Isomorphismus

24.04.2010, 15:14

Sebi06

Isomorphismus

Guten Tag, liebe Mathe-Boardler!

Ich habe folgendes Problem: Seien V ein K-Vektorraum, V* sein Dualraum und Phi: V x V --> K eine Bilinearform mit der Eigenschaft Phi(u,v) = 0 <--> Phi(v,u) = 0 für alle u, v aus V. Eine Abbildung h_(Phi) V-->V* sei definiert durch:
h_(Phi)(v) := Phi(v, .)

Zu zeigen ist, dass h_(Phi) genau dann ein Isomorphismus ist, wenn Phi nichtdegeneriert ist.

Nachzuweisen ist also die Bijektivität von Phi, und dass es sich um ein Homomorphismus. (dass die Umkehrfunktion ein Homomorphismus ist, folgt aus der Surjektivität (das ist richtig, oder?

Zur Injketivität:
Dazu benötigen wir die Nichtgeneriertheit von Phi. Ist Phi(v, .) = 0, so ist Phi(v, u) = 0 für all v, u aus V im Widerspruch zur Annahme der Nichtgeneriertheit --> Phi ist injektiv.

Zum Homomorphismus:
Da h_(Phi): V-->V* eine lineare Abbildung ist, handelt es sich um ein Homomorphismus.
(Homomorphismen von Vektorräumen werden als lineare Abbildungen beziechnet)

Nun wäre noch die Surjektivität zu zeigen (da Bijektivität gelten muss).
Wie kann man das nachweisen?

Besten Dank und liebe Grüsse!

26.04.2010, 17:54

Sebi06

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RE: Isomorphismus
..sind die Schritte, die ich bis jetzt gemacht habe, dermassen schlecht, dass niemand antwortet?

26.04.2010, 18:16

WebFritzi

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RE: Isomorphismus

Zitat:

Original von Sebi06
Nun wäre noch die Surjektivität zu zeigen (da Bijektivität gelten muss).
Wie kann man das nachweisen?

Gar nicht, denn die Aussage stimmt so nicht. Zumindest nicht, wenn auch unendlichdimensionale V zugelassen sind. Anders sieht es aus, wenn dim(V) endlich ist. Dann haben V und V* die gleiche Dimension (warum?), und die Surjektivität folgt aus der Injektivität (warum?).

Entweder bist du also einer von denen, die die Originalaufgabe nicht korrekt abschreiben können, oder die Aussage in der Originalaufgabe ist falsch.

26.04.2010, 22:15

Sebi06

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RE: Isomorphismus
Schau, die Originalaufgabe sieht wie folgt aus:

[attach]14426[/attach]

V und V* hätten die gleiche Dimension, weil V* der Dualraum von V ist. (und nach Definition gilt: dim(V) = dim(V*) )

Wieso die Surjektivität aus der Injektivität folgt, weiss ich allerdings eben nicht..

26.04.2010, 22:18

Airblader

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RE: Isomorphismus

Zitat:

Original von Sebi06
V und V* hätten die gleiche Dimension, weil V* der Dualraum von V ist. (und nach Definition gilt: dim(V) = dim(V*) )

Das gilt aber eben nur für endlichdimensionale Vektorräume V. Für unendlichdimensionale ist es nicht nur im Allgemeinen, sondern sogar immer falsch.

air

26.04.2010, 22:23

Sebi06

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RE: Isomorphismus
Bezieht sich die Aufgabe also auf unendlich dimensionale V?
(Müsste da nicht eine Bemerkung stehen, oder wird das, wenn nichts anderes steht, im Allgemeinen angenommen?)

27.04.2010, 00:48

WebFritzi

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RE: Isomorphismus

Zitat:

Original von Sebi06
Bezieht sich die Aufgabe also auf unendlich dimensionale V?

Steht da was davon? Nein. Also wohl nicht. Jedenfalls nicht ausschließlich. Die Dimension von V ist in der Aufgabe egal. Nur ist das Problem, dass die Aussage für $\begin{eqnarray*} \operatorname{dim}(V) = \infty \end{eqnarray*}$ falsch ist.

EDIT: Ein Gegenbeispiel wird dies zeigen. Sei dazu V unendlichdimensional und $\begin{eqnarray*} (v_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V. Wir definieren die Bilinearform $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \varphi(v_i,v_j) := \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ und das Funktional $\begin{eqnarray*} v^*\in V^* \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} v^*(v_i) := 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i,j\in I. \end{eqnarray*}$ Angenommen, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} v\in V, \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} v^*(u) = \varphi(v,u) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u\in V \end{eqnarray*}$ gilt. Der Vektor v hat dann eine Darstellung $\begin{eqnarray*} v = \sum_{j=1}^n\,\mu_jv_j. \end{eqnarray*}$ Es folgt $\begin{eqnarray*} 1 = v^*(v_{n+1}) = \varphi(v,v_{n+1}) = \sum_{j=1}^n\,\mu_j\varphi(v_j,v_{n+1}) = 0. \end{eqnarray*}$ Ein Widerspruch!

EDIT2: Die Aussage bleibt übrigens auch falsch, wenn man sie für stetige Bilinearformen und stetige Funktionale auf einem normierten Vektorraum formuliert. Hierzu wähle man z.B. als V den Raum $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ der quadratsummierbaren reellwertigen Folgen und auf VxV die Bilinearform $\begin{eqnarray*} \varphi(v,w) := \langle Gv,w\rangle. \end{eqnarray*}$ Dabei ist $\begin{eqnarray*} \langle\cdot,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt im $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ und G die lineare Abbildung, die die k-te Einheitsfolge $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac 1 k e_k \end{eqnarray*}$ abbildet. Man kann nun leicht zeigen, dass der Kern von G zwar trivial ist (und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ damit nichtdegeneriert), dass aber auch das Bild von G nicht der ganze Raum $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ ist. Man wähle sich also eine Folge $\begin{eqnarray*} v_0, \end{eqnarray*}$ die nicht im Bild von G liegt und definiere $\begin{eqnarray*} v^*(u) := \langle v_0,u\rangle \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u\in V. \end{eqnarray*}$ Dann ist $\begin{eqnarray*} v^*\in V^*, \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v^*(u) = \varphi(v,u) \end{eqnarray*}$ für ein v und alle u implizierte $\begin{eqnarray*} v_0 = Gv \end{eqnarray*}$ - Widerspruch.

Zitat:

Original von Sebi06
(Müsste da nicht eine Bemerkung stehen, oder wird das, wenn nichts anderes steht, im Allgemeinen angenommen?)

Verstehst du deine Frage selber? Ich jedenfalls nicht.

28.04.2010, 19:09

Sebi06

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RE: Isomorphismus
Heey!

Besten Dank für deine Ausführungen!
Mit diesen hast du gezeigt, dass für dim(V) = oo die Aussage falsch ist.

Ich nehme an, dass die Bedingungen so gewählt werden sollten, dass die zu zeigende Aussage wahr ist.

Angenommen, die Bedingungen würden so gewählt werden, dass die Aussage stimmt - so hätte ich die Frage immernoch, wieso die Surjektivität aus der Injektivität folgt..

Allen einen schönen Abend und vielen Dank!

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