Erwartungswerte beim Glückspiel

16.04.2010, 18:10

Bjoern1982

Erwartungswerte beim Glückspiel

Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe:

Wir nehmen in einem Casino an einem Spiel mit Gewinnwahrscheinlichkeit p=0,5 teil.
Wir können einen beliebigen Betrag einsetzen.
Geht das Spiel zu unseren Gunsten aus, erhalten wir den Einsatz zurück und zusätzlich denselben Betrag aus der Bank.
Endet das Spiel ungünstig, verfällt unser Einsatz.
Wir betrachten folgende Strategie:

i=0
REPEAT

....setze $\begin{eqnarray*} 2^i \end{eqnarray*}$ Dollar
....i=i+1

UNTIL (ich gewinne zum ersten Mal)

Aufgabenstellung:

Bestimme den erwarteten Gewinn dieser Strategie und die erwartete notwendige Liquidität.

Meine Ideen dazu:

Um den erwarteten Gewinn zu berechnen hätte ich jetzt $\begin{eqnarray*} 2^n-\sum_{i=0}^{n-1}2^i \end{eqnarray*}$ berechnet, da man ja nur im Falle des Gewinns im n-ten Spiel seine 2^n Dollar "positiven Gewinn" hat und alle anderen Einsätze davon abgezogen werden müssen. Da sowohl Gewinn- als auch Verlustwahrscheinlichkeit 0,5 beträgt würde ich das Ganze dann noch mit 0,5 multiplizieren um auf den Erwartungswert zu kommen.

Für die notwendige Liquidität würde ich dann eigentlich nur die Summe aller Einsätze bis zum n-ten Spiel nehmen und das ganze mit 0,5 multiplizieren.

Ist das so korrekt oder bin ich auf dem Holzweg ?

Gruß Björn

16.04.2010, 19:15

ObiWanKenobi

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Dies ist eine "Verdopplungsstrategie".

Du gewinnst immer den einfachen Einsatz am Ende einer "Einsatzstrecke".

Dabei ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Höhe des zu erwartenden Gewinnes am Ende der Einsatzstrecke (unglaublicherweise) völlig belanglos. Sie wirkt sich lediglich auf die zu erwartende Länge der Einsatzstrecke aus.

Bevor du dich jetzt auf den Weg ins Casino machst sollten wir noch ein wenig den "Kapitalbedarf" betrachten. Der ist natürlich von der "Einsatzstrecke" abhängig.

Er beträgt Grundeinsatz hoch (Einsatzstrecke +1) - Grundeinsatz

Wenn nun also das unwahrscheinliche Ereignis eintritt, dass du z.b. 12 mal in Folge Pech hast dann betrug bei einem Grundeinatz von 2 € (oder $) dein bsiheriger Verlust

$\begin{eqnarray*} 2^{13} - 2 = 8190 \end{eqnarray*}$

Beim nächsten Spiel setzt du dann (wenn dein Portemonnaie noch gefüllt ist) 8192
in der vagen Hoffnung die Serie mit einem Gewinn von 2 Euro abzuschließen....

Spätestens jetz wird's echt kritsich. Im Verlustfalle liegst du nun um 16382 hinten.
Autsch! Bei dem Versuch nun 16384 € zu setzen klopft dir dann freundlich aber bestimmt der Casinomanager auf die Schulter und sagt: Ich bedaure, der Herr, aber dieser Einsatz überschreitet das Limit....

Zusatzbemerkung: In der Realität gibt es kein Spiel bei dem bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 0,5 der zweifache Einsatz ausgeschüttet wid.
Die beste Quote hat das Roulette. Dort wir auf die "oddsets" 2 fach ausgeschüttet, aber wegen der 0 ist P nicht 0,5 sondern

$\begin{eqnarray*} \frac{18}{37} = 0,\bar4\bar8\bar6 \end{eqnarray*}$

16.04.2010, 22:32

Bjoern1982

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Ich erkenne nicht was das nun mit der Aufgabe bzw mit meiner Frage zu tun hat verwirrt

Kann evtl ein Mod mal kurz drüber schauen ? Wink

Gruß Björn

17.04.2010, 00:07

ObiWanKenobi

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RE: Erwartungswerte beim Glückspiel

Zitat:

Original von Bjoern1982

Um den erwarteten Gewinn zu berechnen hätte ich jetzt $\begin{eqnarray*} 2^n-\sum_{i=0}^{n-1}2^i \end{eqnarray*}$ berechnet, da man ja nur im Falle des Gewinns im n-ten Spiel seine 2^n Dollar "positiven Gewinn" hat und alle anderen Einsätze davon abgezogen werden müssen. Da sowohl Gewinn- als auch Verlustwahrscheinlichkeit 0,5 beträgt würde ich das Ganze dann noch mit 0,5 multiplizieren um auf den Erwartungswert zu kommen.

