schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch

22.04.2010, 20:47

user111

schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch

Hallo,
sitze gerade an einer Frage, zu der ich gerne Eure Meinung hätte:
Im Reellen gilt doch für eine schiefsymmetrische Matrix der Form $\begin{eqnarray*} A:=0.5(M-M^T) \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x^TMx=x^TM^Tx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und irgendeiner $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} x^TAx=0 \end{eqnarray*}$ . Nun wüsste ich gerne, ob dasselbe Argument auch im Komplexen für die schiefhermitesche Matrix $\begin{eqnarray*} 0.5(M-M^*) \end{eqnarray*}$ funktioniert, wenn $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ ?
Danke schonmal im Voraus.

22.04.2010, 21:23

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch
Irgendwie habe ich nicht verstanden, was genau du nun wissen möchtest. Möchtest du Wissen, ob A bei beliebigem M schiefsymmetrisch/hermitesch ist?

Gruß
MI

22.04.2010, 21:37

user111

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch
Nein, sorry, wenn ich mich missverständlich ausgedrückt habe, mir fehlt für die Aufgabe momentan nur die Kenntnis der komplexen Eigenschaften: Und zwar frage ich mich, ob für $\begin{eqnarray*} A:=0.5(M-M^*) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x^*Ax=0 \end{eqnarray*}$ gilt (analog zum reellen Fall $\begin{eqnarray*} x^TAx=0 \end{eqnarray*}$ ). Dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schiefhermitesch bzw. -symmetrisch ist, weiß ich...

22.04.2010, 22:06

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch
Ah, jetzt verstehe ich, worauf du hinaus willst.
Ja, das funktioniert analog.

Gruß
MI

22.04.2010, 22:37

user111

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch
Ok, das heißt dann, dass $\begin{eqnarray*} x^*Mx=x^*M^*x \end{eqnarray*}$ für eine gegebene $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein müsste, oder?

22.04.2010, 22:38

wisili

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch
@MI
Wieso soll das funktionieren? $\begin{eqnarray*} x^*Mx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^*M^*x \end{eqnarray*}$ sind konjugiert, aber nicht immer gleich; $\begin{eqnarray*} x^*A^*x \end{eqnarray*}$ hat Realteil 0, ist aber nicht immer 0.

23.04.2010, 16:39

Senfdazugeb

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch
Die Frage ist doch, ob der antihermitesche Teil verschwindet, und das scheint mir aus oben Genanntem auch nicht der Fall zu sein...???

23.04.2010, 22:11

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch

Zitat:

Original von wisili
@MI
Wieso soll das funktionieren? $\begin{eqnarray*} x^*Mx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^*M^*x \end{eqnarray*}$ sind konjugiert, aber nicht immer gleich; $\begin{eqnarray*} x^*A^*x \end{eqnarray*}$ hat Realteil 0, ist aber nicht immer 0.

Asche über mein Haupt. Du hast natürlich Recht, ein Gegenbeispiel ist leicht gefunden. Ich weiß leider nicht mehr genau, was ich mir dabei gedacht habe gestern, aber gut war's nicht unglücklich

23.04.2010, 22:26

wisili

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch
Wenn man sich vor Augen hält, dass bei $\begin{eqnarray*} x^TMx=x^TM^Tx \end{eqnarray*}$ beidseits des Gleichheitszeichen eine 1x1-Matrix steht, wird es klar: Transponieren bewirkt gar nichts bei einer einzelnen Zahl, konjugieren aber schon (wenn nicht alles reell ist).

24.04.2010, 19:26

user111

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RE: schiefsymmetrisch vs. schiefhermitesch
Ja, stimmt, die Frage war eig. blöd, wie ich jetzt feststellen musste, das kann in der Tat nicht sein. Inzwischen hat sie sich auch ein wenig verlagert: Angenommen $\begin{eqnarray*} 0.5*(M+M^*) \end{eqnarray*}$ ist positiv definit, dann ist ja laut Wikipedia M auch pos. def. Jetzt frage ich mich, ob man dann etwas über $\begin{eqnarray*} 0.5*(M-M^*) \end{eqnarray*}$ aussagen kann? Vielleicht hat jemand 'ne Idee,
Gruß

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