Funktion richtig ableiten

25.04.2010, 16:50

magoroth

Funktion richtig ableiten

Meine Frage:
ich bräuchte bei der aufgabe: 10x+x*wurzelaus(25-x²) hilfe.
Kann einer davon den Hochpunkt bestimmen und mir sagen wie er drauf gekommen ist, ich komme einfach nicht auf das gewünschte ergebnis :/
Ich habe es auf verschiedenen wegen probiert aber bin nie zur richtigen lösung gekommen.

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/jahrgang112pdf/Extremwertaufgaben.pdf
Aufgabe nr. ist die aufgabe

Danke schon mal im voraus smile

Meine Ideen:
sollte ich den wurzelausdruck als erstes ableiten oder einfach alles quadieren und dann ableiten?

25.04.2010, 16:57

Airblader

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RE: Funktion richtig ableiten

Zitat:

Original von magoroth
Kann einer davon den Hochpunkt bestimmen und mir sagen wie er drauf gekommen ist,

Nein, siehe Boardprinzip!

Zitat:

Aufgabe nr. ist die aufgabe

Die Antwort " " ist die Lösung auf deine Frage ... oder so ähnlich.

Zur Ableitung:

Kennst du die Produkt- und Kettenregel?

air

25.04.2010, 16:58

Louis1991

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RE: Funktion richtig ableiten
Also erstmal Quadrieren und dann Ableiten ist keine Option, das würde die Funktion ja vollkommen verändern. Wenn du f(x)=x hast, quadrierst du ja auch nicht einfach und leitest dann ab!

Wie du den ersten Summanden (10x) ableitest, sollte dir klar sein.

Der zweite Summand ist schon etwas trickreicher, weil du hier zwei Ableitungsregeln brauchst. Die Produkt- und die Kettenregel.

Die Produktregel besagt:

f(x)= a(x)*b(x)

--> f'(x)= a'(x)*b(x)+a(x)*b'(x)

In deinem Fall ist a(x)= x und b(x)= sqr(25-x²)

Die Kettenregel besagt:

f(x)= h(g(x))

--> f'(x)= h'(g(x))* g'(x)

In deinem Fall ist nun h' die Wurzelfunktion und g(x)= 25-x²

Jetzt solltest du's alleine schaffen können, Komplettlösungen gibt's hier keine Augenzwinkern

MfG

25.04.2010, 16:58

Doreen H.

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RE: Funktion richtig ableiten
also dein problem is bestimmt die wurzel... weil 10x is ja leicht abgeleitet...
ich geb dir mal die regel...

also gesamtableitung der wurzel ist: ableitung der äußeren funktion mal die ableitung der inneren funktion...

Hinweis.. äußere Funktion ist die Wurzel und die innere 25 - x²

Ich hoffe, das hilft dir! verwirrt

25.04.2010, 18:54

magoroth

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ich danke euch für eure bemühungen.

$\begin{eqnarray*} 10x+x*\sqrt(25-x^2) \end{eqnarray*}$
a(x)=10x --> a´(x)= 10

nun der interessante teil^^:

$\begin{eqnarray*} \sqrt(25-x^2) = (25-x²)^{1/2} \end{eqnarray*}$

Kettenregel:

b(x)= h(g(x))

--> f'(x)= h'(g(x))* g'(x)

U= $\begin{eqnarray*} 25-x^2 \end{eqnarray*}$

AF = $\begin{eqnarray*} u^{1/2} \end{eqnarray*}$
AF`= $\begin{eqnarray*} {1/2}u^{-1/2} \end{eqnarray*}$

IF = $\begin{eqnarray*} 25-x^2 \end{eqnarray*}$
IF´ = $\begin{eqnarray*} -2x \end{eqnarray*}$

b(x) = $\begin{eqnarray*} {1/2}(25-x^2)^{-1/2}*-2x \end{eqnarray*}$
b´(x) = $\begin{eqnarray*} -x^2(25-x^2)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

