Konvergenz der Langrangschen Interpolation

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Langrangschen Interpolation
Servus,

ich beschäftige mich gerade mit der numerischen Polynom-Interpolation. Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Interpolationpolynoms, der verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten (Monom, Lagransche, Newton) bin ich nun beim Interpolationsfehler angekommen.

Seien also paarweise verschiedene Knoten in eiem Intervall [a,b] gegeben und . Das Polynom interpoliere die Daten . j=0,1,...n

Dann gilt für den Interpolationsfehler:

mit einem


Es interessiert mich nun die Frage, ob, wann und wie gilt:

für


Abschätzung 1



Sollten nun für die Ableitungen gelten für alle k = 1, 2, ..., dann konvergiert die Folge der interpolierenden Polynome gleichmäßig gegen f (auf [a,b]), oder?

Dann sollte auch für für alle k = 1, 2, ..., die Folge der interpolierenden Polynome gleichmäßig gegen f (auf [a,b] konvergieren.

- Was wäre denn ein Beispiel für f?

Abschätzung 2

Gibt es auch Funktionen, so dass die Folge der intp. Polynome (nicht gleichmäßig) gegen f konvergiert? Wenn ja,

- wie sieht dann die Abschätzung aus?
- ein Beispiel?


Teil 3 - Runges Beipsiel

Es wird als Bsp. die Funktion auf [-5,5]angegeben. Mit ihr soll doch gerade die Schwachstelle der Lagrange-IP aufgezeigt werden, oder? Starkes "Ausschlagen an den Intervallgrenzen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Runges_Ph%C3%A4nomen

Bei einem anderen Googeln kam ich mal auf die Aussage, dass für das Teilintervall [-3,3] von [-5,5]Konvergenz vorliegen würde.

- wie zeigt man das?
- insgesamt gilt dann aber nicht für , oder?


Hier mal Link zu unserem WebSkript, auch wenn ich nicht in Heidelberg studiere.

http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/~le...polynomint.html

Meint Hauptproblem ist der Satz:

"... so dass gleichmässige Konvergenz des Approximationsprozesses nicht mehr zu erwarten ist"

Der taucht immer als klassische Überleitung zum Satz von Weierstraß auf, ok.

Aber was ist mit Konvergenz(ohne Gleichmäßig)



Grüße,
tigerbine
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