Positive Definitheit

24.04.2010, 18:06

Manuel20

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Positive Definitheit

Tag zusammen!

Ich soll zeigen, dass eine quadratische Form q positiv definit ist.
Die habe ich soweit schon zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} q(x,y,z) = 9x^2 + x(14y - 10z) + 6y^2 - 8yz + 3z^2 \end{eqnarray*}$

Dass q positiv definit ist, muss gelten, dass es >0 ist.
Genügt hier die Argumentation, dass - egal, ob x, y, z positiv oder negativ sind - q > 0 ist, weil die Quadratwerte betragsmässig grösser sind (und addiert werden) als die nicht-Quadratwerte. ?

Sonnige Grüsse,
Manuel

26.04.2010, 18:09

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Da niemand geantwortet hat, gehe ich mal von einer Bejahung aus.
Ich hätte zu diesem Thema aber noch eine andere, interessantere Frage:

Die quadratische Form q sei definiert durch:
q: IR^3 --> IR :
$\begin{eqnarray*} q(x,y,z) = (x \ y \ z) \begin{pmatrix} 9 & 7 & -5 \\ 7 & 6 & -4 \\ -5 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage: Wie kann ich eine Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} q(x', y', z') = x'^2 + y'^2 + z'^2 \end{eqnarray*}$
?

Herzlichen Dank für die Hilfe und einen schönen Spät-Nachmittag!

26.04.2010, 18:25

WebFritzi

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RE: Positive Definitheit

Zitat:

Original von Manuel20
Da niemand geantwortet hat, gehe ich mal von einer Bejahung aus.

Fragt sich, wie du auf diese Folgerung kommst. verwirrt

verwirrt

26.04.2010, 19:04

pablosen

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RE: Positive Definitheit

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Manuel20
Da niemand geantwortet hat, gehe ich mal von einer Bejahung aus.

Fragt sich, wie du auf diese Folgerung kommst. verwirrt

verwirrt

Frage zur positiven Definitheit:

Reicht es nicht einfach, wenn man zeigt:

$\begin{eqnarray*} q(x,x,x) = (x \ x \ x) \begin{pmatrix} 9 & 7 & -5 \\ 7 & 6 & -4 \\ -5 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x \\ x \end{pmatrix} = 14x^2 \end{eqnarray*}$

und da

$\begin{eqnarray*} 14x^2 \end{eqnarray*}$ immer positiv für x beliebig $\begin{eqnarray*} \rightarrow q \end{eqnarray*}$ positiv definit.

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \qed \end{eqnarray*}$

Ist es das schon oder ist das zu einfach?

26.04.2010, 19:37

Reksilat

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RE: Positive Definitheit

Zitat:

Original von Manuel20
Genügt hier die Argumentation, dass - egal, ob x, y, z positiv oder negativ sind - q > 0 ist, weil die Quadratwerte betragsmässig grösser sind (und addiert werden) als die nicht-Quadratwerte. ?l

Wenn Dir Deine eigene Argumentation schon nicht richtig verständlich ist, warum sollte es dann jemand anders besser verstehen?
Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} q=10x^2+xy \end{eqnarray*}$ ist nicht positiv definit.

@pablosen: Du versuchst eine Behauptung für den ganzen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ damit zu beweisen, dass die Behauptung auf der Gerade $\begin{eqnarray*} \langle (1,1,1)\rangle \end{eqnarray*}$ gilt. unglücklich

unglücklich

Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} q=2x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht positiv definit.

Für beide Fragen von Manuel ist "Diagonalisierung" der passende Ansatz.

Gruß,
Reksilat.

28.04.2010, 20:46

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Hallo!

Herzlichen Dank für die Tipps!

Diagonalisieren - gut. Dazu brauche ich aber die Eigenwerte.
Zu: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 & 7 & -5 \\ 7 & 6 & -4 \\ -5 & -4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wären dies:

charakteristisches Polynom:
-x^3 + 18x^2 - 9x + 1

reelle Eigenwerte: { 0,16517774851208158 ; 0,3461721855349013 ; 17,488650065953017 }

Diese Einträge wären dann auf der Diagonalen. Wie berücksichtige ich nun noch $\begin{eqnarray*} (x \ y \ z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was die Diagonalisierung betrifft?

