Projektion nicht orthogonal

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Felix Auf diesen Beitrag antworten »
Projektion nicht orthogonal
Sei V ein euklidscher oder unitärer Vektorraum. Falls die Projektion keine Orthogonalprojektion ist, so gibt es ein für das gilt . Ich rechne jetzt schon einige Zeit daran rum aber komme einfach nicht zum Ergebnis, wäre nett wenn ihr mir einen Stoß in die richtige Richtung geben würdet ...

lg Wink
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob das die einfachste Möglichkeit ist, aber ich würde im Groben folgendermaßen vorgehen:

Da dein keine Orthogonalprojektion ist, kannst du ein wählen, sodass .
Für beliebige weißt du (denn p ist eine Projektion), dass ist.
Berechne dann (das bekommst du mit Orthogonalität auf diese hübsche Form, die Umformungen darfst du selbst rausfinden), und wähle derart, dass .
Jetzt hast du .
Überzeuge dich davon, dass und und folgere mit Pythagoras etwas Schönes. smile

Gruß,
Carsten
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da dein keine Orthogonalprojektion ist, kannst du ein wählen, sodass .


Warum kann ich mir sicher sein, dass der Orthogonalraum von U nicht nur den Nullvektor enthält?

Zitat:
und wähle derart, dass .


Warum kann ich u so wählen ?


Wie kann ich mich davon überzeugen, dass der Orthogonalraum von
nicht leer ist? Gelingt mir das, so wähle ich einfach ein x mit . Mit Phytagoras folgt dann :



Und damit eigentlich schon meine Aussage.

Nur wie gesagt zuerst müsste ich dieses Problem mit dem Prthogonalraum beheben.

Hat da jemand eine Idee, wahrscheinlich bin ich eh nur wieder betriebsblind ...

lg
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Orthogonalraum verschwindet, ist dein p die Identität, und folglich eine Orthogonalprojektion, das kannst du also ausschließen.
Dein u kannst du wegen als ein geeignetes Vielfaches von wählen.

Für deinen anderen Beweisansatz müsste ich noch ein wenig überlegen, aber der erste Ansatz wäre damit wahrscheinlich geklärt.

EDIT: Dass der Orthogonalraum von nicht verschwindet, siehst du leicht daran, dass W für die Menge nicht umfasst, daher ist das Komplement zumindest nicht verschwindend. Problem bei deinem Beweisansatz könnte allerdings sein, dass du erhältst, und damit gezwungen bist zu wählen, dann wäre jedoch , was Probleme verursachen könnte. Allerdings kannst du unter der Voraussetzung, dass p keine Orthogonalprojektion ist, ausschließen, dass ist.
Siehst du schon, wie? Augenzwinkern

Gruß,
Carsten
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn der Orthogonalraum verschwindet, ist dein p die Identität, und folglich eine Orthogonalprojektion, das kannst du also ausschließen.


Und warum soll das nun wieder gelten?

Zitat:
Dein u kannst du wegen als ein geeignetes Vielfaches von wählen.


Ok klar ...

Zitat:
Dass der Orthogonalraum von nicht verschwindet, siehst du leicht daran, dass W für die Menge nicht umfasst, daher ist das Komplement zumindest nicht verschwindend.


Sei ein Vektorraum und eine Unterraum nun betrachte ich den Orthognalraum von U. Warum sollte dieser nicht leer sein können. Im endlichdimensionalen ist das klar aber allgemein verwirrt

Ich werd mir das später nochmal in Ruhe anschauen aber momentan werd ich aus dem leider nicht schlau unglücklich
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich war stillschweigend von einem endlichdimensionalen Vektorraum ausgegangen. Was setzt du für deine Projektion voraus? Stetigkeit? Soll der Vektorraum ein Banachraum sein?
Wenn ja, dann sollte dein Bildraum ein abgeschlossener echter Unterraum sein, und dein orthogonales Komplement folglich abgeschlossen und nichtverschwindend. Dann funktioniert alles wie vorhin. Ansonsten bezweifle ich die Richtigkeit der Aussage.
Wenn du also von einem stetigen p ausgehst, so folgte aus einem Verschwinden des Orthogonalraums bereits, dass dein Bild ganz V ist, und das geht nur, wenn p die Identität ist. Die ist aber offensichtlich eine Orthogonalprojektion.
Ich bin jetzt erstmal weg, vielleicht fällt mir nachher in der Uni noch was Gutes ein.

Gruß,
Carsten
 
 
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Die Angabe ist folgende :

Sei ein euklidscher oder unitärer Vektorraum und eine Projektion auf einen Unterraum U. Zeige: p ist genau dann eine Orthogonalprojektion falls für alle .

