Polynomring Z[t]

23.04.2010, 14:48	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring Z[t] Hallo, ich habe hier schon wieder eine kleine, unscheinbare Aufgabe, bei der ich einen Hinweis gebrauchen könnte. Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ der Polynomring $\begin{eqnarray} \mathbb Z[t] \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist: In $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ haben $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ den $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT} \, 1 \end{eqnarray}$ , aber es gibt keine $\begin{eqnarray} r,s \in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2r+ts = 1 \end{eqnarray}$ Bei dem ggT habe ich einfach mit $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(2,t) \cdot \mathrm{kgV}(2,t) = 2t \end{eqnarray}$ argumentiert, aber die eigentliche Aufgabe will mir partout nicht gelingen. Wie könnte ich da denn ansetzen?
23.04.2010, 15:29	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomring Z[t] -- (gelöscht, habe falsch überlegt, sorry)
23.04.2010, 15:44	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomring Z[t] @wisili: ... (Hast es ja noch gemerkt) Ein Koeffizientenvergeich könnte hier hilfreich sein. Gruß, Reksilat.
23.04.2010, 16:13	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomring Z[t] Danke schon mal. Da bin ich jetzt aber noch etwas unsicher. Wenn ich für r und s festlegt, dass sie Grad 1 haben sollen, also $\begin{eqnarray} r=r_1 + r_2t \quad , \quad s=s_1+s_2t \end{eqnarray}$ dann kann ich zwar zeigen, dass es in Z[t] keine solchen Polynome gibt, die das lösen, aber reicht das auch aus? Sprich, kann es dann auch keine Polynome höheren Grades geben, die das erfüllen? Wenn nein, dann fehlt mir gerade etwas der Überblick, warum das so ist. Für grad 1 erhalte ich jedenfalls, dass dann nur s=0 und r=(1/2) sein kann (was ja auch nicht überrascht). Kann es nicht sein, dass sich bei geeigneten Koeffizienten die ganzen Potenzen größer 1 gegenseitig wegkürzen?
23.04.2010, 16:36	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomring Z[t] Doch, die t-Glieder bringt man schon zur Auslöschung, aber nicht die konstanten: Es genügt, den von Reksilat empfohlenen Koeffizientenvergleich auf die konstanten Glieder zu beschränken.
23.04.2010, 16:39	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomring Z[t] patsch Klar... total blöd, es ergibt sich ja 2*(r_0)+t(s_0), und dann ist man schon fertig. Danke, jetzt ist es klar. Da hatte ich eine kleine Blockade.
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