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29.04.2010, 10:32

Reksilat

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RE: Positive Definitheit
Hhm, na gut. Die Eigenwerte sehen ziemlich blöd aus - zumindest die erste Frage kann man aber damit ganz gut beantworten:
Die symmetrische Matrix hat ja eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren und da die zugehörigen Eigenwerte alle positiv sind, muss die Form positiv definit sein. (Bekannt? Ansonsten versuch es mal nachzuvollziehen.)

Für den zweiten Teil sollte man dann etwas anders Vorgehen, da man ja kaum mit diesen Werten rechnen möchte. Wir nutzen jetzt hier, dass wir ja gar keine Ähnlichkeitstransformation brauchen, sondern eine beliebige Transformationsmatrix S suchen, so dass $\begin{eqnarray*} S^TAS \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix wird.
(A soll Deine oben angebene Matrix sein.)

Wir setzen zuerst $\begin{eqnarray*} S_1:=\begin{pmatrix}1&-7/9&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Rechne nun mal $\begin{eqnarray*} S_1^TAS_1 \end{eqnarray*}$ aus. Was fällt Dir auf? Kannst Du das fortsetzen, um eine Diagonalmatrix zu erzeugen?

Gruß,
Reksilat.

29.04.2010, 10:58

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Ahh..stimmt - an das hab ich gar nicht mehr gedacht! =)

Zur zweiten Frage:
$\begin{eqnarray*} S_1^TAS_1 = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -5 \\ 0 & \frac{5}{9} & \frac{-1}{9} \\ -5 & \frac{-1}{9} & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls das stimmt (sollte eigentlich..), dann fällt mir auf, dass a_12 und a_21 0 sind (also gleich sind) und a_23 und a_32 ebenfalls, a_13 und a_31 auch. Das stammt wahrscheinlich von der Symmetrie (eigentlich eines Skalarproduktes)..

Wie ich das aber fortsetzen soll, seh ich noch nicht ganz. Wie bist du "einfach so" auf das S_1 gekommen? ..ich sehe, dass du die Diagonaleinträge auf 1 gesezt hast, und dann der Eintrag 7 (bei a_12) durch -9 gerechnet hast..aber wieso, und eben, wie kommst du auf dieses S_1?

29.04.2010, 13:59

Reksilat

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RE: Positive Definitheit
Nun, das ist elementare Zeilen-/Spaltenumformung.
Wenn ich von rechts mit $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ multipliziere, dann heißt das, dass ich das 7/9-fache der ersten Spalte von der zweiten abziehe.
Wenn ich von links mit $\begin{eqnarray*} S_1^T \end{eqnarray*}$ multipliziere, dann heißt das, dass ich das 7/9-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile abziehe.

Wenn wir eine Basistransformation $\begin{eqnarray*} x\to Sx \end{eqnarray*}$ durchführen, bedeutet das ja eigentlich nur, dass wir gleichzeitig eine Zeilen- und Spaltenumformung von A durchführen. Jetzt müsstest Du also noch ein $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ finden, um an den restlichen Stellen ( $\begin{eqnarray*} a_{13},a_{31},.. \end{eqnarray*}$ ) Nullen zu erzeugen und dann abschließend noch eine Matrix $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ , um die Diagonalelemente zu 1 zu machen. Die fertige Trafomatrix ist dann das Produkt der einzelnen $\begin{eqnarray*} S_i \end{eqnarray*}$

29.04.2010, 15:23

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Oke, das grundlegende Vorgehen habe ich verstanden - zu den Schritten aber zwei, drei Fragen:

1.) Wie funktioniert die Spalten- und Zeilenumformung genau - und auf was muss man dabei achten?

2.) Eigentlich gesucht ist ja eine Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} q(x', y', z') = x'^2 + y'^2 + z'^2 \end{eqnarray*}$ . Ist das dann das Produkt der einzelnen S_i (i=1,...4) ?

Herzlichen Dank fuer deine Hilfe!

29.04.2010, 15:33

Reksilat

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RE: Positive Definitheit
Wenn Du es verstanden hast und meinen ersten Schritt nachvollziehen konntest, dann versuch doch erst mal die -5 oben rechts und unten links loszuwerden.
"Wie funktioniert das genau?" ist eine etwas ungenaue Frage. Das funktioniert hier wie beim Gauß, der wird letztlich auch durch Linksmultiplikation mit geeigneten Matrizen realisiert.

