Differentialgleichungen lösen Mischaufgabe

15.04.2010, 16:32

Biostudent

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Differentialgleichungen lösen Mischaufgabe

Meine Frage:
Ein Tank K1 enthalte 200 l Wasser, in dem 5 kg Salz aufgelöst sind, ein Tank K2 300 l Wasser mit 10 kg Salz. Beginnend zum Zeitpunkt t0 = 0 werden pro Minute ständig 10 l Salzlösung von K1 nach K2 und 10l von K2 nach K1 gepumpt und sofort verrührt. Wie groß ist der Salzgehalt
si(t) in Ki zur Zeit t > 0? Auf welchem Niveau stabilisiert sich schließlich der Salzgehalt in Ki?

Meine Ideen:
ich habe dann aufgestellt,da in Ki immer 200l sein müssen:
si(t)/200 kg/liter

Im Zeitraum von t --> t+dt 10*dt liter von diesem Salzgehalt rausfließen komme ich auch die GLeichung:
10*si(t)/200*dt=1/20*si(t)*dt Kg Salz werden entfernt.

Hinzukommen:
10l mit 1/3 kg/l salz

so komme ich auf die Gleichung

dsi=-1/20si(t)*dt+1/3*dt

umgeformt erhalte ich

dsi/dt =-1/20 si(t) +1/3

Wie kann ich nun weiter rechnen?Nebenbei: Stimmt es bisher?

16.04.2010, 09:11

Huggy

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RE: Differentialgleichungen lösen Mischaufgabe
Das stimmt nicht. Wenn du die zu- und abfließenden Salzmengen korrekt bilanzierst, erhältst du für die Konzentrationen in den beiden Behältern folgendes DGL-Syxtem:

$\begin{eqnarray*} \dot {s}_1=\frac{1}{20}(s_2-s_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot {s}_2=-\frac{1}{30}(s_2-s_1) \end{eqnarray*}$

Das DGL-System lässt sich leicht auf eine einzelne DGL zurückführen und dann lösen.

16.04.2010, 10:46

Biostudent

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gut schonmal danke!
Dann kann ich dieses System doch eigentlich in so eine gleichung umschreiben:

s´= A * s
wobei A eine Matrix ein soll und dann löse ich dieses DGL-System mit den Eigenvektor und Eigenwerten:

s= eigenvektor* e^(eigenwert*t)

müsste ich schaffen..danke!

16.04.2010, 11:33

Huggy

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Dieses systematische Verfahren geht selbstverständlich. Einfacher ist es, die erste DGL von der zweiten zu subtrahieren und dann $\begin{eqnarray*} d(t)=s_2-s_1 \end{eqnarray*}$ als neue Variable einzuführen.

16.04.2010, 12:06

Biostudent

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Mhh ich bekomme dann raus : ich setze s2-s1 = y(t)
y´(t)=- y(t)/12 umrechen wird daraus
y(t) = e^(-(t/12)) * c (konstante)

bei meinem anderen schritt komme ich auf folgende gleichung:

y(t)= c * Vektor[ 1 ; -2/3 ] * e^t/12

mhh vermutlich ein rechenfehler bei.. für den Anfangswert kann ich doch nun einfach den Salzgehalt zum Zeitpunkt t=o von beispielsweise Tank K1 nehmen mit 5/200, nicht wahr?

und danke!

16.04.2010, 12:48

Huggy

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Zitat:

Original von Biostudent
Mhh ich bekomme dann raus : ich setze s2-s1 = y(t)
y´(t)=- y(t)/12 umrechen wird daraus
y(t) = e^(-(t/12)) * c (konstante)

Richtig!
Und für c kannst du die Anfangsdifferenz der Konzentrationen einsetzen. Die berechnung von $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ erfordert dann nur noch eine einfache Integration.

