Punkte auf der Riemmannschen Zahlenkugel

Neue Frage »

Bayes Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte auf der Riemmannschen Zahlenkugel
Meine Frage:
Hey,

ich hab folgendes ProblemBig Laugh as Abitur ist geschrieben und nun kommt die Lehrkraft auf die doofe Idee den Rest der Schulzeit mit Projekten zu besetzen und ich habe die Riemann-Kugel abbekommen. Den Sinn dieser Kugel hab ich auch soweit verstanden, doch leider habe ich keine Ahnung wie man Punkte der Kugel mit Hilfe der Koordinaten der komplexen Zahl errechnen kann - und umgekehrt.

Meine Ideen:
Ich bin auf die Idee gekommen, dass man die Kugel ja durchaus in vektorieller Form darstellen kann, dann könnte man ja einfach den Durchstoßpunkt des Vektors Nordpol-PunktAufEbene machen. Es muss doch aber auch anders gehen.

Ein paar Beispiele aus einem Buch:

z = 5 - 12i und ?= 40, ?=-30 (Winkelkoordinaten)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt hier darauf an, wie du die Ebene auf die Kugel projizierst. Das solltest du hier angeben.
 
 
Bayes Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, da bin ich jetzt leider überfragt. Ich bin davon ausgegangen, dass die Riemann-Kugel immer gleich ist - also die Höhe eins besitzt und auf dem Ursprung liegt. Ich hoffe trotzdem ihr könnt mir weiterhelfen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bayes
Ich bin davon ausgegangen, dass die Riemann-Kugel immer gleich ist - also die Höhe eins besitzt und auf dem Ursprung liegt.


Du meinst also, dass der Südpol im Ursprung liegt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und nun kommt die Lehrkraft auf die doofe Idee den Rest der Schulzeit mit Projekten zu besetzen und ich habe die Riemann-Kugel abbekommen.l

Wieso ist das eine doofe Idee? Das ist doch ein interessantes Thema.

Zitat:
Original von Bayes
Moin, da bin ich jetzt leider überfragt. Ich bin davon ausgegangen, dass die Riemann-Kugel immer gleich ist - also die Höhe eins besitzt und auf dem Ursprung liegt. Ich hoffe trotzdem ihr könnt mir weiterhelfen.

Es gibt mindestens 3 gebräuchliche Formen der Riemannschen Zahlenkugel. Wenn man die komplexen Zahlen mit den Punkten (x, y, 0) in einem 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem identifiziert, sind das:

(1) Mittelpunkt der Kugel = (0, 0, 0), Radius =1
(2) Südpol der Kugel = (0, 0, 0), Radius = 1
(3) Südpol der Kugel = (0, 0, 0), Durchmesser = 1

Deine Variante entspricht (3). Ich finde (1) am angenehmsten, aber das ist Geschmackssache. Die grundsätzlichen Eigenschaften der Riemannschen Zahlenkugeln sind in allen Varianten gleich. Die Formeln zur Umrechnung unterscheiden sich natürlich etwas. Du musst dich für eine Variante entscheiden.

Wenn du die Punkte auf der Kugeloberfläche durch Kugelkoordinaten darstellen willst, ist es für die Umrechnung vielleicht am einfachsten, erst einmal die kartesischen Koordinaten eines Punktes der Kugel zu bestimmen, der einer komplexen Zahl z entspricht, und diese dann mit den bekannten Formeln in Kugelkoordinaten umzurechnen.
Bayes Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die ausfürhliche Antwort! Vielleicht um mein Anliegen nochmal ein wenig näher zu erklären: Ich soll 10-15min über die Riemann-Kugel referieren und in der Zeit einbegriffen soll eine Aufgabe sein, die ich meinen Mitschülern soll, damit sie die bearbeiten können. Es ist also jetzt schon klar, dass das relativ wenig Zeit ist, wenn man bedenkt, dass die Beschreibung der Riemann-Kugel schon einiges an Zeit und Verständigung mitsichbringt. Deswegen habe ich mir gedacht, wenn ich einen Punkt in kartesischer Form vorgebe (wie etwa z = 5 - 12i), dass man den dann ganz einfach einem anderen Punkt auf der Kugel zuordnen kann - mit Hilfe einer einfachen Formel oder so ^^. Ich hab schon irgendwo gelesen, dass man die Punkte auf der Kugel mit zwei Winkelkoordinaten angibt; das verstehe ich allerdings auch nicht so genau. Also macht der vektorielle Weg (mit der Kugel K: x²+y²+(z-0,5)² = 0,25 (var.3)) nicht so viel Sinn. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhin und leichtverständlich helfen

P.S. Wenn ihr eine besser Idee für eine Aufgabenstellung für diesen beschränkten Zeitraum habt, dann lasst es mich gerne wissen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Solche Aufgaben haben immer zwei Aspekte:

(1) Du sollst dabei lernen, dich halbwegs selbstständig in ein Thema einzuarbeiten.
Dabei hilft es dir nicht, wenn wir dir hier irgendwelche Formeln vorbeten. Bei der ersten Nachfrage während deines Vortrags stehst du dann auf dem Schlauch. Also lies dich mal selbst in das Thema ein. Wenn du dann konkrete Fragen hast, wird dir hier im Board sicher geholfen.

