Körper F2

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Körper F2
Dieser sogenannte Körper kann man mich ja maßlos ankotzen, aber ich muss mich da jetzt doch mal wieder mit rumschlagen. Meine Frage ist auch wahrscheinlich total dämlich. Ich brauche im Rahmen einer Übungsaufgabe alle Abbildungen in diesem Körper, also alle Abbildungen der Form



Insgesamt sollen das wohl vier sein. Aber so ganz will mir nicht einleuchten, welche das sein sollen. Vielleicht zum einen die Identität?

Wenn ich jetzt einfach mal ansetze:



Und was dann? Vielleicht Abbildungen, die jeweils konstant auf die 0 oder die 1 abbilden? Und vielleicht sowas wie



Ich steh da echt etwas blöd da...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat doch mit dem Körper gar nichts zu tun.
Es geht um alle Abbildungen von {0,1} -> {0,1}.
Und diese zu bestimmen ist nicht schwer(du musst nur sagen 0 geht auf ... und 1 geht auf ...)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F2
Hui, geht das manchmal schnell hier... danke!

Ich sag's ja, ich werde mit dem Ding nicht grün und neige dazu, Unsinn zu verzapfen. Big Laugh

Also einmal die Abbildung mit 0 -> 0 und 1 -> 1

Dann 0 -> 1 und 1 -> 1

Dann 0 -> 1 und 1 -> 0

Dann 0 -> 0 und 1 -> 0

Oder wie? Wie schreibt man die Abbildung dann denn formal sauber hin? Und wenn das so stimmen sollte: Ist das nicht eigentlich genau das, was ich oben schon geschrieben hatte (nur eben mit den a vielleicht etwas umständlicher formuliert)? Oder ist das jetzt schon wieder Quark?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, oben hast du die Abbildung a+1 nicht erwähnt. Wenn du es unbedingt mit Termen schreiben willst gibt es die Abbildungen
a -> a
a -> a+1
a -> 0
a -> 1
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ach richtig, bei mir machten zwei davon genau das gleiche. Danke dir! Wink
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F2
Okay, jetzt ergeben sich bei der eigentlichen Aufgabe auch noch leichte Schwierigkeiten. Die Abbildungen habe ich ja gefunden.

Jetzt soll ich für jedes und ein festes die Anzahl der Polynome mit finden. Zunächst für n=1 und n=2, aber eben auch allgemein für n.

ich bleibe da erstmal bei einem Beispiel (die anderen gehen dann ja sicherlich ähnlich), der Identität:



Für n=1 finde ich da gerade ein Polynom f, nämlich



Für n=2 finde ich dann zwei:

und

Nur, wie mache ich das für n allgemein? Einfach nur n Polynome sind das ja nicht, zwar sind alle Polynome solche Polynome, aber es gibt ja dann noch weit mehr, zum Beispiel sowas wie



Denn es ist in F2 ja 0+0+0=0 und 1+1+1=0+1=1 Passt also.

Wie soll man die Anzahl da erfassen können? Hat jemand einen Hinweis für mich?
 
 
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist im Prinzip reine Kombinatorik.

Erst mal hast du ein paar Fehler gemacht. Vom Grad kleiner-gleich 1 gibt es nämlich die Polynome (Es sei denn man definiert den Grad des Nullpolynoms auf irgendeine Weise, sodass dieser nicht unterhalb von 1 liegt)

Allgemein hat doch ein Polynom vom Grad kleiner Gleich n folgende Form:

wobei .

Jetzt musst du dich doch nur noch auf der Ebene der Kombinatorik fragen, wieviele Möglichkeiten du hast, die zu wählen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F2
Zitat:
Original von Manus
Erst mal hast du ein paar Fehler gemacht. Vom Grad kleiner-gleich 1 gibt es nämlich die Polynome (Es sei denn man definiert den Grad des Nullpolynoms auf irgendeine Weise, sodass dieser nicht unterhalb von 1 liegt)

Nein, das Polynom f=0 bildet doch zum Beispiel nicht die 1 auf die 1 ab. Vorsicht: Ich bin ja immer noch bei der Identität!



Ich will nur Abbildungen finden, die dieser Bedingung genügen und außerdem grad(f)<=n erfüllen. Die anderen Abbildungen mache ich danach.

Zitat:
Original von Manus
Jetzt musst du dich doch nur noch auf der Ebene der Kombinatorik fragen, wieviele Möglichkeiten du hast, die zu wählen.

Es lassen sich auch massenhaft Polynome unter ihnen finden, die eben nicht der Identitätsabbilung entsprechen. Insofern hilft mir das nicht weiter. Aber vielleicht stelle ich mich jetzt auch etwas paddelig an.

