Halbraum ist offene Teilmenge

19.04.2010, 18:59

Bullet1000

Halbraum ist offene Teilmenge

Hallo, ich versuche gerade zu zeigen, dass jeder Halbraum

$\begin{eqnarray*} H:=\{x\in \mathbb R | <x,a>= \sum\limits_{k=1}^N x_ka_k>b \} \end{eqnarray*}$

eine offene Teilmenge des $\begin{eqnarray*} {\mathbb R}^N \end{eqnarray*}$ ist.

Was ich zeigen will ist, dass mit $\begin{eqnarray*} x\in H \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x)\subset H \end{eqnarray*}$

Aber die Umgebung ist ja über eine Metrik definiert. $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x)=\{y \in {\mathbb R}^N | d(x,y)<\epsilon \} \end{eqnarray*}$

Aber ich habe ja hier nur dieses Skalarprodukt definiert.
Muss ich mir da jetzt die dazugehörige Norm suchen?

19.04.2010, 19:12

Leopold

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Solange nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird, darfst du von der euklidischen Metrik

$\begin{eqnarray*} d(x,y) = \left\| x - y \right\| = \sqrt{\langle x-y \, , \, x-y \rangle} \end{eqnarray*}$

ausgehen. Und da hast du dein (Standard-)Skalarprodukt drinnen.

Im übrigen sind lineare Abbildungen stetig, also auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \langle x , a \rangle \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ nichts anderes als das Urbild des offenen reellen Intervalls $\begin{eqnarray*} I = (b,\infty) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} H = f^{-1}(I) \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 19:22

Bullet1000

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hmm...
Also in der Vorlesung hattn wir bisher noch nicht gezeigt, dass lineare Abb. stetig sind.
Gibt es evtl. noch eine andere Möglichkeit das zu zeigen?
Hilft vielleicht die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung? Eher nicht, oder?

19.04.2010, 19:45

tmo

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Zitat:

Original von Bullet1000
Gibt es evtl. noch eine andere Möglichkeit das zu zeigen?

Selbstverständlich. Nämlich einfach der direkte Weg über die Definition von Offenheit, den du auch schon angedeutet hast.

Sei $\begin{eqnarray*} x \in H \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n x_ka_k > b \end{eqnarray*}$ . Wir definieren $\begin{eqnarray*} h := \sum_{k=1}^n x_ka_k - b \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$
Nun musst du ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ finden mit Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \subseteq H \end{eqnarray*}$ .

Dazu schätzen wir unter der Bedinung $\begin{eqnarray*} y \in U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ mal folgenden Term etwas ab, um dann eine Idee zu bekommen, wie man Epsilon wählen kann:
$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n y_ka_k\right) - b = \left(\sum_{k=1}^n x_ka_k\right) - b + \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq ... \end{eqnarray*}$

Immer dran denken: Am Ende willst du irgendwas mit > 0 erhalten.

19.04.2010, 20:00

Bullet1000

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Na ja, so richtig sehe ich es noch nicht. Aber ich versuch es mal.

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n y_ka_k\right) - b = \underbrace {\left(\sum_{k=1}^n x_ka_k\right)}_{>b} - b + \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k > \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \end{eqnarray*}$

Bringt mir das schon was?

19.04.2010, 20:17

tmo

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Nein, das war so ziemlich das schlimmste, was du hättest machen können.

Denn die schöne Information, dass zwischen <x,a> und b ein Abstand liegt (Ich habe ihn übrigens als h definiert) geht dadurch verloren.

Viel mehr geht es darum, dass du nur die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzt. So z.B im ersten Schritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq - \left| \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \right| \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 20:25

Bullet1000

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Ach so, stimmt natürlich. Der Schritt von mir war blöd. Denn Term zu streichen, von dem man schon weiß, dass er positiv ist.

Bringt es mir etwas die Summe auseinander zu ziehen?

19.04.2010, 20:32

tmo

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Was kommt einem denn fast immer in den Sinn, wenn man den Betrag einer Summe sieht? Da muss es doch eigentlich direkt "klick" machen.

19.04.2010, 20:32

Bullet1000

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Dreiecksungleichung?

19.04.2010, 20:33

tmo

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Ja also.

19.04.2010, 20:37

Bullet1000

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Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq - \left| \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \right|\leq-\sum_{k=1}^n \underbrace {|y_k-x_k||a_k|}_{>0} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie irritiert mich dieses Minus vor der Summe.
Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ größer ist, als diese Summe.

Bringt es evtl. etwas, wenn ich duch -1 dividiere?

19.04.2010, 20:40

tmo

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Zitat:

Original von Bullet1000
Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ größer ist, als diese Summe

Erstmal musst du $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ so wählen, dass dies gilt. Dannach kannst du es erst zeigen.

Jetzt geht es halt darum die Summanden, also $\begin{eqnarray*} |y_k-x_k||a_k| \end{eqnarray*}$ nach oben abzuschätzen. Irgendwelche Ideen?