Zu 2): Ja, Deine Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist dann das Produkt der $\begin{eqnarray*} S_i \end{eqnarray*}$

29.04.2010, 15:53

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Zu: 'Wie funktioniert das genau':
Waere es moeglich, dass du die gemachten Rechenschritte aufschreibst, wie du auf S_1 gekommen bist?
..das ist das einzige, das ich noch nicht begriffen habe :S

Vielen Dank!

29.04.2010, 15:59

Reksilat

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RE: Positive Definitheit
Da gibt es keine Rechenschritte. Diese Matrix ist eben genau die, welche von rechts multipliziert die Aktion "ziehe das 7/9-fache der ersten Spalte von der zweiten ab" repräsentiert.
So unglaublich versteckt ist das in dieser Matrix auch nicht. Das Gespür, um Dir die Matrix für Deine nächste Aktion auszudenken, solltest Du doch haben.

Also:
Was ist die nächste Aktion, um die -5 dort wegzubekommen?
Welche Matrix wird das wohl repräsentieren?

29.04.2010, 16:24

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Das waere dann:
$\begin{eqnarray*} S_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{9} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_2^TAS_2 = \begin{pmatrix} 9 & 7 & 0 \\ 7 & 6 & \frac{-1}{9} \\ 0 & \frac{-1}{9} & \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt waeren noch die -1/9 wegzuringen, oder?

29.04.2010, 16:31

Reksilat

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RE: Positive Definitheit
Da steht ja die 7 wieder. Finger1

Finger1

Also $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ ist richtig, aber wir wollen ja überall Nullen erzeugen und deshalb geht es auch mit
$\begin{eqnarray*} S_2^TS_1^TAS_1S_2= \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{9} & \frac{-1}{9} \\ 0 & \frac{-1}{9} & \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weiter.

29.04.2010, 16:50

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Hehe..stimmt =)

Fuer S_3 haette ich dann:
$\begin{eqnarray*} S_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gemacht, aber dann ist:

$\begin{eqnarray*} S_3^TS_2^TS_1^TAS_1S_2S_3= \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & \frac{4}{9} & \frac{5}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie muesste S_3 wirklich aussehen?
S_4 wird dann auf den Diagonaleintraegen diejenigen Ausdruecke haben, welche als Produkt zusammen mit dem $\begin{eqnarray*} S_3^TS_2^TS_1^TAS_1S_2S_3 \end{eqnarray*}$ eine Matrix ergibt, die auf ihrer Diagonalen nur 1 stehen hat, oder?

29.04.2010, 16:56

Reksilat

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RE: Positive Definitheit
Frage mich, wie Du auf 4/7 kommst. verwirrt

verwirrt

Mit dieser Matrix geht's doch weiter:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{9} & \frac{-1}{9} \\ 0 & \frac{-1}{9} & \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Welche Aktion brauchst Du, um die -1/9 dort wegzubekommen?
Welche Matrix wird das repräsentieren?

29.04.2010, 17:15

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Ah, S_3 ist:
$\begin{eqnarray*} S_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ueberlegungsfehler von mir...

Somit haben wir:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{9} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ziel ist jetzt, dass nur noch 1 auf der Diagonalen sind..
Ich habs versucht, S_4 mit den drei Diagonaleintraegen 1/9, 9/5 und 5 zu fuellen - leider hat das aber nicht die Einheitsmatrix gegeben..

29.04.2010, 17:23

Reksilat

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RE: Positive Definitheit
Sieht schon mal gut aus. Freude

Freude

Und $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ wird auch eine Diagonalmatrix, das stimmt. Aber Du musst eben beachten, dass Du dann ja zweimal damit multiplizierst. Setze doch $\begin{eqnarray*} S_4:={\rm diag}(a,b,c) \end{eqnarray*}$ , rechne das aus und Du wirst schnell sehen, wie die drei Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ zu wählen sind.

29.04.2010, 17:27

Manuel20

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RE: Positive Definitheit
Yeeeesss..dankescheeeeen =)
..fuer was gibts Wurzeln :P

Hat Spass gemacht, vielen vielen Dank! =)

29.04.2010, 18:00

Reksilat

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RE: Positive Definitheit
Prima! - Ich fand's auch lustich! smile

smile

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