PS: Das Nullpolynom hat bei uns den Grad -unendlich.
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte, da habe ich dich missverstanden.


Gut, du hast also ein Polynom und die dazugehörige Polynomabbildung soll der Identität auf entpsrechen.

Was für Bedingungen kannst du also an das Polynom stellen, wenn du einfach mal 0 und 1 einsetzt.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F2
Tja, das ist mein Problem. Für



fiele mir nur ein, dass im Falle der Identität die Anzahl der ungerade sein muss. Weiter komme ich nicht.

Edit: heißt in den Fall hier ja einfach .
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir doch mal mit dem einfachen Part an:

Was ist p(0) im allgemeinen Fall und was soll es sein, damit wir die Identität erhalten?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F2
?



Und hier soll



sein. Und nun?
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

So, wir wissen also Damit kennen wir von den n+1 Koffizienten doch schon mal immerhin einen.

Dann gilt also und das soll 1 ergeben. Das bedeutet es muss eine ungerade Anzahl der sein. Und ab hier ist das nur noch Kombinatorik, denn wir müssen uns ja bloß noch fragen, wieviele Möglichkeiten haben wir aus n Stück eine ungerade Anzahl auszuwählen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F2
Ach so, stimmt, ich hatte oben das a_0 noch mit drin.



Jetzt sind allerdings meine Kombinatorik-Kenntnisse sehr überschaubar, um es mal vorsichtig auszudrücken (weil ich bisher noch keine entsprechende Veranstaltung besucht habe). Über welche Formel/welchen Ansatz kann ich die Anzahl denn bekommen?

Geht das über den Binomialkoeffizienten? Das kenne nur mit konkreten Werten. Was soll man da einsetzen, wenn es nur ungerade sein muss?
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Binomialkoeffizienten sind das richtige Stichwort.

Mal angenommen wir haben ein relativ großes n.

Wieviele Möglichkeiten hast du genau 1 zu setzen?

Wie sieht es aus, wenn du genau 3 setzen möchtest?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Genau 1 ist ja noch der einfache Fall, das sind genau n.

Bei 3 sitze ich da schon...

Betrachte ich dann einfach ?

Sorry, hier setzt es bei mir wirklich etwas aus...
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Ist aber genau richtig. Wenn du k Objekte aus n auswählen möchtest (ohne zurücklegen und ohne Wert daraufzulegen, in welcher Reihenfolge du ziehst) hast du Möglichkeiten.

So, wieviele Möglichkeiten hast du also insgesamt aus den n Objekten eine ungerade Anzahl auszuwählen? (Tipp: Nimm erst mal eine Summenschreibweise, das ist zunächst am einfachsten)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... vielleicht so?



So müsste ich aus der Gesamtsumme doch alle geraden Anzahlen rausgeschmissen haben, oder?

Edit2: Ne, Blödsinn. Die Summe da oben darf nur bis n/2 gehen, oder? Also so:

Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, das funktioniert natürlich nur, wenn du überhaupt definiert hast für k>n (und das dann auch noch 0 ist).

Kommt aber aufs gleiche raus wie:

Kennst du zufällig den Wert dieser Summe?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, einfach 0 setzen für k>n geht natürlich auch, stimmt. Schreibe ich dazu. Gefällt mir besser als das n/2.

Zitat:
Original von Manus
Kennst du zufällig den Wert dieser Summe?


Leider nein. Ich schau gerade schon die ganze Zeit bei Wikipedia rum, aber bin noch nicht fündig geworden...

Edit: Aha...

Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Ich glaube ich kann dir mal verraten, dass oben genannte Summe den Wert hat. Um darauf zu kommen, kann man beispielsweise sehen, dass ist (binomischer Lehrsatz). Und dann feststellen, dass die Summe über alle Binomialkoeffizienten mit ungeradem k und die Summe über alle Binomialkoeffizienten mit geradem k gleich sind, da .

Daraus folgt dann sofort der Wert der gefragten Summe.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F2
Prima, jetzt ist alles klar. 2^n/2 ergibt die gesuchte Summe.

Ich danke dir für die richtig schnell Hilfe. Den Rest (die anderen Abbildungen) schaffe ich alleine, denke ich. Wink
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ursache. Kleiner Tipp zu den anderen Abbildungen:


Es gibt 4 Stück und Polynome vom Grad kleiner-gleich n. Außerdem ist . Mehr verrate ich mal nicht.
Modou Auf diesen Beitrag antworten »
a0 vergessen?
Ihr habt a0 vergessen, wenn ich mich nicht irre, denn a0 muss doch z.B bei der Identität immer =0 sein, da sonst niemals 0 herauskommen kann.
Kann das sein?
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