Angeordneter Körper

24.04.2010, 21:58

saxolophon

Angeordneter Körper

Hallo,

Ich hab ne Frage zu angeordeneten Körpern. Der kleinste angeordnete Körper sind ja die rationalen Zahlen, aber wieso gibt es keine endlichen angeorndeten Körper, z.B. die menge { -2 , -1, -0 ,5, 0, 0,5, 1, 2}

In dieser Menge gibts doch zu jedem Element für Addition und Multiplikation eine Inverse und es gibt doch auch eine Totalordnung "kleiner-gleich" für alle Elementenpaare. Was fehlt noch zum angeordneten Körper? Oder is das Beispiel oben noch nicht mal ein Körper?

24.04.2010, 22:16

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RE: Angeordneter Körper
Weise nach, das gilt:

$\begin{eqnarray*} a<b~~\Rightarrow~~a+c<b+c~~ \forall a,b,c\in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

Das ist eines der beiden Axiome, was zusätzlich zur Totalordnung noch zu einem geordneten Körper fehlt (es geht quasi um die "Verträglichkeit mit der Körperstruktur").

Da solltest du bei endlichen Körpern Probleme bekommen.
Allein deshalb, weil aus dem obigen Axiom relativ leicht folgt, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{N} 1>0 \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Gruß
MI

24.04.2010, 22:30

saxolophon

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Anscheinend interpriere ich das Axiom

$\begin{eqnarray*} a<b~~\Rightarrow~~a+c<b+c~~ \forall a,b,c\in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

anscheinend falsch...

Weil in meinem Körper oben gilt das doch. Wenn ich ein Element habe was kleiner als ein anderes ist (z.B. -2<-1) dann folgt daraus, dass z.B. -2 + -0,5 < -1 + -0,5 ist. Und das gilt doch für alle Elemente im Körper.

Also wo erfüllt der Körper das Axiom denn nicht?

Oder ist noch die Bedingung in dem Axiom, dass es zu jedem Element ein kleineres gibt?

24.04.2010, 22:33

Manus

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Das was du da oben hast ist mit der gängigen Addition und Multiplikation aus Q kein Körper.

Wenn du dir angucken möchtest, wo bei einem endlichen Körper die Probleme auftreten würde ich dir den $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} /p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit p prim empfehlen.

24.04.2010, 22:37

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Dein Vertretersystem ist leider falsch, weil bspw. $\begin{eqnarray*} 1+0.5\notin M \end{eqnarray*}$ gilt --> Deine Menge ist kein Körper.

Nehmen wir also mal $\begin{eqnarray*} \{0,1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ . Multiplikation und Addition geschieht in dem Körper quasi "mod 7".

Und jetzt schau dir hier mal an:
$\begin{eqnarray*} 5<6~~\Rightarrow~~5+1<6+1\Leftrightarrow 6<7=0 \end{eqnarray*}$

Gruß
MI

EDIT: Da war Manus schneller.

24.04.2010, 22:40

Manus

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Zitat:

Original von MI

EDIT: Da war Manus schneller.

Sorry, war offensichtlich zu verplant, um mitzukriegen, dass du noch on bist...

24.04.2010, 22:57

saxolophon

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Ich brauch dann irgendwie mal die richtige Definition von einem Körper.

Müssen die Summen bzw Produkte der Elemente des Körpers auch im Körper liegen weil du hier geschrieben hast

Zitat:

Dein Vertretersystem ist leider falsch, weil bspw. $\begin{eqnarray*} 1+0.5\notin M \end{eqnarray*}$ gilt --> Deine Menge ist kein Körper.

Und bei deinem Bespiel liegt dann immer ein Element der Menge a mit a mod 7 im Körper?

Also allgemein ich muss die Elemente des Körpers alle mit meiner vorher definierten Verknüpfung ( * + oder mod 7 ) "erstellen" können?

24.04.2010, 23:01

Airblader

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Zitat:

Original von saxolophon
Müssen die Summen bzw Produkte der Elemente des Körpers auch im Körper liegen

Ja!
Ein Körper muss abgeschlossen bezüglich der Operationen sein, d.h. die Verknüpfung beliebiger Körperelemente muss wieder im Körper liegen.

air

24.04.2010, 23:10

saxolophon

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Alles klar, vielen Dank erstmal smile

Dann noch 1 Frage:

Zitat:

Ja! Ein Körper muss abgeschlossen bezüglich der Operationen sein, d.h. die Verknüpfung beliebiger Körperelemente muss wieder im Körper liegen.

Das gleiche gilt auch für Gruppen oder?
Und der Unterschied zwischen (abelschen) Gruppen und Körpern ist, dass man beim Körper 2 Verknüpfungen definieren muss, nämlich + und * und bei einer (abelschen) Gruppe nur 1?

24.04.2010, 23:14

Airblader

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Solche Fragen sind eigentlich vom Typus "Kann man selber nachschlagen", da es ja keine Frage des Verstehens ist. Daher mal dieser Link. Augenzwinkern

air

24.04.2010, 23:35

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Zitat:

Original von saxolophon
Und bei deinem Bespiel liegt dann immer ein Element der Menge a mit a mod 7 im Körper?

Also allgemein ich muss die Elemente des Körpers alle mit meiner vorher definierten Verknüpfung ( * + oder mod 7 ) "erstellen" können?

Nein, die Verknüpfungen in meinem Körper sind $\begin{eqnarray*} (+,\cdot) \end{eqnarray*}$ , so, wie du sie von den ganzen Zahlen gewöhnt bist. Um im Körper zu bleiben rechnest du lediglich immer modulo 7.

Das bedeutet z.B.: $\begin{eqnarray*} 5+4=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 6\cdot 6 = 1 \end{eqnarray*}$ , um dir einige Beispiele zu geben.
Da siehst du dann auch gleich, dass das mit der Anordnung so eine Sache ist.

Du solltest dich mit dem Konzept der endlichen Körper genauer auseinandersetzen (z.B. der Körper, die Manus genannt hat, zu denen der obige zählt).

Gruß
MI

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