Zitat:

bei meinem anderen schritt komme ich auf folgende gleichung:

y(t)= c * Vektor[ 1 ; -2/3 ] * e^t/12

mhh vermutlich ein rechenfehler bei.. für den Anfangswert kann ich doch nun einfach den Salzgehalt zum Zeitpunkt t=o von beispielsweise Tank K1 nehmen mit 5/200, nicht wahr?

Das musst du etwas ausführlicher aufschreiben. Hier wäre doch y ein Vektor, während es oben eine skalare Funktion ist. Und ungleiche Größen sollte man möglichst nicht gleich benennen.

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16.04.2010, 15:55

mrtommy

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wie ist denn der Salzgehalt s1 & s2 definiert ?

und wie bringe ich das in Matrixform ?

16.04.2010, 16:29

Huggy

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Sind das ernsthafte Fragen öder machst du dich hier über uns lustig?

Zitat:

Original von mrtommy
wie ist denn der Salzgehalt s1 & s2 definiert ?

Als Menge Salz/Menge Wasser.
Die Einheiten kannst du beliebig wählen.
Nur ein Faulpelz würde kg Salz/l Wasser wählen!

Und der Fragestellung lässt sich entnehmen, dass sich die Indizes 1 und 2 auf die beiden Tanks K1 und K2 beziehen.

Zitat:

und wie bringe ich das in Matrixform ?

Setze die Matrixform an und mache einen Koeffizientenvergleich.

16.04.2010, 17:23

mrtommy

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Nein, das war kein Witz! Wie kommst darauf?!

also

$\begin{eqnarray*} \dot {s}_1=\frac{1}{20}(1/3 kg/l dt - 1/4 kg/l dt) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot {s}_2=\frac{-1}{30}(1/3 kg/l dt - 1/4 kg/l dt) \end{eqnarray*}$

16.04.2010, 18:16

Huggy

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Zitat:

Original von mrtommy
Nein, das war kein Witz! Wie kommst darauf?!

Dann entschuldige bitte.
Für mich hörten sich die Fragen schon etwas seltsam an.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \dot {s}_1=\frac{1}{20}(1/3 kg/l dt - 1/4 kg/l dt) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot {s}_2=\frac{-1}{30}(1/3 kg/l dt - 1/4 kg/l dt) \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt so nicht!

Wenn man bei den physikalischen Einheiten kg, l, min bleibt (Ich bin ein extremer Faulpelz), hat man für den Salzgehalt und seine Änderungsrate die Einheiten

$\begin{eqnarray*} s_i \quad [\frac{kg}{l}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot{s}_i \quad [\frac{kg}{l\cdot min}] \end{eqnarray*}$

Das DGL-System lautet mit diesen Einheiten genau so, wie ich es hingeschrieben haben. Deine zusätzlichen Faktoren 1/3 und 1/4 haben da nichts verloren. Die korrekte Einheit auf der rechten Seite ergibt sich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ haben wie schon gesagt die Einheit $\begin{eqnarray*} \frac{kg}{l} \end{eqnarray*}$ . Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20} \end{eqnarray*}$ schreibt sich ausführlich

$\begin{eqnarray*} \frac{10\frac{l}{min}}{200 l} \end{eqnarray*}$ ,

hat also die Einheit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{min} \end{eqnarray*}$ .

Analoges gilt für den Faktor $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{30} \end{eqnarray*}$

17.04.2010, 16:02

mrtommy

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Zitat:

Original von Biostudent Mhh ich bekomme dann raus : ich setze s2-s1 = y(t) y´(t)=- y(t)/12 umrechen wird daraus y(t) = e^(-(t/12)) * c (konstante)

was ist mit den 1/20 aus der ursprünglichen Gleichung und wieso steht dann auf einemal - y(t) da?

17.04.2010, 17:11

mrtommy

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ich versteh die ganze aufgabe nicht, kann mal jemand das stück für stück erklären ?!

