adjungierte abbildung

25.04.2010, 11:41

rza

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adjungierte abbildung

hey leutz also ich habe folgendes problem ... und zwar gegeben ist der vektorraum der polynome V über R und $\begin{eqnarray*} D:V--->V,D(f)=f' \end{eqnarray*}$ und dem IP $\begin{eqnarray*} <f,g>:=\int_0^1 \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

naja gut also ich muss jetzt zu einem unterraum von V für den gilt f(0)=f(1)=0
die zu D adjungierte abbildung finden . der unterraum besteht ja nur aus der nullabbildung und somit hat es als basis die leere menge . mit der formel für adjungierte abbildungen kann ich also nicht ran .
naja aber ich kann doch so ran nicht ??
$\begin{eqnarray*} <D(f),g>=\int_0^1 \! 0*g(x) \, dx =0=<f,D^*(g)> \end{eqnarray*}$ aber jetzt weis ich nicht mehr weiter
also ich würde sagen dass die adjungierte abbildung jede funktion auf die null abbildet .
stimmt das ?

25.04.2010, 19:34

Reksilat

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RE: adjungierte abbildung
Hi rza,

Weshalb sollte der Unterraum $\begin{eqnarray*} U:=\{f|f\in V,f(0)=f(1)=0\} \end{eqnarray*}$ nur die Null enthalten? Es ist doch zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x^2-x\in U \end{eqnarray*}$ .

Nein, halte Dich lieber erst mal an die Vorschrift von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , die Einschränkung auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ benötigst Du erst später
$\begin{eqnarray*} \langle Df,g\rangle=\int_0^1f'g\;dx \end{eqnarray*}$
und versuche nun dies in etwas von der Form $\begin{eqnarray*} \int_0^1f\cdot ...\;dx \end{eqnarray*}$ umzuformen, denn das ist ja dann gerade $\begin{eqnarray*} \langle f,...\rangle \end{eqnarray*}$ und Du kannst so Dein $\begin{eqnarray*} D^* \end{eqnarray*}$ ablesen.
Schau zum Beispiel mal auf die Regeln zur Ableitung von Funktionen. Irgendwo taucht da nämlich auch mal der Ausdruck $\begin{eqnarray*} f'g \end{eqnarray*}$ auf.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

25.04.2010, 23:45

rza

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danke für deine antwort....
manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht hahah oje naja jetzt is mir alles klar danke nochmals

26.04.2010, 18:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von rza
manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht hahah oje naja jetzt is mir alles klar danke nochmals

Dann solltest du hier wenigstens schildern, wie du die Aufgabe gelöst hast. Und zwar für andere, die später einmal ein ähnliches Problem haben sollten.

19.04.2011, 23:56

AKeinStein

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das wäre wohl besser gewesen,
ist zwar schon einige Zeit her aber trotzdem smile

smile

wie ginge das denn weiter ?

integrieren mit partieller Integration, und dann in den ersten Teil die grenzen einsetzen
(hier wären die Funtkionswerte ja 0) also stünde da ja noch

- $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \ f(x)*g'(x) dx \end{eqnarray*}$

und was kann ich jetzt hier ablesen ?

Gruß

20.04.2011, 10:49

Reksilat

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Du hast also jetzt $\begin{eqnarray*} \langle Df,g\rangle=...=-\int_0^1fg'\ dx \end{eqnarray*}$
Versuche den letzten Ausdruck doch mal in der Form $\begin{eqnarray*} \langle f,...\rangle \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Das ... ist eben ein Ausdruck in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und gerade das wird dann Dein $\begin{eqnarray*} D^*g \end{eqnarray*}$ sein, denn es soll ja gelten:
$\begin{eqnarray*} \langle Df,g\rangle=\langle f,D^*g\rangle \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

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20.04.2011, 11:22

AKeinStein

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danke,
aber ich weiß nicht so recht, wie ich das in diese $\begin{eqnarray*} \langle f,...\rangle \end{eqnarray*}$ form bringen soll.

ich habe es einfach mal versucht.
es gilt :
$\begin{eqnarray*} \langle Df,g\rangle=\int_0^1f'g\;dx \end{eqnarray*}$

umgerechnet in - $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \ f(x)*g'(x) dx \end{eqnarray*}$

und denn geraten: <f,-g'>

20.04.2011, 11:26

Reksilat

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Richtig. Für alle $\begin{eqnarray*} f,g\in U \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \langle Df,g\rangle=\langle f,-g'\rangle \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} D^*g=-g' \end{eqnarray*}$ .
Das ist eben die duale Abbildung.

