Nilpotenz |
23.04.2010, 11:22 | Lea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nilpotenz Habe eine Aufgabe zur Nilpotenz zu erledigen. Ich weiß auch was nilpotent bedeutet: Wenn ich eine Matrix A habe wird diese für eine Potenz K gleich 0 aber für eine Potenz k-1 ungleich 0. Ich habe jetzt folgende Aufgabe: Sei nilpotent. Ich will jetzt zeigen, dass die Matrix A nur die 0 als einzigen Eigenwert hat. Weiß irgendwie nicht so richtig wie ich da rangehen kann. Kann mir da jemand etwas weiterhelfen? |
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23.04.2010, 11:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Schreib mal in formeln hin, was nilpotent bedeutet und was ein Eigenwert ist. Kommst du dann auf eine Idee? |
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23.04.2010, 12:34 | Lea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Also ich weiß aus meinem Skript soviel: Eine Matrix heißt nilpotent, wenn es eine Zahl mit , das kleinste solche k heißt Index der Nilpotenz. Um die Eigenwerte zu bestimmen muss ich doch diese Gleichung lösen: . Aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. |
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23.04.2010, 12:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Nein, so meine ich das nicht. Es ist doch so, dass ein minimales n aus N gibt für das gilt Und ein Vektor v heißt Eigenvektor zum Eigenwert wenn gilt: Nun wird behauptet, dass 0 der einzige Eigenwert ist. Dann probier doch mal, warum es keinen EW ungleich 0 geben kann. |
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23.04.2010, 13:08 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Alternativ zu dem was Tigerbine vorschlägt (und was auch bei weitem den einfachsten und unmittelbarsten Zugang zur Lösung der Aufgabe darstellt), könnte man auch einfach eine Formel für für angeben, was unter der Voraussetzung der Nilpotenz von A leicht möglich ist... Das ist aber dann schon eher was für Feinschmecker... |
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25.04.2010, 11:11 | Lea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Also ich habe mich jetzt zuerst mal mit dem Vorschlag von Tigerbine beschäftigt und bin soweit gekommen: Ein Eigenvektor ist niemals der 0- Vektor. Wenn jetzt der Eigenwert ungleich 0 wäre, kann es keine Matrix geben da die sonst diese Gleichung nicht mehr stimmen kann. Ich weiß nicht, ob ich das jetzt so richtig ausgedrückt habe. was mich noch etwas irritiert ist, dass in der Formel für die Eigenwerte ja kein steht, sondern ein nur ein A. |
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25.04.2010, 12:28 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz
Ja, aber das kann man ja ändern, oder etwa nicht? Du musst es nur versuchen...Auch solltest du nicht vergessen, dass für den Eigenvektor per definitionem gilt ... |
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25.04.2010, 12:50 | Lea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz
Also ich versuche es nochmal... Wenn der Eigenwert wäre, dann wäre , weil
Ich hänge jetzt ein bisschen, dass auf die nilpotenz von A zu übertragen... Ich weiß ja nur, dass [l]A^n\neq0[/] für ein minimales n ist. Aber A könnte ja ungliech 0 sein. |
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25.04.2010, 14:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Ich gehe nun mal meinen Weg weiter. Wäre mystic aber dankbar, wenn wir im Anschluss seinen machen könnten. Die Idee dahinter interessiert mich. Mit v als Eigenvektor ist per Definition schon klar, dass v von 0 verschieden ist. Wir wollen uns dann doch mit den 2 Formeln an einem Widerspruchsbeweis versuchen. Wir haben:
Nun nehmen wir an, dass es einen Eigenwert gibt. Was hat das zur Folge? Schauen wir uns die zweite Gleichung an. Dann steht dort rechts etwas vom Nullvektor verschiedenes. Nun multiplizieren wir die Gleichung mal mit A. und schreiben das um. und nochmal und noch einmal Wieder steht rechts was vom Nullvektor verschiedenes. Und nun ist doch klar, wie man den gewünschten Widerspruch bekommen kann, oder? |
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25.04.2010, 14:11 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz @ Lea Irgendwie stehst du endlos auf der Leitung, trotz aller meiner Andeutungen, wie du hoffentlich dann selber erkennen wirst, sobald du die überaus einfache Lösung siehst... Warum zum Teufel betrachtest du immer nur aber niemals , wobei und ein Eigenvektor zu einem Eigenwert von A ist? Edit: Sorry tigerbine, habe deine Antwort oben nicht gesehen... Zu deiner Frage bezüglich für , solltest einfach bei dem äquivalenten Ausdruck an die Summenformel einer unendlich geometrischen Reihe denken... |