17.04.2010, 18:27

Huggy

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@ mrtommy
Schon bei deiner ersten Frage hatte ich den Eindruck, dass dich das Problem völlig überfordert. Und ich habe Zweifel, ob eine sehr detaillierte Erklärung daran etwas ändert. Versteh mich nicht falsch, diese Bemerkung ist nicht böse gemeint! Und deshalb will ich es trotz meiner Skepsis mal versuchen. Das geschieht in 3 Schritten:

(1) Benennungen und ihre Bedeutung
(2) Herleitung der Differentialgleichungen
(3) Lösung der Differentialgleichungen

Ich beginne mit (1):

$\begin{eqnarray*} s_1(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2(t) \end{eqnarray*}$ sollen die Salzgehalte als Funktion der Zeit t in den Tanks K1 und K2 sein. Als physikalische Einheit des Salzgehalts werde gewählt: $\begin{eqnarray*} \frac{kg Salz}{l Wasser} \end{eqnarray*}$ oder kurz $\begin{eqnarray*} \frac{kg}{l} \end{eqnarray*}$ . Die Einheit der Zeit t sei min (Minuten).

Bekannt sind zunächst nur die Anfangswerte von $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ , nämlich:

$\begin{eqnarray*} s_1(t=0)=s_1(0)=\frac{5 kg}{200 l}=\frac{1}{40}\frac{kg}{l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_2(t=0)=s_2(0)=\frac{10 kg}{300 l}=\frac{1}{30}\frac{kg}{l} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit klar und verständlich?

18.04.2010, 11:52

mrtommy

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ja das ist es

18.04.2010, 13:27

Huggy

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@Sousou
Stell doch deine Fragen im Board! Sonst haben die anderen Teilnehmer ja nichts davon. PN sollte die Ausnahme sein.

Ich mache dann mal mit (2) weiter. Wie ändert sich die Salzkonzentration in den beiden Behältern als Funktion der Zeit?

Zu einem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ strömt in einem kurzen Zeitintervall $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ (in min) aus dem Tank 2 näherungsweise eine Menge Salz $\begin{eqnarray*} 10s_2(t)\Delta t \end{eqnarray*}$ (in kg) in den Tank 1. Näherungsweise deshalb, weil sich in dem Zeitintervall $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ auch die Konzentration $\begin{eqnarray*} s_2(t) \end{eqnarray*}$ ändert. Gleichzeitig strömt eine Menge $\begin{eqnarray*} 10s_1(t)\Delta t \end{eqnarray*}$ Salz aus dem Tank 1 ab. Insgesamt ändert sich also die Salzmenge im Tank 1 um $\begin{eqnarray*} 10(s_2-s_1)\Delta t \end{eqnarray*}$ . Dabei habe ich jetzt die explizite Angabe der Abhängigkeit von der Zeit t weggelassen. Die Konzentration im Tank 1 ändert sich dann um

$\begin{eqnarray*} \Delta s_1=\frac{10}{200}(s_2-s_1)\Delta t=\frac{1}{20}(s_2-s_1)\Delta t \end{eqnarray*}$

Die Geschwindigkeit der Konzentrationsänderung ist dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta s_1}{\Delta t}= \frac{1}{20}(s_2-s_1) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \Delta t \to 0 \end{eqnarray*}$ geht der Differenzenquotient in die Ableitung über. So ergibt sich die DGL:

$\begin{eqnarray*} \dot s_1=\frac{1}{20}(s_2-s_1) \end{eqnarray*}$

Die entsprechende DGL für $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ sollte jetzt klar sein. Die Änderung der Salzmenge im Zeitintervall $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ im Tank 2 ist dieselbe wie im Tank 1, nur mit umgekehrtem Vorzeichen. Für die Änderung der Konzentration ist jetzt durch die Wassermenge im Tank 2 zu teilen.

Nun hoffe ich, dass jetzt auch die Herleitung der Differentialgleichungen klar ist. Die verwendete Methode ist, obwohl ein wenig fragwürdig, in den Ingenieurwissenschaften gebräuchlich und schön anschaulich. Exakter ist es, die Änderung der Salzmenge in einem endlichen Zeitintervall als Integral hinzuschreiben und dann die Ableitung zu bilden.

