Integration

14.04.2010, 20:18

Paule R.

Integration

Hallo,
wie integriere ich am besten diese Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac 1 {x^2+x+1} \end{eqnarray*}$ Zum substituieren sehe ich nix.

14.04.2010, 20:42

lisacm

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hi, also ich würde es so machen:

erstmal die formel so umschreiben
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2}+x^{-1}+1 \end{eqnarray*}$

und dann einzeln integrieren:

$\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{1}{x} +lnx+x \end{eqnarray*}$

14.04.2010, 20:44

Airblader

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Zitat:

Original von lisacm
erstmal die formel so umschreiben
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2}+x^{-1}+1 \end{eqnarray*}$

Einspruch, denn das ist falsch.

Substitution führt hier schon zum Weg. Schau dir mal die Ableitung des Arkustangens an. Ist allerdings nicht ganz so einfach, wie man es in der Schule gewohnt ist (ist ja Schulmathematik).

Edit:
Vielleicht hilft es dir ja auch, das Ergebnis mal zu sehen. Aber erstmal frage ich nach, ob die Aufgabe wirklich korrekt gestellt wurde. Für die Schulmathematik fänd ichs jedenfalls sehr ungewöhnlich.

air

14.04.2010, 20:50

Paule R.

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also das x muss irgendwie weg, dann ist es der arctan. Nr wieSUbstituiert man da?

14.04.2010, 21:06

Mulder

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Bevor du substituierst, musst du erstmal nur stur umformen. Das Ziel muss sein, ein Integral der Form

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(mx+b)^2+1} \, \dx \end{eqnarray*}$

zu erreichen. Denn dann kann man mit dem Tangens substituieren, nachdem man zuvor mit einer linearen Substitution die Form

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{u^2+1} \, \dd u \end{eqnarray*}$

erreicht hat. Alles, was dabei an konstanten Vorfaktoren dazu kommt, kann man ja vor das Integral ziehen.

14.04.2010, 21:16

Paule R.

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Also die Aufgabe ist korrekt. Wie forme ich denn das am besten um irgendwie sehe ich das gerade überhaupt nicht. Man kann es so umformen: $\begin{eqnarray*} (x+1)^2-x \end{eqnarray*}$ das bringt ja aber nix.

14.04.2010, 21:21

Mulder

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Richtig, das bringt nichts. Aber das hier bringt was:

$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 = \left ( x+ \frac{1}{2} \right )^2+ \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

14.04.2010, 21:33

Paule R.

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Also da habe ich ja aber immer ncoh nciht das +1 hinten für den Tangens. Wenn ich das x+1/2 substituiere bleibt ja immer noch z^2+3/4

14.04.2010, 21:50

Mulder

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RE: Integration

Zitat:

Original von Paule R.
Also da habe ich ja aber immer ncoh nciht das +1 hinten für den Tangens.

Wie wäre es denn, wenn du dann einfach mal (3/4) ausklammerst? Ich sagte ja: Konstante Vorfaktoren kann man alle vor das Integral ziehen. Hier muss man eben ein bisschen rumfummeln.

Edit: Das Ausklammern natürlich vor der Substitution!

14.04.2010, 22:07

Paule R.

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Also ich klammer aus:

$\begin{eqnarray*} \frac 3 4 (\frac 4 3(x+\frac 1 2)^2+1) \end{eqnarray*}$

Da kann cih die 1/(3/4) vors Integral ziehen da bleibt ja aber immer noch die 4/3.

14.04.2010, 22:15

Mulder

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RE: Integration
Ja, das ist nun noch der letzte Schritt. Es bleibt noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left ( x+\frac{1}{2}\right )^2}{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

Dafür brauchst du nur noch Potenzgesetze:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{b} = \left ( \frac{a}{\sqrt{b}} \right )^2 \end{eqnarray*}$

15.04.2010, 18:04

Paule R.

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Also die Aufgabe ist irgendwie nicht so mein Freund. $\begin{eqnarray*} (\frac{x+\frac 1 2}{\sqrt{\frac 3 4 }})^2+1 \end{eqnarray*}$ . Aber da ist doch immer noch nirgends $\begin{eqnarray*} (x^2+1) \end{eqnarray*}$

15.04.2010, 18:14

Mulder

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Das kann ich mir vorstellen. Wie airblader schon sagte: Für Schulmathematik ist sowas auch ungewöhnlich. Ich musste sowas glaube ich in der Schule auch nie machen.