Für die notwendige Liquidität würde ich dann eigentlich nur die Summe aller Einsätze bis zum n-ten Spiel nehmen und das ganze mit 0,5 multiplizieren.

Gruß Björn

$\begin{eqnarray*} 2^n-\sum_{i=0}^{n-1}2^i \end{eqnarray*}$

ist genau das, was ich in anderer Form auch schrieb:

Du gewinnst immer den einfachen Einsatz am Ende einer "Einsatzstrecke"
Das Ergebnis Deiner Formel ist für jedes beliebige n immer das gleiche: 2
Und 2 ist auch der Einsatz!

Und wenn der Einsatz ein anderer wäre:

$\begin{eqnarray*} x^n-\sum_{i=0}^{n-1}x^i = x \end{eqnarray*}$

Genau das versuchte ich auszudrücken mit meinem Satz:
Du gewinnst immer den einfachen Einsatz am Ende einer "Einsatzstrecke"
Findest du nicht, dass das mit der Aufgeabenstellung im Einklang ist?

Warum Du das durch 2 teilen willst ist mit unklar. Da das "Programm" ja immer fortgesetzt wir bis zum Gewinn, gibt es keinen Verlust.

Die notwendige Liquidität ist die Summe aller Einsätze bis zum n-ten Spiel.

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^{n+1} -1 \end{eqnarray*}$

oder allgemein für den Einsatz x:

$\begin{eqnarray*} x \cdot 2^{n+1} -x \end{eqnarray*}$

Auch hier verstehe ich nicht warum du durch 2 teilst.

Im Anschluß habe ich nur versucht die notwendige Liquidität mit einem Beispiel zu versehen.

17.04.2010, 00:25

Bjoern1982

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Zitat:

Das Ergebnis Deiner Formel ist: 2

$\begin{eqnarray*} 2^n-\sum_{i=0}^{n-1}2^i=2^n-(\sum_{i=0}^n2^i-2^n)=2^{n+1}-\sum_{i=0}^n2^i=2^{n+1}-(2^{n+1}-1)=1 \end{eqnarray*}$

Ich komme damit auf 1.
Da es nach meiner Deutung um einen Erwartungswert geht und man deswegen ja alle $\begin{eqnarray*} x_i \cdot p_i \end{eqnarray*}$ betrachten muss habe ich das Ganze noch mit 0,5 multipliziert. Analog dieselbe Argumentation bei der Liquidität, da ich auch hier davon ausgegangen bin, dass ein Erwartungswert gesucht ist.

17.04.2010, 00:58

ObiWanKenobi

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Also in einer Hinsicht habe ich nicht genau aufgepasst:

Das Ergebnis dienr Summenformel ist tasächlich 1 und nicht 2

Das liegt aber daran, dass Du die Laufvariable deiner Summenformel statt richtigerweise von i=1 von i=0 laufen lässt!

Wenn Du das i von 1 laufen lässt kommt für jeden beliebegen Einsatz x auch x raus.
Und so sollte es sein.

17.04.2010, 01:10

Bjoern1982

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Naja in der AUfgabenstellung steht ja dass man mit i=0 anfangen soll, dann ist der erste Einatz folglich 2 hoch null.

Kleines Beispiel:

Ist setze 2 hoch 0, also 1 Dollar und verliere (i=0)
Dann wird mein i um 1 erhöht und ich setze 2 hoch 1, also 2 Dollar und verliere (i=1)
Dann wird mein i wieder um 1 erhöht und ich setze 2 hoch 2, also 4 Dollar und verliere. (i=2)
Dann wird mein i wieder um 1 erhöht und ich setze 2 hoch 3, also 8 Dollar und gewinne. (i=3)
Ich habe also ingesamt 1+2+4+8=15 Dollar an Einsatz verloren und bekomme 2*8 also 16 Dollar wieder zurück.
16-15=1

Oder irre ich ?

17.04.2010, 01:55

ObiWanKenobi

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Du hast völlig recht!!!!

Du setzt als erstes 1 dann 2 dann 4 dann 8 usw.

So steht es in der Aufgabenstellung.

Der "Grundeinsatz" ist also nicht 2 sondern 1

Dementsprechend ist Dein Gewinn auch 1

Außerdem ist natürlich ein DUMMER Fehler in meiner Aussage von letzten Post:

wenn der Einsatz ein anderer ist als 2 dann darf man den Einsatz natürlich NICHT potenzieren sondern muß ihn mit 2^n multiplizieren. Sorry

Also nochmal von vorn für Deinen Einsatz von
2^0 bis 2^n gewinnst du bei jedem abgeschlossenen "Lauf" 1 $

Da die Gewinnwahrscheinlichkeit 0,5 ist erwartest Du durchschnittlich jedes 2. Spiel zu gewinnen. Dementsprechend ist der Erwartungswert für den Gewinn pro Spiel (ganz wie Du bereits in Deinem ersten Post schriebst) 0,5 $

Bitte entschuldige meine Versehen.