19.04.2010, 20:43

Bullet1000

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nochmal dreiecksungleichung?

19.04.2010, 20:45

tmo

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Nein. Jetzt kommt $\begin{eqnarray*} y \in U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ ins Spiel. Was kannst du demnach über $\begin{eqnarray*} |y_k-x_k| \end{eqnarray*}$ aussagen?

19.04.2010, 20:51

Bullet1000

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Na ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} d(x,y)<\epsilon \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, dass damit die euklidische Norm gemeint ist.
Also müsste eigentlich auch $\begin{eqnarray*} |x_k-y_k|<\epsilon \end{eqnarray*}$ sein

19.04.2010, 20:52

tmo

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Zitat:

Original von Bullet1000
Na ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} d(x,y)<\epsilon \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Original von Bullet1000
Ich denke mal, dass damit die euklidische Norm gemeint ist.

Auch richtig. Das hat Leopold ja schon erwähnt.

Zitat:

Original von Bullet1000
Also müsste eigentlich auch $\begin{eqnarray*} |x_k-y_k|<\epsilon \end{eqnarray*}$ sein

Das stimmt auch. Hast du noch ne Begründung auf Lager?

19.04.2010, 20:56

Bullet1000

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Na weil bei der euklidischen Norm jede Komponente quadratisch aufsummiert wird. na ja. Also darf keine größer als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sein.

Aber was weiß ich jetzt damit?

Muss ich jetzt mein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen?

19.04.2010, 21:08

tmo

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Zitat:

Original von Bullet1000
Na weil bei der euklidischen Norm jede Komponente quadratisch aufsummiert wird. na ja. Also darf keine größer als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sein.

Man könnte meinen du hast Angst vor mathematischen Symbolen. Mit solchen schwammigen Beschreibungen wirst du aber nicht weit kommen.

Versuch es doch einfach mal:

$\begin{eqnarray*} |y_k-x_k| = \sqrt{(y_k-x_k)^2} \leq ... = ||y-x||= d(y,x) < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Bullet1000
Aber was weiß ich jetzt damit?

Noch nicht viel. Du musst natürlich auch noch $\begin{eqnarray*} |a_k| \end{eqnarray*}$ abschätzen.

19.04.2010, 21:12

Bullet1000

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ja, genau so meinte ich das auch. war zu faul, sorry.

So, nun $\begin{eqnarray*} |a_k| \end{eqnarray*}$ abschätzen.
Aber darüber weiß ich ja kaum etwas außer das, was in der Def. von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ steht

19.04.2010, 21:17

tmo

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Welche Zahl ist denn auf jeden Fall größer als jedes $\begin{eqnarray*} |a_k|, k=1,\dotsc, n \end{eqnarray*}$ ?

19.04.2010, 21:20

Bullet1000

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hmm... Vielleicht das zu Beginn definierte $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ?

19.04.2010, 21:22

tmo

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Nein. Die Antwort liegt so nahe, dass du vor lauter Bäumen den Wald nicht siehst.

Wenn ich dir die Zahlen 4, 11, 17, 35 vorgebe und dir sage, du sollst mir die kleinste Zahl nennen, die größergleich jeder dieser Zahlen ist. Was sagst du dann?

19.04.2010, 21:25

Bullet1000

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Na 35.

Heißt das jetzt, ich wähle das $\begin{eqnarray*} sup|a_k| \end{eqnarray*}$ aus?

19.04.2010, 21:26

tmo

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Ja, liegt doch nahe Augenzwinkern

19.04.2010, 21:27

Bullet1000

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hmm.. Na OK. Aber das kann ich doch jetzt nicht wirklich quantifizieren, oder?

Ich weiß jetzt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq - \left| \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \right|\geq-\sum_{k=1}^n \underbrace {|y_k-x_k||a_k|}_{>0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x_k-y_k|<\epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |a_k|\leq sup|a_k| \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 21:30

tmo

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Müssen wir auch nicht Augenzwinkern

Du hast doch jetzt $\begin{eqnarray*} |y_k-x_k||a_k| \leq \varepsilon A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A := \sup_{k=1, \dotsc, n}|a_k| \end{eqnarray*}$

Jetzt fange noch mal ganz vorne an:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n y_ka_k\right) - b = \left(\sum_{k=1}^n x_ka_k\right) - b + \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq ... \end{eqnarray*}$

und schätze soweit ab, wir wir schon sind.

Dazu muss ich dich aber noch auf einen Fehler hinweisen, den du begangen hast:

Zitat:

Original von Bullet1000
Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq - \left| \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \right|\leq-\sum_{k=1}^n \underbrace {|y_k-x_k||a_k|}_{>0} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Da muss auch beim zweiten Mal ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ hin. Beachte das Minus!

