraum ist die Menge aller Eigenvektoren mitsamt dem Nullvektor. Jeder Eigenvektor hat die Form

$\begin{eqnarray*} z\binom{-1} 1 = \binom{-z} z\quad\text{ mit }\,z\in\mathbb R\setminus\{0\}. \end{eqnarray*}$

Also ist der Eigenraum gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \left\{\binom{-z} z : z\in\mathbb R\right\}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mrtommy
Wie mache ich das mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1 ???

Genauso wie du es für $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ gemacht hast. Gleichungssystem aufstellen (auch hier reicht eine Gleichung) und einen Parameter wählen.

13.04.2010, 20:04

DOZ ZOLE

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wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i=\left\{1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ eigenwert einer matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb K^{n,n} \end{eqnarray*}$ ist dann berechnet sich eine basis des zugehörigen eigenraums als lösung des LGS $\begin{eqnarray*} \left(A-\lambda_iI\right)\vec{x} =\vec{0} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ die einheitsmatrix ist.

13.04.2010, 20:05

mrtommy

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Vielen Dank Webfritzi !

kannst Du mir die ersten Schritte noch vorzeigen wie ich den Parameter einsetzte?

13.04.2010, 20:16

WebFritzi

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Warum sollte ich das tun, wenn du es bei lambda = 2 auch geschafft hast? verwirrt

verwirrt

13.04.2010, 20:25

mrtommy

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$\begin{eqnarray*} z\binom{-1/2}%201%20=%20\binom{-1/2z}%20z\quad\text{%20mit%20}\,z\in\mathbb%20R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig ?

13.04.2010, 20:26

DOZ ZOLE

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ja das ist eine wahre aussage aber was soll das für deine aufgabe bringen?

13.04.2010, 20:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von mrtommy
$\begin{eqnarray*} z\binom{-1/2}%201%20=%20\binom{-1/2z}%20z\quad\text{%20mit%20}\,z\in\mathbb%20R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig ?

Ich würde -1 statt 1 wählen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Außerdem solltest du sagen, was diese Gleichung bedeuten soll (was DOZ ZOLE schon angedeutet hat).

13.04.2010, 20:42

mrtommy

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Y'(t) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Y(t) + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3t - 2 \\ -2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) zunächst Eigenwerte und Eigenvektoren
b) die Lösung der homogenen Gleichung angeben
c) eine L. des inhomogenen Systems mit dem Ansatz

Y(t) = \begin{pmatrix} a * t + b \\ c * t + d \end{pmatrix}

d) die allgemeine Lösung des Systems. Summe inhomogene + homogene Lösung

13.04.2010, 20:46

WebFritzi

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@mrtommy: Was soll das? Du hast die zu bearbeitende Aufgabe hier doch bereits gepostet (Eigenvektoren finden). Keiner hat dich hier aufgefordert, die gesamte Aufgabe zu posten. Vielleicht solltest du mal dazu übergehen, die Beiträge (auch deine eigenen!) etwas sorgfältiger zu lesen.

13.04.2010, 20:52

mrtommy

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Ich würde -1 statt 1 wählen .. was meinst Du damit ?

$\begin{eqnarray*} z \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z/2\\ -z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(von der formalität abgesehen^^)

13.04.2010, 23:35

WebFritzi

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Das ist richtig. Ich hatte vorher das Minus vor dem 1/2 übersehen, sorry.

15.04.2010, 07:45

mrtommy

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würde die homogen Lösung so aussehen? :

$\begin{eqnarray*} Y(homogen)= C1*e^{2t} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + C2*e^{t}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} mit Ci\left(i\in\left\{ 1,2,3\right\} \right) \end{eqnarray*}$

15.04.2010, 15:40

mrtommy

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RE: Eigenvektoren
wie komme ich nun auf die partikuläre Lösung?

den Ansatz habe ich ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a*t + b \\ c *t + d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

muss ich den Ansatz nun ableiten mal der urspr. Matrix multiplizieren und mit dem usprünglichen Ansatz gleichsetzten?

15.04.2010, 19:23

mrtommy

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kann mir keiner helfen?

16.04.2010, 11:20

WebFritzi

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RE: Eigenvektoren

Zitat:

Original von mrtommy
würde die homogen Lösung so aussehen? :

$\begin{eqnarray*} Y(homogen)= C1*e^{2t} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + C2*e^{t}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} mit Ci\left(i\in\left\{ 1,2,3\right\} \right) \end{eqnarray*}$

Ja, die Lösungen des homogenen Systems sehen so aus. Freude

Freude

Zitat:

Original von mrtommy
wie komme ich nun auf die partikuläre Lösung?

den Ansatz habe ich ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a*t + b \\ c *t + d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

muss ich den Ansatz nun ableiten mal der urspr. Matrix multiplizieren und mit dem usprünglichen Ansatz gleichsetzten?

Erstmal: Es gibt nicht die partikuläre Lösung. Es gibt unendlich viele. Du hast einen Ansatz für eine Lösung angegeben. Ob der zum Ziel führt, muss man ausprobieren. Setze ihn dazu einfach in das DGL-System ein (für Y(t)). Dabei musst du diesen natürlich auf der linken Seite ableiten. Auf der rechten Seite einfach einsetzen und dann schauen, ob es a,b,c und d gibt, so dass die Gleichung erfüllt ist für alle t.

16.04.2010, 15:57

mrtommy

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Danke Webfritzi .. ich habs raus!

16.04.2010, 17:18

WebFritzi

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Dann poste hier doch bitte auch deine Lösung (mit Weg dahin, versteht sich).

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