18.04.2010, 13:34

sousou

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danke !!!
gut schonmal danke!!!

18.04.2010, 14:25

mrtommy

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und nun zu (3)

18.04.2010, 15:25

Huggy

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Ja hoppla, da gibt es wohl einige, die keine Lust haben, den Sonnenschein zu genießen. Also zu (3), der Lösungen der Differentialgleichungen.

Wir haben, damit es schön fachmännisch klingt, ein lineares homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten vor uns. Das lässt sich systematisch lösen ( also nach Rezept, Denken nicht mehr erforderlich), indem man es in Matrixform hinschreibt und die Eigenwerte der Matrix bestimmt. Das überlasse ich erst mal euch.

In diesem speziellen Fall geht es auch so:

Subtraktion der ersten DGL von der zweiten ergibt:

$\begin{eqnarray*} \dot s_2 - \dot s_1=\frac{d}{dt}(s_2-s_1)=(-\frac{1}{30}-\frac{1}{20})(s_2-s_1)=-\frac{1}{12}(s_2-s_1) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} y=s_2-s_1 \end{eqnarray*}$ hat man:

$\begin{eqnarray*} \dot y =-\frac{1}{12}y \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieser DGL ergibt sich aus der Kenntnis der e-Funktion zu:

$\begin{eqnarray*} y(t)=ce^{-\frac{1}{12}t} \end{eqnarray*}$

Die Integrationskonstante c ergibt sich aus den Anfangsgedingungen:

$\begin{eqnarray*} c=y(0)=s_2(0)-s_1(0)=\frac{1}{30}-\frac{1}{40}=\frac{1}{120} \end{eqnarray*}$

Mit Kenntnis von y lässt sich nun leicht $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Denn die erste DGL lässt sich ja nun schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \dot s_1=\frac{1}{20}(s_2-s_1)=\frac{1}{20}y=\frac{1}{2400}e^{-\frac{1}{12}t} \end{eqnarray*}$

Jetzt ergibt sich $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ durch eine ganz normale Integration und bei $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ geht es völlig analog.

Wenn ihr mich glücklich machen wollt, schreibt bitte, dass ihren diesen letzten Schritt alleine geschafft habt! Ich kommentiere gern das Ergebnis.

18.04.2010, 17:19

mrtommy

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stabilisieren sich für:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} s1(t) bei 0,2333333 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} s2(t) bei 0,035 \end{eqnarray*}$

?

18.04.2010, 17:40

sousou

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hey mrtommy wie bist du auf 0.2333 für s1 gekommen ??

18.04.2010, 17:47

Huggy

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Das kann ja nicht sein!
Das sagt einem schon der gesunde Menschenverstand und der wird auch durch Mathematik nicht außer Kraft gesetzt. Die Grenzkonzentration muss in den beiden Tanks gleich sein. Nur dann entspricht die zuströmende Salzmenge der abströmenden Salzmenge.

Die Grenzkonzentration lässt sich berechnen, ohne die DGls zu lösen. Man braucht ja nur die Summe der Salzmengen durch die Summe der Wassermengen zu teilen.

18.04.2010, 19:14

mrtommy

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pff... das stimmt ...

Bsp.:

B1 200 l mit 7 kg
B2 300 l 5 kg

pro Minute werden ständig 15 l salzwasser wasser von B1 nach B2 und 15 l von B2 nach B1 gepumpt die dann auch sofort verrührt werden. Wie groß ist der salz gehalt zi(t) in Bi
(i 2 {1,2}) zur Zeit t > 0? Stabilisiert sich der Salzgehalt in den beiden Behältern
auf einem einheitlichen Niveau?

lim t-> unendlich s1(t) = 31/1500

und

lim t -> unendlich s2(t) = 31/1000

und die Werte sind zu 99,9% richtig... außerdem kommt das meiner Lösung von den Werten nahe!

@ Sousou Wir sehen uns ja morgen in der Genetik-Vorlesung Wink

Wink

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