Guck Dir noch mal an, wie die duale Abbildung genau definiert ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2011, 16:21

AKeinStein

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kann ich jetzt nicht einfach eine Abbildung definieren:

f^ad : W->V wobei w-> - w'

?

ich weiß nicht so ganz was du mit der dualen abbildung meinst / wofür ich das hier brauche?

hilfe wäre nett smile

smile

20.04.2011, 17:40

Reksilat

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Tschuldigung! Ich meinte eigentlich adjungierte. Ups

Ups

Und natürlich kannst Du eine Abbildung so definieren, aber Du musst doch zeigen, dass die adjungierte Abbildung eben so aussieht.

20.04.2011, 19:06

AKeinStein

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also in der Vorlesung hieß es:

Seien V, W endlichdimensionale euklidische Vektorräume
mit Skalarprodukten (., .)V und (., .)W. Sei f ∈ Hom K(V,W). Dann gibt es genau eine
Abbildung f^ad ∈ Hom K(W,V) mit

(f(v), w)W = (v, f^ad(w))V

aber das skalarprodukt ist ja in beiden Vaktorräumen gleich
also ist

(f(v), w) = (v, f^ad(w))

nur wie zeige ich das jetzt ?

20.04.2011, 20:16

Reksilat

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Was willst Du denn noch zeigen? verwirrt

verwirrt

In der Aufgabenstellung war zu einem gegebenen Skalarprodukt und einer gegebenen Abbildung D die adjungierte Abbildung gesucht. Diese haben wir konstruiert, indem wir eine Abbildung gesucht haben, die <Df,g>=<f,D*g> erfüllt.

Achte darauf, dass v und w aus Deiner Definition hier f und g heißen. Das f aus Deiner Definition heißt hier D.

Gruß,
Reksilat.

20.04.2011, 20:34

AKeinStein

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Zitat:

Original von Reksilat
Guck Dir noch mal an, wie die adjungierte Abbildung genau definiert ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich dachte, das soll heißen, dass ich noch irgendwas machen muss Big Laugh

Big Laugh

, nicht ?

20.04.2011, 20:48

Reksilat

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Du musst verstehen.
Ich kann Deine Gedenken nicht lesen und wenn Du nicht "Aha!" oder "Alles klar"" schreibst, weiß ich nicht, ob das bereits geschehen ist.

Von meiner Seite ist alles gesagt und ich warte höchstens noch auf Fragen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2011, 20:55

AKeinStein

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achso

smile

ne danke.

ich glaube ich habe verstanden was zu tun ist.
Wofür das ganze gut ist, steht dann wieder auf
einem anderen Blatt Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Was bringt mir so eine Abbildung ?

Ich habe mal versucht, dass ganze für mich verständlich
auszudrücken:

wenn also f eine Abbildung von V nach W ist
dann ist geht die adjungierte Abbildung von
W nach V. und es muss gelten:
<Df,g>=<f,D*g>
Daraus ergibt sich aber die Forderung an die beiden
Vektorräume V und W, dass auf beiden ein
Skalarprodukt definiert sein muss. Sonst funktioniert
das ganze nicht und es gibt keine ad. Abbildung.

Theoretisch funktioniert das ganze aber auch,
wenn die beiden Skalarprodukte auf den beiden
Räumen unterschiedlich definiert sind.

20.04.2011, 23:31

Reksilat

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Zitat:

wenn also f eine Abbildung von V nach W ist
dann ist geht die adjungierte Abbildung von
W nach V. und es muss gelten:
<Df,g>=<f,D*g>

Hier bringst Du was durcheinander. Die Abbildung von V nach W ist in diesem Falle D und zudem $\begin{eqnarray*} f\in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in W \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Daraus ergibt sich aber die Forderung an die beiden
Vektorräume V und W, dass auf beiden ein
Skalarprodukt definiert sein muss.

Das Skalarprodukt sollte schon vorher da sein, denn andernfalls ergibt es gar keinen Sinn, von der adjungierten Abbildung zu reden. Der Begriff der adjungierten Abbildung ist immer nur bezüglich gewisser Skalarprodukte von V und W definiert.

Zitat:

Theoretisch funktioniert das ganze aber auch,
wenn die beiden Skalarprodukte auf den beiden
Räumen unterschiedlich definiert sind.

Richtig. Es muss eben immer klar sein, auf welche Skalarprodukte man sich bei den Betrachtungen bezieht.

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