19.04.2010, 21:33

Bullet1000

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Ja, war mir vorhin schon aufgefallen, danke.
Also mal schauen:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n y_ka_k\right) - b = \left(\sum_{k=1}^n x_ka_k\right) - b + \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k>h-nA\epsilon \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq - \left| \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \right|\geq-\sum_{k=1}^n \underbrace {|y_k-x_k||a_k|}_{>0}\geq-\sum_{k=1}^n A\epsilon=-nA\epsilon \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 21:41

tmo

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Genau. Also ist

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n y_ka_k\right) - b = \left(\sum_{k=1}^n x_ka_k\right) - b + \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k = h + \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq h -nA\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ so wählen, dass der letzte Ausdruck größer als 0 ist.

Und danach reflektierst du mal, was wir gemacht haben und warum jetzt plötzlich die Offenheit von H bewiesen ist.

19.04.2010, 21:47

Bullet1000

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Na ja. Dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} \epsilon< \frac{h}{nA} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist auch definitiv postiv, weil $\begin{eqnarray*} n,A,h>0 \end{eqnarray*}$

Damit weiß ich, dass ich zu jedem $\begin{eqnarray*} y\in U_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ ein positives $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ finden kann, so dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x)\subset H \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 21:52

tmo

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Zitat:

Original von Bullet1000
Und \epsilon ist auch definitiv postiv, weil $\begin{eqnarray*} n,A,h>0 \end{eqnarray*}$

Leider nicht ganz. A kann ja durchaus 0 sein. Aber wenn $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ ist, jedes $\begin{eqnarray*} a_k = 0 \end{eqnarray*}$ und dann ist Menge entweder leer (wenn $\begin{eqnarray*} b \geq 0 \end{eqnarray*}$ ) oder der ganze $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ (wenn b < 0), also sicher offen. Deswegen kann man ruhig ohne schlechtes Gewissen von A > 0 ausgehen.

Zitat:

Original von Bullet1000
Damit weiß ich, dass ich zu jedem $\begin{eqnarray*} y\in U_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ ein positives $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ finden kann, so dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x)\subset H \end{eqnarray*}$

Mit der Formulierung bin ich nicht einverstanden. Vielmehr muss man doch zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in H \end{eqnarray*}$ irgendwas finden.

19.04.2010, 21:56

Bullet1000

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Vielen Dank für die Geduld. Eine Frage hätte ich noch. Aber evtl. sprengt das jetzt den Rahmen. Denn laut Aufgabenstellung soll ich jetzt noch etwas schlussfolgern können.

Folgern Sie daraus unter der Vewendung der Durchschnittseigenschaft offener Mengen die Offenheit des N-dimensionalen Quaders

$\begin{eqnarray*} Q:=(c_1 , d_1) x,...,x (c_n,d_n)= \{x \in {\mathbb R}^n | c_k<x_k<d_k \} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=1,...,n \end{eqnarray*}$

Ich glaube das ist jetzt doch nochmal eine sehr aufwändige Folgerung, oder?

19.04.2010, 22:00

tmo

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Nein, das ist nicht wirklich aufwändig. Betrachte doch mal exemplarisch den Fall n=2.

Dann ist ein Quader ein Rechteck (bzw. das Innere eines Rechtecks). Und dieses Rechteck ist der Durchschnitt von vier geeigneten Halbräumen.

Edit: Aber verbessere mal dein Latex-Code.

19.04.2010, 22:03

Bullet1000

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Na ja, also ich weiß ja, dass die Halbräume offene Mengen sind.
Und ich hab auch schon mal bewiesen, dass der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen wieder offen ist.
Also muss ich jetzt meine Halbräume passend wählen, oder?
In diesem Falle entspricht so ein Halbraum immer einer Seitenlänge und $\begin{eqnarray*} (c_k,d_k) \end{eqnarray*}$ sind jeweils die Eckpunkte, oder?

ps. hab es jetzt endlich richtig hingeschrieben im vorletzten Beitrag

20.04.2010, 17:32

Bullet1000

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Wie kann ich aber jetzt meine Halbräume so wählen, dass deren Vereinigung gerade meinen n-dimensionalen Quader ergibt?

01.05.2010, 21:08

Lilliana

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Hallo,

ich hab mir die letzten Stunden diesen beitrag hier mal angeschaut und ich verstehe da Einiges nicht.

Ich verstehe den Ansatz, dass man sich die Verschiedenen Umgebungen betrachtet um zu zeigen, dass die Menge offen ist, da sie ja nur aus inneren Punkten besteht.

Die Umformung und Abschätzungen verstehe ich auch, aber ich verstehe nicht, wie man aus der langen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n y_ka_k\right) - b = \left(\sum_{k=1}^n x_ka_k\right) - b + \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k = h + \sum_{k=1}^n (y_k-x_k)a_k \geq h -nA\varepsilon \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \epsilon< \frac{h}{nA} \end{eqnarray*}$ folgern kann, das H offen ist. Was erkennt man daraus?

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