Die eine Richtung ist mehr oder weniger trivial. Auf die andere Richtung beziehen sich meine Fragen. Mein Ansatz war zu zeigen, dass aus p nicht orthogonal folgt. Diese Aussage ist nun nach meinen bisherigen Überlegungen richtig, wenn ich nur zeigen kann, dass es ein x gibt mit .
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ein wenig nachgedacht und habe ein Gegenbeispiel zu deiner Annahme konstruiert, d.h. einen euklidischen Raum und einen Unterraum , sowie eine (nicht orthogonal-)Projektion , sodass ein verschwindendes Komplement besitzt:
Wähle als V den Raum der stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] (das Skalarprodukt definierst du, indem du über das Produkt zweier Funktionen integrierst), und wähle als p die Projektion, die jede Funktion f auf diejenige Funktion schickt, die konstant f(0) ist. Dann ist dein Spannraum gerade die Menge aller stetigen Funktionen, für die f(0) = 0 ist, und man kann zeigen, dass das orthogonale Komplement dann 0 sein muss. Folglich funktioniert es nicht so ohne Weiteres (obwohl die Aussage in der Aufgabe dann trotzdem noch erfüllt ist)

Problem ist, dass unsere Ideen im Prinzip sehr ähnlich sind. Wahrscheinlich muss man tatsächlich Einschränkungen vornehmen. Wo hast du denn die Aufgabe her?

Gruß,
Carsten
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollts ja nicht wahrhaben Big Laugh

Dein Ansatz dürfte dann wohl eine Sackgasse sein. Bei meinem siehts auch dunkel aus einziger Hoffnungsschimmer ist, dass ich die etwas schwächere Vorraussetzung verwende. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob diese wircklich schwächer ist, zu mindest finde ich gerade keine Funktion in deinem Gegenbeispiel die sie erfüllt ...

Das Beispiel ist ein Übungsbeispiel, bis Mittwoch sollte es fertig sein. Ich könnte mir gut vorstellen, dass da mit der Angabe etwas nicht stimmt. Alle anderen Beispiele habe ich in ein paar Minuten gelöst und dieses ist so hartnäckig. Vielleicht überseh ich aber einfach nur etwas.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, für den endlichdimensionalen Fall kannst du auf jeden Fall einen Beweis (bzw. zwei Beweise Augenzwinkern ) vorlegen, und wahrscheinlich waren auch lediglich endlichdimensionale euklidische / unitäre Räume in der Aufgabenstellung gemeint. Die unendlichdimensionalen Fälle lassen zu starke Pathologien zu.

Liebe Grüße,
Carsten
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ohne Gegenbeispiel bin ich damit noch nicht ganz zufrieden. Werd mir darüber nochmal den Kopf zerbrechen aber zuerst sind mal meine Ana-Beispiele dran ... Dank dir auf jeden Fall für deine Hilfe Freude
Falls ich Fortschritte mach werd ich sie natürlich hier posten, falls es dich interessiert.

Wenn übrigens sonst jemand eine Idee zu dem Problem hat würd ich mich natürlich sehr freuen, wenn er diese hier postet Augenzwinkern

lg Wink
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Zugegeben, an einem Gegenbeispiel oder allgemeinen Beweis wäre ich ebenso interessiert, von daher: habe dir gerne so weit ich konnte geholfen smile Informier uns bitte, wenn es Neues zu dem Problem gibt.
Ich hätte im Übrigen noch einen Ansatz, von dem ich allerdings nicht zu 100% überzeugt bin - eventuell genügt es für den Beweis, ein Element zu wählen, das "fast orthogonal" steht (d.h. es gibt Vektoren in U, sodass das Skalarprodukt hinreichend klein bleibt und so kontrolliert werden kann) - dann lässt sich, bei hinreichend gut gehandhabten Vektoren, das Problem womöglich auch ohne Orthogonalraum lösen (sofern es denn lösbar ist).

Gruß,
Carsten
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habs, man kann tatsächlich zeigen, dass :

Sei . Dann gilt:



Nun setzte ich mit .

War also offensichtlich gar nicht so ein Ding aber wenn man sich mal verannt hat braucht man mal ein bisschen Abstand bevor man wieder klar sehen kann Augenzwinkern

lg
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Wenn du hast, scheitert dieser Beweisansatz. Wo fließt überdies die nicht-Orthogonalität der Projektion mit ein?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich deswegen auch durch ausgeschlossen.

Zitat:
Gelingt mir das, so wähle ich einfach ein x mit . Mit Phytagoras folgt dann :


Hier fließt dann die nicht-Orthogonalität ein. Ansonsten wäre nämlich .
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, du hast und ausgeschlossen? Dann würde nämlich alles stimmen, und die nicht-Orthogonalität der Projektion würde die Existenz dieses Elements garantieren.


Am Rande: Ich habe mein Argument abgewandelt, und gewählt. Dann ist gilt :

Dann wählt man geeignet, sodass der Term verschwindet, und hat dann für , alles, was man für einen erfolgreichen Pythagoras-Ansatz braucht.
Unsere Beweise sind im Prinzip fast identisch, sie unterscheiden sich lediglich dadurch, dass du einen Parameter durch Multiplikation änderst, ich durch Verschiebung.

War ein nettes Problem, das du beigetragen hast. Freude

Gruß,
Carsten
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du meinst, du hast und ausgeschlossen?


Ja ich hab mal das erste ausgeschlossen eben durch . Als zusätzlich Voraussetztung an das x, kann ich jetzt noch stellen. Diese Eigenschaft überträgt sich auch auf x' wie man leicht sieht.
Damit hätte ich dann alles beisammen.

Danke nochmal für deine Hilfe Freude
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