Die Produktregel besagt:

f(x)= a(x)*b(x)

--> f'(x)= a'(x)*b(x)+a(x)*b'(x)

$\begin{eqnarray*} 1*\sqrt(25-x^2)+x*-x(25-x^2)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=10+\sqrt(25-x^2)-x^2*(25-x^2)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

damit sollte ich die erste ableitung gebildet haben. Nun macht mir allerdings die form der funktion zu schaffen, sodass ich nicht mein Hochpunkt x= ... ausgerechnet bekomme unglücklich

mfg mago

25.04.2010, 19:04

Airblader

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Das ist ja ein echtes Wirrwarr, was du da machst! Augenzwinkern

Vorschlag: Wir fangen das nochmal neu an und machen es Schritt für Schritt, okay?

Wir wollen also $\begin{eqnarray*} f(x) =10x + x \cdot \sqrt{25 - x^2} \end{eqnarray*}$ ableiten okay?
Das mit den '10x' hast du ja schon hinbekommen, darum gehe ich darauf nicht weiter ein.

Was sehen wir dem hinteren Teil der Funktion an? Zunächst mal ist es ein Produkt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 10x + \underbrace{x}_{u(x)} \cdot \underbrace{\sqrt{25-x^2}}_{v(x)} \end{eqnarray*}$

Und nach der Produktregel gilt dann:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 10 + u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

Wir müssen also u und v ableiten.

Ableitung von u(x)

Das ist einfach und das überlasse ich dir. Was ist die Ableitung von u(x) = x ?

Ableitung von v(x)

Zur Erinnerung: $\begin{eqnarray*} v(x) = \sqrt{25-x^2} \end{eqnarray*}$

v lässt sich nicht direkt ableiten, auch hier müssen wir schauen, was für eine Funktion vorliegt und welche Werkzeuge wir haben. Uns fällt auf, dass v eine verkettete Funktion ist:

$\begin{eqnarray*} v(x) = a(i(x)) \end{eqnarray*}$

mit der äußeren Funktion $\begin{eqnarray*} a(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
und der inneren Funktion $\begin{eqnarray*} i(x) = 25-x^2 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung ist dann nach Kettenregel

$\begin{eqnarray*} v'(x) = a'(i(x)) \cdot i'(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du wieder dran: Was sind die Ableitungen von a(x) und i(x) ?

Beantworte mal diese Fragen. Am Ende werden wir dann alles zusammen haben und können es einfach bausteinartig zusammenbauen. Augenzwinkern

Und genau so solltest du vorgehen: Schritt für Schritt. Einfach einen kühlen Kopf bewahren und nicht chaotisch werden.

air

25.04.2010, 19:09

Louis1991

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Das Tragische ist, dass er, wenn ich das richtig sehe, auf's richtige Ergebnis kommt. Und wie man f'(x)= 0 rechnerisch exakt lösen soll, erscheint mir schleierhaft...

25.04.2010, 19:16

Airblader

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Stimmt, das Ergebnis passt tatsächlich. Darauf habe ich nach dem Gewirr gar nicht mehr geguckt.
@ magoroth: Wenn du magst, machen wir das nochmal geordnet; wenn du denkst, du hast das mit der Ableitung komplett verstanden, lassen wir es gerne aus.

Die Nullstellen von f' zu bestimmen sollte trotz des Aussehens nicht schwer sein, wenn ich das grad recht überblicke!

Edit: Jap, es ist definitiv machbar. Allerdings ist das Ergebnis schuluntypisch nicht besonders schön. @ magoroth: Kann es sein, dass der Fehler schon vorher irgendwo liegt? Welche Aufgabe genau war es denn nun?

air

25.04.2010, 19:41

magoroth

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ich danke dir für deine detailierte und gut nachvollziehende erklärung smile

