Legendre-Polynome |
24.04.2010, 21:50 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Legendre-Polynome Ich habe vorher das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren auf die Standardbasis (1, x, x,^2, x^3, x^4) angewendet, und wollte fragen, ob meine Lösung stimmt: |
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25.04.2010, 00:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Hallo. Ich werde aus deiner Form der Notation nicht schlau. Und was war die Aufgabe? 1,x,x²,... zu orthonormieren? Zum Thema Legendre-Polynome steht hier was: [WS] Orthogonale Polynome oder http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Po...gendre-Polynome |
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25.04.2010, 01:43 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Besten Dank für deine Antwort! Ich hab mir den Inhalt des Linkes angeschaut - das ist wirklich sehr hilfreich, und tatsächlich die richtigen Legendre-Polynome =) Meine Frage, die ich nun aber noch habe, ist, wie man denn durch das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren auf die Standardbasis diese Polynome erhält... Im letzten Post habe ich das nach dem Algorithmus aus: de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Funktionsprinzip_der_Verfahren veruscht - jedoch ohne Erfolg.. Vielen Dank für die Hilfe und eine gute Nacht! |
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25.04.2010, 14:21 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Vorab, bzgl. welches Skalarprodukts soll orthonormiert werden? Hier mal eine Beispielaufgabe. [Numerik I] - Übung 9 * |
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25.04.2010, 16:30 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Genau so, wie es im verlinkten Post gemacht worden ist, wollte ich das machen. Ich soll das bezüglich des Skalarpridukts: Wie würde hierzu aussehen? Ich habe den Schritt, der in der Aufgabe 9 (aus dem verlinkten Post) gemacht wurde, noch nicht ganz nachvollziehen können - bzw. ich habe noch nicht gsehen, wie man darauf kommt? (Also primär auf das Integral im Zähler und Nenner - das Berechnen und Kürzen nachher ist wider klar). Vielen Dank für die Hilfe und einen schönen Sonntag! |
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25.04.2010, 16:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Ich verstehe die Frage nicht. Die Rechnung ist doch ausführlich. du musst <,> eben mit deinem Integral machen. |
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26.04.2010, 22:21 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Ja, natürlich, alles klar! Ich habe den Term rechts vom Bruch jeweils "übersehen", und bin deshalb nie auf das richtige Resultat gekommen. Eine Frage hätte ich allerdings noch - nochmals zum selben Skalarprodukt: Wie lässt sich eine Darstellungsmatrix (von <.,.>) bezüglich der Standardbasis (1, x, x^2, x^3, x^4) bestimmen? |
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26.04.2010, 22:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Verstehe nicht was du meinst. Die Integralabbildung ist zwar linear, aber wie ich das für bestimmte Integrale in eine Matrix schreiben soll Wie kommst du darauf? |
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26.04.2010, 22:49 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Ich meine die Darstellungmatrix von: bezüglich der Standardbasis. |
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26.04.2010, 22:59 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome Ok, und warum sollte es die geben? Ich kenne http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...atrizenprodukt, aber das heißt ja nicht, dass sich jedes Skalarprodukt so darstellen lässt. |
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26.04.2010, 23:36 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome
Also wir hatten seiner Zeit, dass der Raum der Bilinearformen isomorph zu dem Raum der Matrizen ist. Auf Wikipedia steht auch noch die Abbildung, wie man so eine Koordinatendarstellung findet, im Wesentlichen gilt also das Bild der i-ten und j-ten Basisvektoren. Ist aber alles auch schon wieder lange her... |
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28.04.2010, 19:45 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome @ giles: Dann meinst du, sei die Lösung das Bild der i-ten und j-ten Basisvektoren? @tigerbine , @giles Ich habe auch noch etwas gefunden - ich nehme an, das wird zu dieser Aufgabe angenommen: Der Vektorraum sei . Auf diesem sei dann die Abbildung <.,.> : V x V --> IR durch gegeben, und dazu soll nun eben die Darstellungsmatrix (wenn die Aufgabe so lautet, sollte es (nehme ich an) schon eine geben..) bezüglich der Standardbasis (1, x, ..., x^4) bestimmt werden. |
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28.04.2010, 21:44 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, richtig. Du musst dir jetzt die Basen wählen (hast ja zwei mal die selbe) und die einzelnen Elemente miteinander durchs Skalarprodukt schicken und das Resultat dann nach der Vorschrift als Matrix schreiben, also wenn (das legt dann auch die Koordinatenform der Polynome fest) dann wären die Matrixelemente eben Wenn du einmal allgemein ausrechnest ist das schnell gemacht. |
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28.04.2010, 22:25 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, allgemein ausgerechnet gibt: Das verstehe ich nicht ganz: "... und die einzelnen Elemente miteinander durchs Skalarprodukt schicken und das Resultat dann nach der Vorschrift als Matrix schreiben..." Wäre es möglich, das vielleicht anhand einer konkreten Basis zu zeigen, wie das gedacht wäre? Vielen Dank! |
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28.04.2010, 23:06 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Betrachten wir mal einen niedrigdimensionaleren Fall. Nehm dir z.B. mal die Basen und d.h. du machst also eine Identifikation in etwa so Jetzt rechst du die Elemente der darstellenden Matrix des Skalarproduktes aus dann wäre jetzt z.B. wobei ich mit jetzt das Standardskalarprodukt im R^2 meine |
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28.04.2010, 23:59 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahhh..das heisst in userem Fall haben wir die Basen: {1,x,x^2,x^3,x^4} und {1,x,x^2,x^3,x^4} und {1,x,x^2,x^3,x^4} und {1,x,x^2,x^3,x^4} und {1,x,x^2,x^3,x^4} Dann macht man eine Identifikation: Dann rechnet man die Elemente der darstellenden Matrix nach: a_11 = ... ... bis a_55 = ... Und die darstellende Matrix ist dann bei deinem Beispiel die mittlere im Skalarprodukt. Kann man so vorgehen, für meine Standardbasis? |
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29.04.2010, 00:16 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau so (in etwa) ist der Plan. Du hast immer nur 2 Basen (jeweils von V), weil das Skalarprodukt ja von abbildet. Du kannst dabei natürlich in <x,y> das x und y Argument in verschiedenen Basen ausdrücken und dazu eine Matrix angeben, aber wird wohl i.A. eher nicht gemacht und ist hier auch explizit nicht gefragt =) Benutz dabei am besten auch, dass wegen der Symmetrie des Skalarprodukts sonst schreibst du dir einen Wolf |
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29.04.2010, 00:57 | Sebi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahh super! Besten Dank! Das heisst, die erste Zeile der Darstellungsmatrix ist: (2 , 0 , 2/3 , 0 , 2/5) Kann das sein? =) Schönen Abend und danke nochmals! |
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29.04.2010, 15:46 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das sieht korrekt aus. |
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