Lineare Algebra Beweis

23.04.2010, 20:14	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra Beweis Meine Frage: Hey Leute , ich sitze vor folgender Aufgabe und weiß nicht recht, wie ich den Beweis erbringen soll Man soll zeigen,dass die beiden Vektoren x = ( x1 , x2 ) y = ( y1 , y2 ) genau dann linear abhängig sind,wenn x1y2 = x2y1 gilt. Meine Ideen: Linear abhängig heißt doch, dass ich einen der Vektoren durch den Anderen darstellen kann. Seien also nun a und b zwei Skalare aus R² , dann gilt a * x = y und b * y = x Also nochmal in Zeilen aufgeschrieben : a * x1 = y1 a * x2 = y2 b * y1 = x1 b * y2 = x2 Wenn ich mich nun nicht täusche reicht es ja zu zeigen, dass es außer der trivialen Linear-Kombination mit a = b = 0 auch noch andere Skalare gibt, so dass diese Vektoren linear abhängig sind. Dann habe ich also einfach mal die Beziehungen für a und b aufgeschrieben : a = y1 / x1 oder a = y2 / x2 b = x1 / y1 oder b = x2 / y2 Danach habe ich einfach mal irgendwelche Komponenten in andere eingesetzt ( hierbei vor allem in die zu beweisende Formel x1y2=x2y1 ) . Und die Gleichungen stimmen eigentlich auch immer.Aber ich kann nie etwas einsetzen, wodurch ich am Ende dann auch wirklich NUR noch x1y2=x2y1 stehen habe. Ich hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben oder mich auf einen Fehler hinweisen. Danke im vorraus!
23.04.2010, 20:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra Beweis Das mit dem Vielfachen gilt nur bei 2 Vektoren. Allgemein müssen sie sich nichttrivial linear zum Nullvektor kombinieren lassen. Das kann man z.B. überprüfen, in dem man die Vektoren als Spalten eine Matrix ansieht und deren Determinante muss dann von Null verschieden sein. Mit dem Determinantenblickwinkel hat man sofort die Forderung x1y2=x2y1.
23.04.2010, 20:37	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube fast ich habe es doch gefunden. Ich habe ja die Formel x1y2=x2y1 zu beweisen Dazu habe ich dann einfach die oben erwähnten Terme eingesetzt. Zunächst einmal habe ich folgendes eingesetzt : x1 * y2 = x2 * y1 b * y1 * a * x2 = b * y2 * a * x1 Nun muss ich ja nur noch zeigen, dass dies unabhängig von den Skalaran a und b erfüllt ist. Also setze ich die oben erwähnten Formeln für a und b ein : b * y1 * a * x2 = b * y2 * a * x1 ( x1 / y1 ) * y1 * ( y2 / x2 ) * x2 = (x2 / y2 ) * y2 * ( y1 / x1 ) * x1 Damit ergibt sich dann die gwünschte Formel x1 y2= x2 y1 Sollte ich einen Denkfehler gemacht haben oder jemand der Meinung sein,dass dies nicht als Beweis ausreicht,dann ist Kritik sehr erwünscht. ^^
23.04.2010, 21:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es sehr begrüßen, wenn du deine Anmeldung hier im Board auf einen Account beschränken würdest und nicht für jeden post einen neuen eröffnest. Dankeschön. Du hast schon mal leichtfertig dividiert. Was, wenn z.B. y1=0 ist? Ferner reicht es, nur eine zusätzliche Variable einzuführen. Bei dieser LK kann man eine komponente auf 1 normieren. Ferner fehlt mir die Struktur, die => und <= deutlich macht. Du startest mit dem was gelten soll. Daraus muss l.a. folgen. Und umgekehrt. Bei dir sieht das eher nach einem Zirkelschluss aus. Du hast die Formel... holst varianlen.... und landest wieder bei der Formel.
24.04.2010, 00:15	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ja hast wahrscheinlich recht. Anderer Lösungsweg , dieses mal ein wenig mit Fallunterscheidung. ( Determinanten haben wir in der Vorlesung noch nicht gehabt ) Ich betrachte statt x1y2=x2y1 die Gleichung x1y2 - x2y1 = 0 Mein erster Fall wäre x1 = x2 = 0 Damit wären sie also schonmal linear abhängig. Nächster Fall : $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ wenn y1 = 0 , dann y2 = 0 , also y = 0 wenn $\begin{eqnarray} y1 \neq 0 \end{eqnarray}$ und y2 = 0, dann x2 = 0 Also auch linear abhängig oder? Man kann natürlich auch umgekehrt statt mit y1 und y2 mit x1 und x2 verfahren. Dann als letztes noch $\begin{eqnarray} y1,y2 \neq 0 \end{eqnarray}$ Dann x1 / y1 = x2 / y2 Also für ein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ = x1 / y1 = x2 / y2 $\begin{eqnarray} \Rightarrow x = \lambda \end{eqnarray}$ * y Das heißt also, dass sich x als Linearkombination von Lambda und y erstellen lässt.Also sind sie linear abhängig. Ist so ne Fallunterscheidung ok? Hab ich noch nen Fehler gemacht? Danke für die Antwort ( -en ) im vorraus ! Achja und zum Schluss noch eine Frage : Muss ich den anderen Account nun löschen?Weil das sah für mich wie ein provisorischer Acc für diese Frage aus.Daher machte ich mir keine großen Gedanken.Wollte hier niemandem auf den Schlipps treten damit. ^^
24.04.2010, 18:27	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
" Kommentar, um dieses Thema nach oben zu Schieben mach " Wie schauts mit diesem Lösungsweg aus?Ok?Denkfehler?Rechenfehler? Über eine kurze Rückmeldung würde ich mich sehr freuen. Und vorrab : Wenn diese Lösung immer noch nicht richtig sen sollte, könnte mich vielleicht jemand in die richtige Richtung lenken?Habe einfach keine Ideen mehr sonst dazu.
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25.04.2010, 00:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, wer pushed denn hier. Gegeben sind die Vektoren (x1,y1) und (x2,y2). Ich zeige dir nun, was ich mit Fallunterscheidung meine. Die trivialen Fälle arbeitet man zuerst ab. Beide Vektoren gleich, ein Vektor der Nullvektor. Somit ist im folgenden maximal eine Komponente des Vektors ungleich 0. => Die beiden Vektoren seien linear abhängig, d.h. es gibt eine Konstante c mit x1= cx2 und y1 = cy2 [Spezialfall, da nur 2 Vektoren!]. O.B.d.A sei y2 ungleich 0. Dann erhalten wir c=y1/y2. Setzen das ein x1 = (y1/y2)x2 und damit die Gleichung x1y2=x2y1. <= Es gelte x1y2=x2y1. Wieder sei o.B.d.A y2 von 0 verschieden. Dann ist x1 = x2(y1/y2). D.h. es gibt eine Konstante c:=(y1/y2) mit x1=cx2. Weiter gilt so auch cy2 = y1. Und somit sind die beiden Vektoren linear abhängig. Das meinte ich mit der Struktur, auch wenn hin und Rückweg hier sehr stark an einander angelehnt sind. Deine Fallunterscheidung arbeitet mit das Vorwort ab.

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