Anfangs hatte ich ja geschrieben, dass du substituieren sollt. Hier eben gleich zwei mal. Erst linear, und dann mit dem Tangens. Du könntest auch jetzt schon substituieren. Aber erst kann man ja noch etwas vereinfachen. Ich mach mal die nächsten zwei Schritte für dich:

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \right )^2 = \left ( \frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}} \right )^2 = \left ( \frac{ 2 \left ( x+\frac{1}{2} \right )}{\sqrt{3}} \right )^2 = \left ( \frac{ 2x+1 }{\sqrt{3}} \right )^2 \end{eqnarray*}$

Verständlich? Da habe ich wieder nur elementare Gesetze vewendet (Wurzelgesetze und Doppelbrüche). So, jetzt, substituierst du

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{\sqrt{3}} = u \end{eqnarray*}$

Danach kannst du mit dem Tangens substituieren.

15.04.2010, 20:01

Paule R.

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Also jetzt komme ich fast hin. Was noch fehlt ist die Wurzel 3 im Nenner. Da habe ich nur eine 3. Die entstand, als ich am Anfang das 3/4 im Nenner ausgeklammert habe.

15.04.2010, 20:05

Mulder

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RE: Integration

Zitat:

Original von Paule R.
Also jetzt komme ich fast hin. Was noch fehlt ist die Wurzel 3 im Nenner. Da habe ich nur eine 3. Die entstand, als ich am Anfang das 3/4 im Nenner ausgeklammert habe.

Damit kann ich jetzt nichts anfangen. Konkretisiere das bitte nochmal.

16.04.2010, 14:50

Paule R.

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac 3 4 (\frac 4 3(x+\frac 1 2)^2+1)} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich doch die 4/3 ausgeklammert. In der Lösung steht aber eine Wurzel 3 im Nenner.

16.04.2010, 14:54

Mulder

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Tut mir leid, ich verstehe wirklich nicht, wo jetzt noch das Problem liegen soll. Du selbst hast doch diesen Schritt gemacht:

Zitat:

Original von Paule R.
$\begin{eqnarray*} (\frac{x+\frac 1 2}{\sqrt{\frac 3 4 }})^2+1 \end{eqnarray*}$

Wenn man dann mit den Potenzgesetzen rumspielt, wird daraus doch das Wurzel 3. Das habe ich im Folgebeitrag für dich gemacht. Das substiuerst du und nach der Rücksubstitution ist die Wurzel 3 dann auch wieder da.

16.04.2010, 14:58

Paule R.

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Ja im Arctan habe ich die Wurzel 3 auch. Aber nicht davor. Da muss ja $\begin{eqnarray*} \frac 2 {\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ stehen. Ich Klammere die 4/3 aus. Dann die 2 im Nenner. Da kommt man auf die 2 im Zähler aber im Nenner habe ich eben 3 und nciht Wurzel 3.

16.04.2010, 20:04

Mulder

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Wenn du deine Rechnungen einfach nicht aufschreibst, dann kann ich nicht sagen, wo es bei dir scheitert. Es scheitert jetzt also nur noch am Vorfaktor, ja? Ich vermute ja, dass du das dx nicht mitsubstituiert hast, aber ich kann eben nur raten.

Wie hast du substituiert?

17.04.2010, 11:56

Q-fLaDeN

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Schreib das doch mal ordentlich hin...

$\begin{eqnarray*} \int~\frac 1 {x^2+x+1}~\dd x = \int~\frac{1}{\left ( x+ \frac{1}{2} \right )^2+\frac 3 4}~\dd x = \int~\frac{1}{\frac 3 4 \left( \frac 4 3 \left(x+\frac 1 2 \right)^2 + 1 \right)}~\dd x = \frac 4 3 \int~\frac{1}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)^2+1}~\dd x \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt die Substitution, und wie Mulder schon gesagt hat, nicht vergessen das dx zu substituieren!

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