Die vorgehensweise habe ich soweit verstanden, ich hatte all diese dinge schon, da nun mein abi aber ein wenig her ist möchte ich meine mathekenntinisse wieder auffrischen, weil ich mathe fürs studium benötigen werde und mir mathe auch spaß macht. Ich rechne diese aufgabe nicht, weil ich sie bearbeiten muss, sondern weil ich es gerne möchte und es mir auch tortz schwierigkeiten spaß macht Augenzwinkern

die Aufgabe habe ich von der seite nibis:

Aufgabenseite

Seite 5, Aufgabe 8

Da a=5cm lang ist, habe ich diese zahl einfach in die funktion eingesetzt.

mfg mago

25.04.2010, 19:51

Airblader

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Ja, dann wird das so schon stimmen. Augenzwinkern

Wir haben also die Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 10 + \sqrt{25-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}} \end{eqnarray*}$

Setzen wir also f'(x)=0. Multipliziere mit diesem ekligen Wurzelterm mal durch, isoliere dann den Summanden mit der Wurzel und quadriere die Gleichung, damit diese Wurzel verschwindet.

Wie weit kommst du?

air

25.04.2010, 20:31

magoroth

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ich versuch mein bestes, aber ich denke, dass meine rechnung nicht deinem gedankengang entspricht und auch falsch ist:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 10+\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=10+\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}} \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} * \sqrt{25-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{25-x^2}=10+\sqrt{25-x^2}-x^2 \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25-x^2=100+25-x^2-x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=100-x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[4]{100} \end{eqnarray*}$

diese lösung ist leider nicht richtig :/

25.04.2010, 20:33

Airblader

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Zitat:

Original von magoroth
--> $\begin{eqnarray*} * \sqrt{25-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{25-x^2}=10+\sqrt{25-x^2}-x^2 \end{eqnarray*}$

Was ist denn da passiert?
Du musst die Gleichung schon richtig durchmultiplizieren, d.h. jeden Summanden. Und links bleibt brav die Null stehen, denn "Null mal irgendwas = Null". Augenzwinkern

air

25.04.2010, 21:43

magoroth

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endschuldige bitte, aber meine konzentration lässt nach, ich weiß auch nocht genau, was ich da für einen quatsch fabriziert habe ^^

ich werde mich nun hinlegen und morgen nochmal die sache angehen Augenzwinkern

ich melde mich morgen, danke für die hilfe smile

gute nacht

26.04.2010, 17:28

magoroth

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$\begin{eqnarray*} f'(x)= 10+\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}} \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} * \sqrt{25-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 10* \sqrt{25-x^2}+\sqrt{25-x^2}^2-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 10* \sqrt{25-x^2}+25-x^2-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 10* \sqrt{25-x^2}+25-2x^2 \end{eqnarray*}$

-->quadrierung der Gleichung $\begin{eqnarray*} =...^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 100* 25-x^2+625-4x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 250-x^2+625-4x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=4x^4+x^2-875 \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} :4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^4+\frac{1}{4}x^2-218.75 \end{eqnarray*}$
-->Substitution

$\begin{eqnarray*} 0=z^2+\frac{1}{4}z-218.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1,2=\frac{-0.25}{2}\frac{+}{-}\sqrt{(\frac{-0.25}{2})^2+218.75} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1=14.6657 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z2=-14.9157\notin \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1=\sqrt{14.6657} \end{eqnarray*}$

ist aber leider nicht richtig unglücklich

eigentlich müsste es doch $\begin{eqnarray*} x1=\sqrt{21.9024 } \end{eqnarray*}$ sein, oder :/

26.04.2010, 18:29

Pavel

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0= 10* \sqrt{25-x^2}+25-2x^2 \end{eqnarray*}$

-->quadrierung der Gleichung $\begin{eqnarray*} =...^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 100* 25-x^2+625-4x^4 \end{eqnarray*}$

Wenn du folgende Gleichung quadrierst:

$\begin{eqnarray*} 0= 10\sqrt{25-x^2}+25-2x^2 \end{eqnarray*}$

So erhältst du

$\begin{eqnarray*} 0= \left(10\sqrt{25-x^2}+25-2x^2\right)^2 \end{eqnarray*}$

und das Quadrat kannst du nun nicht einfach auf alle Summanden verteilen!

