Rhombische Zahlen als Clustergröße in hexagonalen Zellnetzen [Zahlentheorie/Geometrie]

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rad238 Auf diesen Beitrag antworten »
Rhombische Zahlen als Clustergröße in hexagonalen Zellnetzen [Zahlentheorie/Geometrie]
Hallo,

ich habe ein zahlentheoretisches/geometrisches Verständnis-Problem. Vielleicht gehört das eigentlich ins Geometrie-Forum, ich war mir nicht sicher.

Ich verstehe nicht, weshalb folgenden Behauptung gelten soll:
Die Clustergröße in einem 2-dimensionalen hexagonalen Zellnetzen ist immer eine Rhombische Zahl r, für die gilt:



In dem Artikel
http://en.wikipedia.org/wiki/Cellular_ne...Frequency_reuse
ist das an Beispielen dargestellt, aber nicht mathematische erklärt. Dort steht keine Formel, aber die Zahlen stehen da, 3, 4, 7, 9, 12… Die Formel hatte ich mal wo anders gehört...

Zur Aufgabenstellung: Wir teilen eine 2-dimensionale Ebene in gleichmäßige hexagonale Zellen (Sechsecke) auf. Nun fassen wir benachbarte Zellen (Sechsecke) zu geometrisch regelmäßigen, gleich großen Gruppen (Clustern) zusammen, ohne dass dabei Lücken zwischen den Clustern bleiben. Jeder Zelle eines Clusters wird eine Zahl (oder Farbe o.ä.) zwischen 1 und r zugeordnet. Der Abstand von Zellen mit der gleichen Zahl (Farbe) muss immer gleich sein (Symmetrie). Dann ist die Zahl der Zellen pro Cluster immer eine Rhombische Zahl r. Wenn r nicht Rhombisch ist, wie oben dargestellt, funktioniert die gleichmäßige Aufteilung nicht.

Wieso diese Formel? Warum geht es mit r=1, r=3, r=4, r=7, …, aber z.B. nicht mit r=2, oder r=5? Über Ideen würde ich mich freuen.

Viele Grüße,
Andreas
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rhombische Zahlen als Clustergröße in hexagonalen Zellnetzen [Zahlentheorie/Geometrie]
Jetzt habe ich doch noch einen schönen Beweis gefunden:
Man nimmt an, Zellen gleicher Farbe haben immer den gleichen Abstand D zueinander, wenn ihre Cluster benachbart sind. Nun berechnet man den Anstand D in Abhängigkeit der Zellgröße d allgemein für beliebige Clustergrößen r. Dann berechnet man den Flächeninhalt eines Clusters proportional zu D² und den Flächeninhalt einer Zelle proportional zu d². Die Clusterzahl r ist dann das Verhältnis der Clusterfläche zur Zellfläche. Das funktioniert für verschiedene Zellgeometrien.

Für Vierecke ergibt sich





für Sechsecke ergibt sich nach Verwendung vom Kosinussatz die obige Formel



Gruß,
Andreas
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mich würde mal interessieren, woher die Bezeichnung "Rhombische Zahl" kommt? Ich seh da nichts "rhombisches". Deine r entsprechen den jeweiligen quadratischen Formen des Quadrat- bzw. Dreiecksgitters, d.h. ganz allgemein dem quadrierten Abstand zweier entsprechender Gitterpunkte (der zahlentheoretischen Norm, in diesen niedrigdimensionalen Beispielen sind bestimmte Abstände "verboten", d.h. existieren geometrisch nicht). In der Kristallographie ist dein r der Index einer Gruppe-Untergruppe Beziehung, er gibt, wie du richtig festgestellt hast, den Skalierungsfaktor zwischen dem Flächeninhalt der Basiszelle relativ zu dem der ähnlichen größeren Zelle an.

Gruß
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Iridium,
ich weiß leider nicht, woher der Name kommt. In der Literatur taucht der Begriff in dem Zusammenhang auch nur dann auf, wenn von Mobilfunk die Rede ist. Ich hab das so übernommen. Aber vielleicht ist der Begriff aus einem Missverständnis entstanden, sodass ich ihn in Zukunft besser vermeiden sollte...
Viele Grüße,
Andreas
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ne, ich hab mich einfach nur gewundert. Wenn der Begriff in irgendeinem Zusammenhang als Fachbegriff unter diesem Namen läuft, dann ist das im Prinzip schon richtig, daß man ihn dann auch so verwendet. Es gibt auch mehrere Beispiele wo ein und dasselbe Konzept in verschiedenen Wissenschaften unter einem anderen Namen bekannt ist. Das hat meistens historische Gründe. Andererseits ist es dann natürlich schade, daß viele nichts davon wissen, weil sie ein Konzept nur unter einem Namen kennen, aber nicht wissen, daß eventuell viele Probleme schon ausführlich gelöst sind, wenn man nur in einem anderen Fachgebiet und unter einem anderen Namen nachschaut. In dieser Hinsicht erschwert die unterschiedliche Namensgebung in unterschiedlichen Gebieten enorm den wissenschaftlichen Fortschritt insgesamt. Es gibt dann so peinliche Fälle, wo Leute etwas veröffentlichen, was sie für "Neu" halten, was in einem anderen Fach bereits seit hundert Jahren bekannt ist und keinen mehr hinterm Ofen hervorlockt.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Hier findet man:

[attach]15168[/attach]

Auch dieses Buch befasst sich mit dem Thema.
 
 
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich kenne das Konzept (für den Fall des Dreiecksgitters) z.B. aus der Geographie (Christallers Theorie der zentralen Orte, Lösch-Zahlen) bzw. aus der Strukturbiologie von Viren (Caspar-Klug Theorie, Triangulationszahlen) und in der Kristallographie kommt es auch vor (z.B. bei ähnlichen Untergittern des hexagonalen Gitters). Erstaunlich ist jedesmal, daß kaum jemand von der Verwendung derselben Konzepte in einem anderen Fach Notiz nehmen zu scheint, so daß selbst halbwegs triviale Erkenntnisse jedesmal neu bewiesen und als große Leistung herausgestellt werden. Umgekehrt kann man es aber auch den Mathematikern vorwerfen, daß ihr Interesse an angewandter Forschung auf anderen Gebieten gegen Null geht. Sicher kann ein Mathematiker nicht alle Forschungsgebiete überblicken und sicher kann man auch nicht von ihm verlangen, daß er sich deren Themen zu eigen macht, aber davon abgesehen würde er sich keinen Zacken aus der Krone brechen, wenn er wenigstens in seinem persönlichen Fachgebiet wüsste, ob dieses praktische Anwendungen besitzt, und ob seine Fähigkeiten, dort eingesetzt, nicht von beiderseitigem Nutzen sein könnten, gerade eben weil das dem Mathematiker trivial erscheinende dem praktischen Forscher schon sehr weitreichend und tiefgründig erscheinen kann. (ich denke bei diesem Beispiel ganz konkret an einen Fachartikel eines Mathematiker/Strukturchemikers, der zeigt, daß ein mathematisches Objekt in der mathematischen Literatur als sensationelle Struktur beschrieben wird, obwohl Strukturchemiker die molekulare Realisierung schon jahrzehntelang kannten und das andererseits Strukturchemiker die Auseinandersetzung mit mathematischen Theorien scheuen, weil sie keinen Zugang dazu finden, weil sie einerseits selten gelernt haben, so abstrakt zu denken und weil Mathematiker es selten gelernt haben, sich visuell auszudrücken)

Den Artikel gibt es unter

http://people.physics.anu.edu.au/~sth110..._Int_Ed_srs.pdf
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