(2) Du sollst durch deinen Vortrag demonstrieren, dass du die Sache verstanden hast. Nur wenn man etwas verstanden hat, kann man es auch erklären.

Nun sind 10 - 15 Minuten für dieses Thema eine völlig ungenügende Zeit, besonders, wenn darin noch eine Aufgabe für die anderen Schüler enthalten sein soll. Es macht da wenig Sinn, sich im Detail mit Formeln zu beschäftigen. Die kann man als Ergänzung zu verbalen und bildlichen Erläuterungen verwenden.

Eine zentrale Eigenschaft der Riemannschen Zahlenkugel ist es, dass Geraden in der (x, y)-Ebene in Kreise auf der Kugel abgebildet werden. Das könnte man als Aufgabe verwenden. Wenn man als bekannt voraussetzt (oder vorher erläutert), dass der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel einen Kreis ergibt, lässt sich das mit elementarer Vektorrechnung schnell zeigen. Und es ist anschaulich einsichtig.
Bayes Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Huggy, mir ist wirlklich klar das ich das allles selber verstehen muss und es tut mir leid, dass das jetzt vielleicht falsch rübergekommen bin. Ich will mich da auch wirklich reinarbeiten, hab ja immerhin noch eine Woche Zeit, es ist nur so, dass ich absolut kein Material vorliegen habe, außer einer Zeichnug von der Kugel. Ich bin auch bestimmt nicht zu faul um Google zu bemühen, aber etwas wirklich anschauliches, das mir von Grund auf den Sachverhalt der Kugel erklärt, konnte ich einfach nicht finden, vielleciht hab ich es ja auch übersehen. Also falls du eine Seite kennst die das kann, bin ich absolut bereit um mich da hinein zu arbeiten. Ich nehme auch gerne Literaturtipps an! Denn nur mit der Zeichung macht es ja keinen Sinn unglücklich
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Literatur: Da kannst du jedes Buch zur Funktionentheorie nehmen. Je elementarer, desto besser für dich.

Veranschaulichung: z. B. http://haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe...emann-kugel.htm

Formeln: Da solltest du auch unter "Stereografische Projektion" suchen.
Z. B. http://www.schelklingen2000.werner-knobe...Doku/node5.html
Bayes Auf diesen Beitrag antworten »

Moin Huggy, ich habe mich jetzt etwas intensiver mit der Kugel und zudem der Stereographischen Projektion beschäftigt und bin zu folgendem Entschluss gekommen: Das Herleiten von den Formel zur Berechnugn der Koordinaten ist zwar ganz nett und sogar verständlich, allerdings sprent das den Zeitrahmen völlig. Deshalb werde ich wohl zunächst elementares über die Riemann-Kugel erzählen (praktisch, weil kompakt usw.) und dann noch die zeichnerische Herleitung der Punkte auf der Kugel (durch Nordpolverbindugen). Das wird wohl schon die Hälfte der zeit beanspruchen.

Als praktische Aufgabe habe ich mir deinen Vorschlag noch mal angesehen
Zitat:
Original von Huggy
Eine zentrale Eigenschaft der Riemannschen Zahlenkugel ist es, dass Geraden in der (x, y)-Ebene in Kreise auf der Kugel abgebildet werden. Das könnte man als Aufgabe verwenden. Wenn man als bekannt voraussetzt (oder vorher erläutert), dass der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel einen Kreis ergibt, lässt sich das mit elementarer Vektorrechnung schnell zeigen. Und es ist anschaulich einsichtig.


und ich muss zugeben, der gefällt mir. Aber die Umsetzung ins praktische leuchtet mir noch nicht ganz ein. Ich könnte ja jedem Schüler ein Bild einer Kugel geben, die von einer Tangentialebene geschnitten wird. Wie diese hier: http://haftendorn.uni-lueneburg.de/algeb...mann-kugel2.png
Oder wie hast du dir das vorgstellt? Ich hoffe du kannst erneut helfen,

MfG Bayes
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte eher an einen Nachweis durch einfache Vektorrechnung gedacht. Zu zeigen: Alle Geraden, die man erhält, wenn man die Punkte einer Geraden in der (x,y)-Ebene mit dem Nordpol der Kugel verbindet, liegen in einer Ebene. Das ist ein Dreizeiler in Vektorrechnung.

Bei der Erläuterung der Riemannschen Zahlenkugel sollte man auch erwähnen:
Kreise in der Ebene werden ebenfalls in Kreise auf der Kugel abgebildet.
Wenn sich zwei Kurven in der Ebene schneiden, schneiden sich die Bildkurven auf der Kugel unte demselben Winkel.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »