Hyperebene

16.04.2010, 15:42

Jabba

Hyperebene

Hallo miteinander!

Ich bearbeite momentan gerade diese Aufgabe..aber ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich nicht weiss, wo beginnen bzw wie die Behauptung zu zeigen..
Deshalb waere ich sehr dankbar ueber jeden Tipp / Vorschlag smile

Schoenen Nachmittag und dankescheen im Voraus.. =)

[attach]14278[/attach]

16.04.2010, 16:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wende mal auf $\begin{eqnarray*} \|a\| \|w-v\| \end{eqnarray*}$ die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an. Dabei soll natürlich $\begin{eqnarray*} a =(a_1, \dotsc, a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=(v_1, \dotsc, v_n) \end{eqnarray*}$ gelten.

Die Aussage, die du da beweisen sollst, ist übrigens einfach nur die Verallgemeinerung der hesseschen Normalform vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auf den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

16.04.2010, 17:36

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Rückrichtung finde einen Vektor $\begin{eqnarray*} w\in H, \end{eqnarray*}$ für den

$\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| = \|w - v\| \end{eqnarray*}$

gilt. Mit der Hinrichtung (die, wie schon von tmo angedeutet, einfach aus Cauchy-Schwarz folgt) ergibt das dann die Behauptung.

EDIT: Beachte dabei, dass Vektoren v und w, für die $\begin{eqnarray*} v^Tw = \|v\|\cdot\|w\| \end{eqnarray*}$ gilt, zwangsläufig linear abhängig sind.

17.04.2010, 00:09

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ihr beide!
Danke vielmals für die Hilfe!

..ich hab inzwischen auch ein wenig nach der hesseschen Normalform gegoogelt - und vor allem Beispiele von R^2 und R^3 gefunden.

Aber nun zur Aufgabe:

Für die Hin-Richtung habe ich folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} ||a|| ||w-v|| = ||a|| || \pm (w-v) || \geq | <a, \pm (w-v) > | = | < a, w-v > | \end{eqnarray*}$

Bei der Rückrichtung bin ich mir nicht sicher:
Ich hab: $\begin{eqnarray*} || w-v || = ||av - v|| \end{eqnarray*}$ , das heisst also : $\begin{eqnarray*} || w || = || av || \end{eqnarray*}$

..aber wie gesagt..ich glaube, das stimmt nicht.. :S

17.04.2010, 11:52

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jabba
Für die Hin-Richtung habe ich folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} ||a|| ||w-v|| = ||a|| || \pm (w-v) || \geq | <a, \pm (w-v) > | = | < a, w-v > | \end{eqnarray*}$

Wozu denn das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ?

Du bist natürlich jetzt lange noch nicht fertig. Was ist denn $\begin{eqnarray*} <a,w> \end{eqnarray*}$ ?

17.04.2010, 19:52

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah - dann ist das also nicht nötig..auch gut so smile

$\begin{eqnarray*} <a,w> = \sum\limits_{k=1}^n a_kw_k \end{eqnarray*}$

17.04.2010, 20:49

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Und den Wert kennst du. Schließlich ist ja $\begin{eqnarray*} w \in H \end{eqnarray*}$

17.04.2010, 21:29

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Konkret kennt man w aber nicht (oder?)

Es ist einfach:
$\begin{eqnarray*} \omega \in H \Rightarrow \omega \in \end{eqnarray*}$ Lös((a_1, ..., a_n), -b)

17.04.2010, 22:28

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast für die eine Richtung zu zeigen:

Ist $\begin{eqnarray*} w\in H, \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \le \|v - w\|. \end{eqnarray*}$ Daraus schließt du dann

$\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \le \inf\{\|w-v\| : w\in H\}. \end{eqnarray*}$

In der anderen Richtung zeigst du, dass tatsächlich Gleichheit gilt.

17.04.2010, 23:45

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Oke, der Schritt, dass von der zweiten Zeile die dritte folgt, ist mir klar (und irgendwie doch auch trivial - nicht?)

Aber bei der zweiten Zeile happerts ein wenig beim "schönen beweisen".
Die Summe der a_i * v_i + b muss ja immer gleich 0 sein, das heisst, b muss das Produkt von a und v immer so ausgleichen, dass die Summe 0 ergibt (kann also somit eigentlich nicht willkürlich gewählt werden). Wenn a transponiert wird, so ist das Produkt von a^T und v kleiner als v selbst - und da das b eigentlich nicht beliebig gross gewählt werden kann, folgt daraus, dass:
$\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \le \|v - w\| \end{eqnarray*}$

Wie würde das in guter, mathematischer Schrift aussehen?

18.04.2010, 01:54

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jabba
Die Summe der a_i * v_i + b muss ja immer gleich 0 sein

Wieso das denn? verwirrt

Zur Erinnerung: v ist nicht notwendig ein Element von H.

Zitat:

Original von Jabba
Wenn a transponiert wird, so ist das Produkt von a^T und v kleiner als v selbst

Das ist Unsinn, denn v ist ein Vektor, und ein Vektor kann nicht größer oder kleiner als etwas sein.

Dein gesamter Ansatz ist also schon zum Scheitern verurteilt. Also nochmal von Anfang. Sei $\begin{eqnarray*} w\in H. \end{eqnarray*}$ Dann gilt $\begin{eqnarray*} a^Tw + b = 0, \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} b = -a^Tw. \end{eqnarray*}$ Setze das ein in $\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \end{eqnarray*}$ und benutze dann Cauchy-Schwarz.

18.04.2010, 15:34

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Beitrag!

Also, $\begin{eqnarray*} b = -a^Tw. \end{eqnarray*}$ eingesetzt in $\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \end{eqnarray*}$ inkl. Anwendung von Cauchy-Schwarz gibt:

$\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right|= \left|a^Tv + -a^Tw \right| \leq ||a^T|| \cdot ||v|| - ||a^T|| \cdot ||w|| = ||v-w|| \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 00:03

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Einen größeren Unsinn habe ich selten gesehen. Erstmal ist das "+ -" Quatsch. Setze den Minusterm in Klammern. Das lernt man in der Schule. Der Rest ist Humbuk, da du Cauchy-Schwarz falsch angewandt hast. Zu dem letzten Gleichheitszeichen sag ich mal nichts... unglücklich

Tipp: Klammere zuerst $\begin{eqnarray*} a^T \end{eqnarray*}$ aus.

19.04.2010, 00:44

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Ausklammern ist gar keine schlechte Idee - auf die kam ich gar nicht :S

$\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right|= \left|a^Tv + (-a^Tw) \right| = |a^T | (|v| - |w|) \leq ||a^T || ||v-w|| \leq ||v-w|| \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 01:41

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist hoffentlich klar, dass z.B. $\begin{eqnarray*} |v| \end{eqnarray*}$ keinen Sinn macht, denn v ist ein Vektor. Der Strich "|" steht hier aber für den Betrag reeller Zahlen. Sprich: Was du da geschrieben hast, ist schon wieder falsch.

19.04.2010, 21:39

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Oke - ich habe mir die Definitionen nochmals durchgeschaut, und bin mir mit folgendem Ergebnis ziemlich sicher:

$\begin{eqnarray*} |a^Tv + b| = |a^Tv + (-a^Tw)| = |a^T| \cdot (v-w) = \sqrt{(a_1+...+a_nv_n)^2} - \sqrt{(a_1w_1 + ... + a_nw_n)^2} \leq \end{eqnarray*}$ (nächste Zeile)
$\begin{eqnarray*} \leq \sqrt{(a_1v_1)^2 + ... + (a_nv_n)^2} - \sqrt{(a_1w_1)^2 + ... + (a_nw_n)^2} = ||v-w|| \end{eqnarray*}$

20.04.2010, 00:24

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jabba
$\begin{eqnarray*} |a^Tv + b| = |a^Tv + (-a^Tw)| = |a^T| \cdot (v-w) \end{eqnarray*}$

Wieder Unsinn. unglücklich

20.04.2010, 01:13

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Äh - die Betragsstriche haben sich ein wenig verschoben. So sollte es richtig sein:
$\begin{eqnarray*} |a^Tv + b| = |a^Tv + (-a^Tw)| = |a^T \cdot (v-w)| \end{eqnarray*}$

20.04.2010, 01:53

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Leider ist alles, was danach kommt Bullshit. Ich kann es langsam nicht mehr anders ausdrücken, denn es ist wirklich so. Es ist mir ein Rätsel, wie du dir so sicher sein kannst, dass das so stimmig ist.

20.04.2010, 09:44

Jabba

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Du hast für die eine Richtung zu zeigen:

Ist $\begin{eqnarray*} w\in H, \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \le \|v - w\|. \end{eqnarray*}$ Daraus schließt du dann

$\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \le \inf\{\|w-v\| : w\in H\}. \end{eqnarray*}$

In der anderen Richtung zeigst du, dass tatsächlich Gleichheit gilt.

Darf ich zwischendurch noch rasch etwas dazu fragen?
Wir zeigen ja zuerst, dass $\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \le \|v - w\|. \end{eqnarray*}$
Danach kann man dann schliessen, dass: $\begin{eqnarray*} \left|a^Tv + b\right| \le \inf\{\|w-v\| : w\in H\}. \end{eqnarray*}$

Muesste man beim ersten Beweis nicht IIw-vII zeigen? - Oder warum laesst sich nachher auf die zweite Behauptung schliessen?

..ich melde mich zum ersten Beweis spaeter wieder..muss zuerst nocheinmal ueber die Buecher..

20.04.2010, 12:08

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jabba
Muesste man beim ersten Beweis nicht IIw-vII zeigen? - Oder warum laesst sich nachher auf die zweite Behauptung schliessen?

Schon die Frage ist Unsinn, da man ||w - v|| nicht zeigen kann, denn ||w - v|| ist keine Aussage. Du meinst, dass i der Ungleichung eher ||w - v|| anstatt ||v - w|| stehen müsste. Dazu folgendes:

$\begin{eqnarray*} \|w - v\| = \|-(v - w)\| = \|v - w\|. \end{eqnarray*}$

Das folgt aus den Eigenschaften einer Norm.

Neue Frage »

Antworten »

Hyperebene

Verwandte Themen