Cayley Hamilton

16.04.2010, 12:30	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Cayley Hamilton Hallo habe eine Frage: Wie kann ich unter Verwendung des Satzes von Cayley Hamilton (Jede quadratische Matrix erfüllt ihr quarakteristisches Polynom) die Inverse z.B. der Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}2 & -7 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Polynom in der Einheitsmatrix I und A ausdrücken? Kann den Satz irgendwie nicht mir Inversen in Verbindung bringen. Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.
16.04.2010, 12:49	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \chi_A \end{eqnarray}$ das characteristische Polynom von A, dann gilt wohl $\begin{eqnarray} \chi_A(A) = 0 \end{eqnarray}$ insbesondere also : $\begin{eqnarray} (\chi_A + 1)(A) = I \end{eqnarray}$ letztere Gleichung musst nur ein wenig auseinander nehmen und Du hast es. edit : Es geht auch anders, berechne das char. Polynom schreib Cayley-Hamilton hin, stelle die Geichung nach dem Absolutglied des Polynoms um, und schon stehts da.
17.04.2010, 15:19	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Habe es nach der 2. Möglichkeit probiert. Und habe jetzt: $\begin{eqnarray} x^2-8x=-33 \end{eqnarray}$ Ist das schon mein Ergebnis?
17.04.2010, 15:41	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es fast. Ich würde aber so herangehen : $\begin{eqnarray} A^2 - 8A + 33I = 0 \end{eqnarray}$ nach Cayley-Hamilton. Dann gilt natürlich $\begin{eqnarray} A^2 - 8A = -33I \end{eqnarray}$ Jetzt noch durch -33 teilen und Dir sollte etwas auffallen
18.04.2010, 13:08	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich I=I. Mir fehlt es etwas an Hintergundwissen. Was sagt mir das denn jetzt?
18.04.2010, 13:35	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du die Gleichung $\begin{eqnarray} A^2 - 8A = -33I \end{eqnarray}$ durch -33 teilst erhälst Du I = I ? Dann hast Du in der Schule, wenn es darum ging Gleichungen umzuformen nicht aufgepasst.
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18.04.2010, 14:02	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe die Matrix A in die Gleichung eingesetztund das ganze dann ausgerechnet. Und dann habe ich das herausbekommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -33 & 0 \\ 0 & -33 \end{pmatrix}=-33 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und wenn ich das durch -33 teile komme ich darauf.
18.04.2010, 14:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne doch einmal so, wie du rechnen würdest wenn du nicht wüsstest was A für eine Matrix ist. Du weißt nur das die Gleichung gilt, und sollst jetzt eben durch -33 teilen
18.04.2010, 14:13	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh jetzt weiß ich glaube ich was gemeint war. Ich kann das dann also so umformen: $\begin{eqnarray} A(\frac{A}{-33}+\frac{8}{33})=I \end{eqnarray}$ und die Klammer ist dann mein $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ Stimmt das?
18.04.2010, 14:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jedoch fehlt nach der Konstante in der Klammer ein I, sonst ist es keine Matrix
18.04.2010, 14:15	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Danke. Dann war ich wohl etwas auf dem falschen Weg!

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