Konvergenz der Langrangschen Interpolation |
26.10.2006, 05:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Konvergenz der Langrangschen Interpolation ich beschäftige mich gerade mit der numerischen Polynom-Interpolation. Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Interpolationpolynoms, der verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten (Monom, Lagransche, Newton) bin ich nun beim Interpolationsfehler angekommen. Seien also paarweise verschiedene Knoten in eiem Intervall [a,b] gegeben und . Das Polynom interpoliere die Daten . j=0,1,...n Dann gilt für den Interpolationsfehler: mit einem Es interessiert mich nun die Frage, ob, wann und wie gilt: für Abschätzung 1 Sollten nun für die Ableitungen gelten für alle k = 1, 2, ..., dann konvergiert die Folge der interpolierenden Polynome gleichmäßig gegen f (auf [a,b]), oder? Dann sollte auch für für alle k = 1, 2, ..., die Folge der interpolierenden Polynome gleichmäßig gegen f (auf [a,b] konvergieren. - Was wäre denn ein Beispiel für f? Abschätzung 2 Gibt es auch Funktionen, so dass die Folge der intp. Polynome (nicht gleichmäßig) gegen f konvergiert? Wenn ja, - wie sieht dann die Abschätzung aus? - ein Beispiel? Teil 3 - Runges Beipsiel Es wird als Bsp. die Funktion auf [-5,5]angegeben. Mit ihr soll doch gerade die Schwachstelle der Lagrange-IP aufgezeigt werden, oder? Starkes "Ausschlagen an den Intervallgrenzen. http://de.wikipedia.org/wiki/Runges_Ph%C3%A4nomen Bei einem anderen Googeln kam ich mal auf die Aussage, dass für das Teilintervall [-3,3] von [-5,5]Konvergenz vorliegen würde. - wie zeigt man das? - insgesamt gilt dann aber nicht für , oder? Hier mal Link zu unserem WebSkript, auch wenn ich nicht in Heidelberg studiere. http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/~le...polynomint.html Meint Hauptproblem ist der Satz: "... so dass gleichmässige Konvergenz des Approximationsprozesses nicht mehr zu erwarten ist" Der taucht immer als klassische Überleitung zum Satz von Weierstraß auf, ok. Aber was ist mit Konvergenz(ohne Gleichmäßig) Grüße, tigerbine |
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