Sub-Sigma-Algebra (Kleines Definitionsproblem)

16.04.2010, 09:43	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Sub-Sigma-Algebra (Kleines Definitionsproblem) Meine Frage: Hallo, hab hier gerade eine kleine Frage bezüglich der Definition einer Sub-Sigma-Algebra. Sei $\begin{eqnarray} \Omega = (1,2,3,4,5,6) \end{eqnarray}$ Grundmenge. Betrachte ich nun die Menge $\begin{eqnarray} F = \sigma [(1,2,3,4),(3,4,5,6,)] \end{eqnarray}$ bedeutet dies dann $\begin{eqnarray} F = \sigma [(1,2,3,4)] \cup \sigma [(3,4,5,6)] \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} F = \sigma ([(1,2,3,4)] \cup [(3,4,5,6)]) = P(\Omega) ?? \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Denke mal, dass es sich um die erste Variante handelt, finde aber momentan keine Definitionen hierzu im Internet und in unserem Skript in der Vorlesung wurde dieses kleine Problem auch nicht konkretisiert. Soll in der ersten Teilaufgabe alle Elemente von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ angeben, wobei sich diese je nach obiger Definition in Teilen unterscheiden würden. Danke schonmal für die richtige Antwort.
16.04.2010, 13:45	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, hab rausgefunden, dass es sich um die erste Variante handelt, macht anders auch wirklich nicht sonderlich viel Sinn.
16.04.2010, 16:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da irrst du dich - es ist weder die erste noch die zweite Variante. 1) Die Vereinigung zweier Sigma-Algebren ist i.a. keine Sigma-Algebra, so auch hier nicht. Zumindest ist sie aber eine Teilmenge der gesuchten Sigma-Algebra, d.h. $\begin{eqnarray} \sigma [\{1,2,3,4\}] \cup \sigma [\{3,4,5,6\}] \subset \sigma [\{1,2,3,4\},(3,4,5,6,\}] \end{eqnarray}$ Z.B. ist $\begin{eqnarray} \{3,4\} \end{eqnarray}$ eine der beiden Mengen, die nicht in der Vereinigung, wohl aber in $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ zu finden sind. 2) $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist gewiss nicht die Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , da z.B. in sämtlichen Mengen des Erzeugendensystems die Elemente 1,2 sowie 3,4 und auch 5,6 "gekoppelt" auftreten, d.h. entweder beide oder gar keine. Diese Eigenschaft überträgt sich dann auch auf alle Mengen der Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Somit sind z.B. sämtliche Einzelmengen {1}, ... , {6} nicht in $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ enthalten.
16.04.2010, 23:21	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank! Hätte einfach mal so schlau sein müssen mir die genaue Definition des $\begin{eqnarray} \sigma-Operators \end{eqnarray}$ anzuschauen..Ja, hast recht, dass es sich dabei um $\begin{eqnarray} P(\Omega) \end{eqnarray}$ handeln könnte ist bei den Umständen natürlich totaler Blödsinn. Die 2. Menge neben $\begin{eqnarray} \{3,4\} \end{eqnarray}$ die nicht in $\begin{eqnarray} \sigma [\{1,2,3,4\}] \cup \sigma [\{3,4,5,6\}] \end{eqnarray}$ enthalten ist müsste damit dann ja $\begin{eqnarray} \{1,2,5,6\} \end{eqnarray}$ sein, womit sich dann $\begin{eqnarray} F = \{\Omega, \emptyset, \{1,2,3,4\}, \{3,4,5,6\}, \{1,2,5,6\}, \{5,6\}, \{1,2\}, \{3,4\}\} \end{eqnarray}$ ergibt. So stimmts dann, oder? Danke noch einmal für die Hilfe, war echt total auf dem Holzweg..
17.04.2010, 09:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt.

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