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25.04.2010, 15:04 | Lea | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz @ Mystic: Ich habe glaube ich wirklich auf der Leitung gestanden. Aber dank der ausführlichen Erklärung von Tigerbine habe ich es jetzt glaube ich verstanden. @Tigerbine: Vielen Dank für die ausführliche Hilfe. Wenn wäre, könnte es kein geben, das heißt A könnte nicht nilpotent sein. Das wäre dann der Widerspruch. |
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25.04.2010, 15:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Schön, dann können wir uns ja dem Weg von Mystic widmen. du willst doch auch über Widerspruch gehen, oder? Sei A also nilpotent. Annahme, es gäbe ein . Betrachten wir dann wobei mir nun nicht sofort klar ist, warum regulär ist. Es steht zunächst einmal eine "Summe/Differenz" einer singulären und einer regulären Matrix da. Mich erinnert so eine Kombination aus Matrix und Einheitsmatrix zum Einen an [WS] Lineare Gleichungssysteme 1 und zum anderen an [Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren Aber müßte man dann nicht fordern, dass der zugehörige Eigenraum eindimensional ist? Also Mystic, schubs mich mal in den richtigen Blickwinkel deines Ansatzes. Gruß |
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25.04.2010, 16:59 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz
Ich dachte, ich hätte diesen "Schubs" bereits in dem Edit zum meinem letzten Posting durchgeführt, aber vielleicht hast das ja übersehen... Also dann nochmals, ist und , so ist dann wegen jedenfallls nichtsingular, womit ein also dann auch nicht Eigenwert von sein kann, da aus ja sofort folgen würde... |
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25.04.2010, 17:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Mmh... Also wir haben und nehmen an . Dann kann man sich ja mal so eine Summe (Reihe) hinschreiben, da ab Index n alle Summanden gleich 0 sind. Nun bekomme ich doch etwas Hemmungen, Matrizen in Brüche zu schreiben. Die Formel würde ja liefern: Das wirft die Frage auf, aus welchem Blickwinkel wir hier die Matrix A betrachten? Also als Element von .... ? Matrizenring? Gilt die geom. Reihe Formel dann über Ringen? Dann umgeformt landen wir bei (nilpotent beachten) Da habe ich nun ja was anderes stehen wie du. Und irgendwie hab ich deine Idee mit der Inversen noch nicht verstanden. Wie dieser Ansatz motiviert ist. Also A wieder nilpotent und sei Eigenwert. Dann ist die Matrix singulär, da wir im Kern auch noch den Eigenvektor zu finden. Nun setzt du aber einfach mal an, als würde es eine Inverse geben. Hier die Frage, warum man Brüche schreiben darf. Nun formt man um. Und der Widerspruch wäre dadurch erreicht, dass man eine Inverse zu einer singulären Matrix angegeben hätte. Ich bekomme da aber auch eine andere Darstellung raus wie du. |
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25.04.2010, 18:46 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz
Ja sorry, hab da bei der expliziten Formel dann ein bißchen "gepatzt", aber in meinem letzten Edit dann gerade noch die Kurve gekratzt und nun stimmen wir ja wieder überein... Ob der eingeschlagene Weg mit der "unendlichem geometrischer Reihe" usw. aus algebraischer Sicht zu rechtfertigen ist oder nicht, darüber würde ich mir jetzt nicht so viele Gedanken mache, da man ja die Formel, die zum Schluß herauskommt, unmittelbar dann nachrechnen kann... Es ist umgefähr so wie bei der Faktorisierung eines RSA-Moduls n: Wenn mir jemand die beiden Primfaktoren von n nennen kann, dann ist es mir gleich, ober er dabei irgendeinen Voodoo-Zauber verwendet hat oder irgendeine andere obskure Methode, solange die Probe dann stimmt... |
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25.04.2010, 18:48 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz Ok, so erklärt nur der "Vodoo" hier, warum ich diesen Ansatz so selbst nie gemacht hätte. Schönen Restsonntag |
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26.04.2010, 17:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz
Topologisch gesehen macht es jedenfalls Sinn: http://de.wikipedia.org/wiki/Neumann-Reihe |
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27.04.2010, 13:45 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Nilpotenz
Ja, wobei man sagen muss, dass man hier noch keine Topologie braucht, da die Summe wegen der Nilpotenz von A de facto eine endliche Summe ist, wie ja auch tigerbine sehr schön ausgeführt hat... Der Grund für meine "Bruchschreibweise" war eigentlich, dass ich die Assoziation zur Summenformel einer unendlich geometrischen Reihe herstellen wollte, nichtahnend, dass ich tigerbine gerade damit so erschrecken würde... Aber man kann (und sollte normalerweise) bei vertauschbaren(!) Matrizen A,B, wo B nichtsingulär ist, statt natürlich auch einfach die gewohnte Schreibweise nehmen... |
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