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 25 = 5^2 = (2+3)^2 \neq 2^2 + 3^2 = 4+9 =13 \end{eqnarray*}$

Siehste, das geht im Normalfall also nicht! Augenzwinkern

Du könntest zwar nun
$\begin{eqnarray*} \left(10\sqrt{25-x^2}+25-2x^2\right)^2 \end{eqnarray*}$
ausmultiplizieren, aber das würde ich mir an deiner Stelle nicht antun wollen.
(Es bleiben dann auch immer noch Wurzelterme stehen)

Geh also zum Lösen der Gleichung lieber einen anderen Weg.

$\begin{eqnarray*} 0= 10\sqrt{25-x^2}+25-2x^2 \end{eqnarray*}$

Bring nun alle Summanden außer dem mit der Wurzel auf die andere Seite:

$\begin{eqnarray*} 2x^2-25 = 10\sqrt{25-x^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt quadriere!

26.04.2010, 18:37

Airblader

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Das entspricht übrigens genau meinem

Zitat:

isoliere dann den Summanden mit der Wurzel und quadriere die Gleichung

Und nur zur Verdeutlichung: Auch beim von Pavel richtig angeschlagenen Weg links an die binomische Formel denken!

air

26.04.2010, 19:12

magoroth

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$\begin{eqnarray*} 2x^2-25=10\sqrt{25-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x^2-25)^2=10^2\sqrt{25-x^2}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x^2-25)(2x^2-25)=100*25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^4-100x²+625=100*25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4x^4-100x²+625}{100}=25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.04x^4-x²+6.25=25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.04x^4+6.25=25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.04x^4=18.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4=468.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{468.75}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=4.653024 \end{eqnarray*}$

das ist die lösung oder ? Tanzen

26.04.2010, 19:57

magoroth

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$\begin{eqnarray*} f(x)=10x+x*\sqrt(25-x^2) \end{eqnarray*}$

1. Ableitung der Funktion:

Ableitung von $\begin{eqnarray*} 10x= 10 \end{eqnarray*}$
Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt(25-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt(25-x^2) = (25-x²)^{1/2} \end{eqnarray*}$

Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} b(x)= h(g(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)= 25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AF =g(x)^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AF'={1/2}g(x)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IF = 25-x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IF'= 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(x) ={1/2}(25-x^2)^{-1/2}*-2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b'(x) =-x^2(25-x^2)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

Die Produktregel besagt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 10x + \underbrace{x}_{u(x)} \cdot \underbrace{\sqrt{25-x^2}}_{v(x)} \end{eqnarray*}$

Und nach der Produktregel gilt dann:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 10 + u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1*\sqrt(25-x^2)+x*-x(25-x^2)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=10+\sqrt(25-x^2)-x^2*(25-x^2)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 10+\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}} \end{eqnarray*}$

2. Bestimmung der Extrempunkte:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 10+\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (0= 10+\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}})*\sqrt{25-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 10* \sqrt{25-x^2}+\sqrt{25-x^2}^2-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 10* \sqrt{25-x^2}+25-x^2-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 10* \sqrt{25-x^2}+25-2x^2 \end{eqnarray*}$

-->quadrierung der Gleichung $\begin{eqnarray*} =...^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2-25=10\sqrt{25-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x^2-25)^2=10^2\sqrt{25-x^2}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x^2-25)(2x^2-25)=100*25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^4-100x²+625=100*25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4x^4-100x²+625}{100}=25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.04x^4-x²+6.25=25-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.04x^4+6.25=25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.04x^4=18.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4=468.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{468.75}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=4.653024 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4.653024)=10*4.653024+4.653024*\sqrt(25-4.653024^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 55.04586844 \end{eqnarray*}$

Damit beträgt das maximale Fassungsvermögen der Rinne: $\begin{eqnarray*} 55.04586844 cm² \end{eqnarray*}$

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