Holomorphie (?)

15.04.2010, 00:49

ThomasTomy

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Holomorphie (?)

Hallo miteinander!

Wonach / nach welchem Begriff muss ich bei folgender Aufgabe suchen?
$\begin{eqnarray*} f \in C^1( \mathbb R^2, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ (C ist die Menge der stetigen Funktionen) mit $\begin{eqnarray*} \delta_1 f = \delta_2 f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ sei gegeben. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} \exists g \in C( \mathbb R^2, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y) = g(x,y)(x+y) \ , (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

15.04.2010, 18:22

Leopold

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RE: Holomorphie (?)

Zitat:

Original von ThomasTomy
$\begin{eqnarray*} \delta_1 f = \delta_2 f \end{eqnarray*}$

???

Die meisten der Benutzer des Matheboards dürften nicht in derselben Vorlesung wie du sitzen. Du mußt also schon die vorlesungsinternen Bezeichnungen erklären. Ich vermute, daß dieses $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ für irgendeine Art von Ableitung steht. Aber was will das schon heißen ...

15.04.2010, 22:46

ThomasTomy

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RE: Holomorphie (?)
Hallo!

Ah, tut mir Leid..ich dachte, dies sei eine allgemein gültige Bezeichnung..
Ja, Delta soll die Ableitung bezeichnen, wobei die Ziffer angibt, um die wievielte Ableitung es sich handelt..

16.04.2010, 12:39

WebFritzi

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Das ist doch Unsinn, was du da schreibst. Nach deiner Angabe ist also $\begin{eqnarray*} \delta_2f \end{eqnarray*}$ die zweite Ableitung von f. Das ist aber Quatsch. Es ist die Ableitung nach y gemeint.

16.04.2010, 13:36

ThomasTommy

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Achsooo - trotzdem komme ich (noch) nicht auf die springende Idee, wie man dies am besten zeigen koennte..

16.04.2010, 14:32

WebFritzi

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Die Aufgabe ist schön. smile

smile

Man hat also

$\begin{eqnarray*} (1)\quad \partial_xf(x,y) = \partial_yf(x,y)\quad\text{für alle }\,(x,y)\in\mathbb R^2. \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (2)\quad f(0,0) = 0. \end{eqnarray*}$

Für festes $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiere

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) := f(x,-x+c),\quad x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

und zeige mithilfe von (1), dass $\begin{eqnarray*} \varphi'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle x gilt. Also ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ konstant. Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} (3)\quad f(x,y) = f(x,-x + (x+y)) = f(0,x+y). \end{eqnarray*}$

Definiere nun die stetig diffbare(!) Funktion

$\begin{eqnarray*} h(x) := f(0,x),\quad x\in\mathbb R. \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist ja, dass es eine stetige Funktion g gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = (x+y)g(x,y) \end{eqnarray*}$

gilt. Für $\begin{eqnarray*} y\neq -x \end{eqnarray*}$ ist notwendigerweise

$\begin{eqnarray*} g(x,y) = \frac{f(x,y)}{x+y}. \end{eqnarray*}$

Es bleibt nun zu zeigen, dass diese Funktion sich stetig auf die Gerade y = -x erweitern lässt. Dazu stellen wir fest, dass nach (3) für $\begin{eqnarray*} y\neq -x \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} g(x,y) = \frac{f(x,y)}{x+y} = \frac{h(x+y)}{x+y}. \end{eqnarray*}$

Setze nun noch

$\begin{eqnarray*} g(x,-x) := h'(0). \end{eqnarray*}$

Deine Aufgabe bleibt es nun zu zeigen, dass dadurch eine stetige Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

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16.04.2010, 22:44

ThomasTommy

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Wow - herzlichen Dank für diesen super Beitrag! =)
..zur Stetigkeit: Hier gäbe es ja 3 Möglichkeiten, diese nachzuweisen: 1.) per Epsilon-Delta-Kriterium, 2.) per Folgenkriterium oder 3.) per limes (lim(g(x)) = g(x_0))

Welche Möglichkeit würdest du empfehlen?
Ich hätte es mit dem limes gemacht:
g ist stetig in $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , denn:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0 \ , y \to y_0} g(x,y) = \frac{f(x,y)}{x+y} = g(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$

17.04.2010, 22:07

WebFritzi

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Deine Antwort zeigt mir, dass du das Problem überhaupt nicht erkannt hast. Ganz offenbar ist g auf der offenen Menge

$\begin{eqnarray*} \{(x,y)\in\mathbb R^2 : y\neq -x\} \end{eqnarray*}$

sogar stetig diffbar (warum?), also insbesondere stetig. Frage ist, ob g in den Punkten (x,-x) stetig ist (also in Punkten auf der Geraden y = -x). Hier ist lediglich zu erkennen, dass g außerhalb dieser Geraden ein Differenzenquotient ist.

17.04.2010, 23:02

ThomasTommy

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Also wäre eigentlich :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0 \ } g(x,-x) \end{eqnarray*}$
zu überprüfen - oder?

17.04.2010, 23:10

WebFritzi

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Was schreibst du denn da? unglücklich

unglücklich

Man kann eine Aussage überprüfen. Was du da hingeschrieben hast, ist aber keine Aussage.

Du musst zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ der Genzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\,g(x,y) \end{eqnarray*}$

existiert.

17.04.2010, 23:56

ThomasTommy

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Ah - super! =)
Das heisst also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\,g(x,y) = \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\, \frac{h(x+y)}{x+y} = \frac{h(0)}{x+y} = g(x,-x) \end{eqnarray*}$

Das heisst also, der Grenzwert exisitiert.

