Adjungierte

25.04.2010, 19:05	bolli23	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjungierte Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ich gar nicht weiter komme und noch nicht einmal eine Idee habe: Sei V ein endlich - dimensionaler unitärer Verktorraum und f: V -> V ein Endomorphismus und f; der adjungierte. Zeige Sie, dass: f genau dann normal ist, wenn ein Polynom p Element von C[t] existiert mit p(f) = f. C ist der Körper der komplexen Zahlen Dazu: Verwendung der Vandermondschen Determinanten zur Lösung des erforderlichen Gleichungssystems sowie den Spektralsatz für normale Endomorphismen (mit Orthogonalprojektion). Kann mir jemand Tipps geben und helfen?
26.04.2010, 10:30	bolli23	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat denn wirklich niemand eine Idee? Mir fällt nichts ein und komme gar nicht weiter.
26.04.2010, 11:46	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde erstmal hinschreiben was gezeigt werden soll. $\begin{eqnarray} ff^ =f^f \Leftrightarrow \exists p \in C[t] ~ p(f) = f^ \end{eqnarray}$ Die Richtung $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ ist nahezu trivial wenn Du mal $\begin{eqnarray} p(f) \end{eqnarray*}$ als Summe schreibst. Am besten Du machst das erst mal.
26.04.2010, 14:15	bolli23	Auf diesen Beitrag antworten »
Die triviale Richtung habe ich schon bewiesen. Aber wie gehe ich an die andere ran???
26.04.2010, 17:29	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch dich erstmal an der Dimension n = 1. Dann mach dir klar, dass f und f* simultan diagonalisierbar sind, d.h. es gibt (ein sogar isometrisches) $\begin{eqnarray} g\in Hom(V,\mathbb C^n), \end{eqnarray}$ so dass sowohl $\begin{eqnarray} gfg^{-1} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} gf^g^{-1} \end{eqnarray*}$ Diagonalmatrizen sind. Das war's dann auch schon.

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