4 aufeinanderfolgende zahlen sind durch 24 teilbar

14.04.2010, 18:25

Moses

4 aufeinanderfolgende zahlen sind durch 24 teilbar

Hallo Leute!
Ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray*} p \cdot (p+1) \cdot (p+2) \cdot (p+3) \end{eqnarray*}$ durch 24 teilbar ist.

habe für p = 1 rausbekommen, dass diese behauptung stimmt
habe das problem, dass ich nicht weiss wie ich aus
$\begin{eqnarray*} (p+1) \cdot (p+2) \cdot (p+3) \cdot (p+4) \end{eqnarray*}$ ein polynom bekomme wo man die
Teilbarkeit sieht. Habe es schon mit ausmultiplitzieren versucht =/
Kann mir einer helfen?

14.04.2010, 18:35

Dustin

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Überleg dir doch mal, aus welchen Faktoren sich die 24 zusammensetzt. Und dann überleg mal, ob sich da nicht für jeden Teiler der 24 ein Faktor von p(p+1)(p+2)(p+3)
finden lässt, der durch den Teiler teilbar ist.

14.04.2010, 18:39

Moses

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hmm ja die teiler von 24 da könnte man doch was machen oder?
also 1 2 3 4

14.04.2010, 19:03

Mystic

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Ein Alternativzugang zur Lösung wäre es, die Anzahl der 4-elementigen Teilmenen einer Menge mit p+3 Elementen zu bestimmen... Wenn du es schaffst, dafür eine Formel anzugeben (was ich jetzt ehrlich gesagt etwas bezweifle), so wäre das zugleich die Antwort auf deine eingangs gestellte Frage...

14.04.2010, 19:05

Moses

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ich bin erstsemestler und hab noch nicht mal ne vorlesung gehabt und soll das lösen
ich bin echt ko

14.04.2010, 19:12

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Und noch ein dritter Lösungsweg: Wenn's gänzlich ohne kombinatorische Gedanken gehen soll, und es unbedingt Induktion sein soll, dann diese Induktion vielleicht zweistufig:

Zitat:

Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} p \cdot (p+1) \cdot \ldots \cdot (p+n-1) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

beweisbar durch Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (äußere) und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ (innere).

14.04.2010, 19:18

turbojunge

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Ja, schöne Lösungswege... Aber am Anfang des ersten Semesters wäre mir das auch etwas zu viel gewesen smile

Versuche doch mal zu zeigen, dass einer der vier Faktoren durch 4, ein anderer durch 2 und ein weiterer durch 3 teilbar ist. Dann bist Du fertig.

14.04.2010, 19:26

tmo

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Wenn wir schon bei alternativen Lösungen sind: Man kann auch für $\begin{eqnarray*} f(p)=p(p+1)(p+2)(p+3) \end{eqnarray*}$ die Rekursion

$\begin{eqnarray*} f(p)=3f(p-1)-3f(p-2)+f(p-3)+24p \end{eqnarray*}$

beweisen und dann geeignet anwenden Augenzwinkern

14.04.2010, 19:29

Moses

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danke für die antworten =)

also nach dem schritt p -> p+1 kam sowas raus
$\begin{eqnarray*} p\cdot \left( p+1 \right)\cdot \left(p+2\right) \cdot ((p+1)(p+6)+6) \end{eqnarray*}$

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