Gleichungssystem lösen

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18.04.2010, 22:31	Jay Dee	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem lösen Meine Frage: Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgendem Problem: Bestimme a, b, c: a + b + c = 7 a² + b² + c² = 49 a³ + b³ + c³ = 235 Meine Ideen: Habe erstmal durch ausprobieren die Lösung (6,-2,3) raus. Dies müsste eigtl passen... Von meinem eigenen Ansatz hab ich die 1.Gleichung nach a aufgelöst. Dies dann in die 2. eingesetzt und nach b aufgelöst. Dann beides in die 3. eingesetzt und damit wollte ich c rausfinden aber dies hat nicht so geklappt. Denn das ³ hat mir rechnerisch irgendwie Probleme gemacht. Ich denke mal dass es auf eine einfachere Weise zu berechnen ist. Hoffe jemand kann mir helfen. Grüße
18.04.2010, 22:41	aumada	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen Alle weiteren Kombinationen aus den von Dir gefundenen Komponenten sind natürlich auch brauchbar.
18.04.2010, 22:45	Jay Dee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dies hab ich vergessen zu erwähnen aber ich denke, dass dies auf der Hand liegt =) Bräuchte nur so etwas wie einen Lösungsweg. Da gibts bestimmt einen Trick... leider komm ich selber auf keinen grünen Zweig.
19.04.2010, 18:26	Markob	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist dann auch ob diese Komination auch die einzige Lösung ist. Ich denke mal dass es da ein System gibt.
19.04.2010, 19:19	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Werte $\begin{eqnarray} a^2,\,b^2,\,c^2 \end{eqnarray}$ sind alles Quadratzahlen und insofern natürlich auch nichtnegativ. Es kommen also nur $\begin{eqnarray} 0,1,4,9,16,25,36,49 \end{eqnarray}$ dafür in Frage. Jetzt sucht man alle Lösungen der zweiten Gleichung und schaut, ob sich daraus eine Lösung des gesamten Systems gewinnen lässt. Gruß, Reksilat. EDIT: @WebFritzi: Stimmt! Das habe ich in der Eile wohl überlesen. Sorry!
19.04.2010, 20:21	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
@Reksilat: Wieso sollte nur nach ganzzahligen Lösungen gefragt sein? @Jay Dee: Du bekommst in deinem zweiten Schritt als Lösung für b: $\begin{eqnarray} b = \frac{7 - c\pm\sqrt{-3c^2 + 14c + 49}}{2}. \end{eqnarray}$ Da der Term unter der Wurzel nichtnegativ sein muss, folgt $\begin{eqnarray} -7/3\le c \le 7. \end{eqnarray}$ Das nur nebenbei. Setzen wir das in die dritte Gleichung ein, erhalten wir $\begin{eqnarray} 235 &=& \left( 7 - \frac{7 - c\pm\sqrt{-3c^2 + 14c + 49}}{2} - c\right)^3 + \left(\frac{7 - c\pm\sqrt{-3c^2 + 14c + 49}}{2}\right)^3 + c^3\\ &=& \left(\frac{7-c}{2}\mp\frac{\sqrt{\ldots}}{2}\right)^3 + \left(\frac{7-c}{2}\pm\frac{\sqrt{\ldots}}{2}\right)^3 + c^3. \end{eqnarray}$ Nun gilt für alle reellen Zahlen x und y: $\begin{eqnarray} (x+y)^3 + (x-y)^3 = 2x^3 + 6xy^2. \end{eqnarray}$ Benutze diese Formel in der obigen Rechnung. Dann lösen sich alle Wurzeln auf, und du erhältst eine kubische Gleichung in c. Deren Lösungen sind übrigens 3, -2 und 6.
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19.04.2010, 20:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativlösung: Es ist $\begin{eqnarray} a+b+c = 7 \qquad (1) \end{eqnarray}$ gemäß Voraussetzung. Weiterhin gilt $\begin{eqnarray} (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2) = 2(ab+bc+ca) \end{eqnarray}$ , eingesetzt dann $\begin{eqnarray} ab+bc+ca = 0 \qquad (2) \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc \end{eqnarray}$ , eingesetzt und umgestellt dann $\begin{eqnarray} abc = -36 \qquad (3) \end{eqnarray}$ . Gemäß Vieta sind $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ nun die Lösungen der kubischen Gleichung $\begin{eqnarray} 0 = x^3 - 7x^2 + 0x + 36 = (x-6)(x-3)(x+2) \end{eqnarray}$ .
19.04.2010, 21:03	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Alternativlösung ist hier wohl eine nette Untertreibung, das ist einfach DIE Lösung der Aufgabe... Wenn man allerdings weiss, dass sich Potenzsummen ja bekanntlich immer polynomial durch elementarsymmetrische Poylnome ausdrücken lassen, so ist dieser Weg nach einem kurzen Blick auf die Aufgabe auch schon mehr oder weniger vorgegeben...
19.04.2010, 22:58	Jay Dee	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch allen! @Arthur: Einfach genial ^^

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