konkave Funktion f(a+b) <= f(a) + f(b)

17.04.2010, 23:52	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
konkave Funktion f(a+b) <= f(a) + f(b) Hey, also ich hänge hier schon seit Stunden an einer Stelle fest. Es ist eigentlich nur ein ganz kleiner Nebenaspekt einer größeren Aufgabe, aber ich komm einfach nicht drauf. Also wir haben eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} f : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \end{eqnarray}$ , über die wir folgendes wissen: i) $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} f' \geq 0 \end{eqnarray}$ iii) $\begin{eqnarray} f'' \leq 0 \end{eqnarray}$ Es gelte: $\begin{eqnarray} a \leq b + c \end{eqnarray}$ z.z.: $\begin{eqnarray} f(a) \leq f(b) + f(c) \end{eqnarray}$ Also ich hab mir Folgendes gedacht: Wegen $\begin{eqnarray} a \leq b + c \end{eqnarray}$ und weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ streng monoton steigend ist, ist $\begin{eqnarray} f(a) \leq f(b + c) \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} f'' \leq 0 \end{eqnarray}$ (also Konkavität) will ich jetzt darauf kommen, dass $\begin{eqnarray} f(b + c) \leq f(b) + f(c) \end{eqnarray}$ ist. Aber das gelingt mir nicht so recht. Meine Fragen: 1. Ist mein Lösungsansatz unnötig kompliziert? Geht es vielleicht anders viel schneller? 2. Wenn nein, wie kann ich den letzten Schritt am einfachsten zeigen? Danke schonmal
18.04.2010, 01:45	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgende Ungleichung ist also zu zeigen: $\begin{eqnarray} f(a+b)\le f(a)+f(b). \end{eqnarray}$ Dabei dürfen wir $\begin{eqnarray} a\le b \end{eqnarray}$ voraussetzen. Für a = 0 gilt die Ungleichung. Sei also a > 0. Die Ungleichung ist dann äquivalent zu $\begin{eqnarray} \frac{f(a+b) - f(b)}{a}\le \frac{f(a)}{a}. \end{eqnarray}$ Benutze für beide Seiten den Mittelwertsatz und verwende dann die Bedingung (iii), die besagt, dass f' monoton fallend ist.
18.04.2010, 02:03	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, danke! Ich war auch schon fast an der Stelle, aber anstatt die Intervalle (0, a), (b, a+b) zu legen hatte ich irgendwie mit (0, a), (0, b) und (0, a+b) herumexperimentiert, was natürlich zu nichts geführt hat. Aber so passt es jetzt.

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