18.04.2010, 01:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von ThomasTommy
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\, \frac{h(x+y)}{x+y} = \frac{h(0)}{x+y} \end{eqnarray*}$

Das ist Unsinn.

18.04.2010, 14:47

Manuel20

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Also das h ist Unsinn, oder der gesamte Ausdruck?

Ich hab eben eigentlich gedacht, ich könne den Ausdruck so umformen, dass dieses h herauskommt.
Denn ursprünglich gedacht hätte ich an folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\,g(x,y) = \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\, \frac{f(x,y)}{x+y} = \frac{f(x_0, -x_0)}{x+y} = g(x,-x) \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 00:32

WebFritzi

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Wieder Unsinn. Du lässt (x,y) gegen $\begin{eqnarray*} (x_0,-x_0) \end{eqnarray*}$ gehen. Danach sollte natürlich kein x und kein y mehr auftauchen.

19.04.2010, 00:52

ThomasTommy

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Ah, du meinst im Nenner?
Hmm..dann wäre dieser Grenzwert aber nicht definiert, wegen Division durch 0 :
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\,g(x,y) = \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\, \frac{f(x,y)}{x+y} = \frac{f(x_0, -x_0)}{x_0+(-x_0)} = \frac{f(x_0, -x_0)}{0} \end{eqnarray*}$

..hmm..da stimmt was nicht :S

19.04.2010, 00:54

WebFritzi

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Da stimmt was nicht - richtig. Vielleicht solltest du noch einmal rekapitulieren und dir nochmal alle Beiträge von mir durchlesen.

19.04.2010, 01:12

ThomasTommy

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Ah, ja:
Wir haben ja oben definiert, dass g(x, -x) = h'(0) ist.
Und h'(0) ist 0, das heisst, dass ein solches g existiert.

19.04.2010, 01:15

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Was für ein Unsinn. Glaubst du eigentlich selber, was du da so schreibst?

Zitat:

Original von WebFritzi
Vielleicht solltest du noch einmal rekapitulieren und dir nochmal alle Beiträge von mir durchlesen.

Und bitte in Ruhe, und nicht gleich nach ein paar Minuten posten.

Tipp: Zusammenhang von Differenzenquotient und Ableitung.

19.04.2010, 01:44

ThomasTommy

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Hmm..
Den Grenzwert des Differenzenquotientens bezeichnet man als Differentialquotienten oder Ableitung der Funktion an einer gewissen Stelle.

Dann heisst das doch, dass:
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (x_0,-x_0)}\,g(x,y) = g'(x,y) \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 02:06

WebFritzi

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Nein.

unglücklich

Und jetzt hört dieses Raten hier mal auf. Darauf hab ich keine Lust mehr. Schreib etwas, von dem du überzeugt bist, dass es gilt. Oder stell halt Fragen. Sonst bin ich hier raus - darauf kannste Gift nehmen.

19.04.2010, 16:08

ThomasTommy

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Nur ne Kontrollfrage, um abzuschätzen, ob ich meine Lösung posten soll (eigentlich wäre ich davon überzeugt, aber das war ich nun doch schon mehrmals, ohne jedoch die eigentlich richtige Lösung zu haben)

Das Limit von g(x,y) (für x gegen x_0 und y gegen -x_0) ist 0, oder?

19.04.2010, 16:20

WebFritzi

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Nein.

19.04.2010, 16:45

ThomasTommy

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Stimmt, da hat sich ein fataler Fehler eingeschlichen:

Ich käme für den Grenzwert somit auf 2*x_0
(also eigentlich die Ableitung von x_0^2)

19.04.2010, 16:56

WebFritzi

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Wie das?

19.04.2010, 17:13

Rolfer

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Meiner Rechnung nach (hab nur nen kurzen Blick auf die Aufgabe geworfen) solltest du 1 erhalten - wie man das erhält solltest du allerdings selbst rausfinden. Es steht alles da - WebFritzi hat da einen tollen Beitrag geliefert.

19.04.2010, 17:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Rolfer
Meiner Rechnung nach (hab nur nen kurzen Blick auf die Aufgabe geworfen) solltest du 1 erhalten

Wofür? Bei mir steht nirgendwo ne 1.

Zitat:

Original von Rolfer
Es steht alles da - WebFritzi hat da einen tollen Beitrag geliefert.

Danke. Allerdings offenbar für die Katz.

19.04.2010, 19:16

Rolfer

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Zitat:

Original von WebFritzi

Wofür? Bei mir steht nirgendwo ne 1.

Ah - da hab ich tatsächlich auch einen Term übersehen: Du hast natürlich Recht, eine 1 steht (jetzt) bei mir auch nirgends mehr.. smile

smile

@ThomasTommy:
Augen auf - ich bin auch kein Genie und habs trotzdem raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also, das soll Motivation genug sein..

19.04.2010, 20:34

ThomasTommy

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Verständnisfrage:
(x,y) --> (x_0, -x_0)

Das heisst, x geht gegen x_0 und y gegen -x_0, oder?

(und nicht etwa: entweder geht x gegen x_0 und y gegen x_0 oder x gegen -x_0 und y gegen -x_0 ) ?

20.04.2010, 00:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von ThomasTommy
Verständnisfrage:
(x,y) --> (x_0, -x_0)

Das heisst, x geht gegen x_0 und y gegen -x_0, oder?

Ja. Und zwar egal, wie.

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