Zu meiner Ehrenrettung muß ich allerdings folgendes Sagen:

Die 2 ist hier gleichzeitig der Einsatz und die "Progression" - das hat mich verwirrt.

Schöner wäre:

i=0
REPEAT

....setze $\begin{eqnarray*} x \cdot 2^i \end{eqnarray*}$ Dollar
....i=i+1

UNTIL (ich gewinne zum ersten Mal)

Der Gewinn wäre dann jeweils x am Ende jeder "Spielfolge"
Und bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 0,5, wäre der Erwartungswert für den Gewinn pro Spiel x/2

17.04.2010, 02:06

Bjoern1982

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Alles klar, dann ist ja alles geklärt smile

Vielen Dank fürs das Engagement zur späten Stunde Wink

17.04.2010, 02:23

ObiWanKenobi

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Nachdem ich mich jetzt so gründlich "vergallopiert" hatte, bleibt aber folgendes bestehen:

Die notwendige Liquidität ist die Summe aller Einsätze bis zum n-ten Spiel.

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^{n} -1 \end{eqnarray*}$

oder allgemein für den Einsatz x:

$\begin{eqnarray*} x \cdot 2^{n} -x \end{eqnarray*}$

Hier verstehe ich nach wie vor nicht warum du durch 2 teilst.

17.04.2010, 02:31

Bjoern1982

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Zitat:

Aufgabenstellung: Bestimme den erwarteten Gewinn dieser Strategie und die erwartete notwendige Liquidität.

Sowohl beim Gewinn als auch bei der Liquidität steht das Schlüsselwort "erwartet" davor, deshalb dachte ich bei beiden zu berechnendesn Größen stets an einen Erwartungswert. Und ein Teil der Formel für den Erwartungswert sind eben auch die entsprechenden Teilwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ , welche hier stehts 0,5 betragen.

17.04.2010, 09:17

ObiWanKenobi

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Hmmmmm

für die Aufgabenstellung ist doch die notwendige Liquidität:

$\begin{eqnarray*} 2^{n} -1 \end{eqnarray*}$

Darüber sind wir uns einig - oder?

Wenn ich nun einen Erwartungswert angeben soll müßte ich ja einen Erwartungswert für das n haben...

17.04.2010, 10:06

Huggy

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Für eine saubere Behandlung dieses Problems sollte man meiner Meinung nach beachten, dass in der Mathematik das Unendliche nur als Grenzwert definiert ist. Man sollte also für eine saubere Behandlung ein endlches Spiel mit maximal n Runden betrachten und dann n gegen unendlich gehen lassen.

Seien nun $\begin{eqnarray*} G_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_n \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariablen für den Gewinn (= Nettogewinn = Auszahlung - Einsatz) und die erforderliche Liquidität des Spielers bei dem endlichen Spiel mit maximal n Runden. Dann kann man die Erwartungswerte des unendlichen Spiels definieren als:

$\begin{eqnarray*} E(G)=\lim_{n->\infty}E(G_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(L)=\lim_{n->\infty}E(L_n) \end{eqnarray*}$

Mit diesen Definitionen ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} E(G)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(L)=\infty \end{eqnarray*}$

Es geht also nicht nur die maximal erforderliche Liquidätät gegen unendlich, sondern auch der Erwartungswert der Liquidität.

Das Problem ist übrigens sehr alt und als Sankt Petersburger Paradoxon oder Sankt Petersburger Lotterie bekannt.

17.04.2010, 11:16

Bjoern1982

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Zitat:

für die Aufgabenstellung ist doch die notwendige Liquidität: $\begin{eqnarray*} 2^{n} -1 \end{eqnarray*}$ Darüber sind wir uns einig - oder?

Den Wert dieser endlichen geometrischen Reihe hatte ich oben schon berechnet, ich kam dort auf $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$
Nur bis n-1 aufzusummieren reicht in meinen Augen nicht denn ich muss ja in jedem Fall den Einsatz 2 hoch n einmal blechen bevor ich die Spielrunde gewinne.

Da für n kein Wert gegeben ist kann man in diesem Fall eben nur einen allgemeinen Term in Abhängigkeit von n angeben, denn im Gegensatz zur Berechnung von E(Gewinn) hebt sich da leider nichts gegeneinander auf.

@ Huggy

Danke dir für den Hinweis.
Stimmst du den Ergebnissen für E(G) und E(L) bis auf die formalen Unsauberkeiten zu ?

17.04.2010, 11:24

Huggy

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Zitat:

Original von Bjoern1982
@ Huggy

Danke dir für den Hinweis.
Stimmst du den Ergebnissen für E(G) und E(L) bis auf die formalen Unsauberkeiten zu ?

Da der Thread schon ziemlich länglich ist, bin ich mir unsicher, was du für E(G) und E(L) heraus bekommen hast. Meine Lösung habe ich ja angegeben.

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