Primfaktorzerlegung von Polynomen

28.04.2010, 18:03

Mulder

Primfaktorzerlegung von Polynomen

Hallo,

Für folgende Polynome soll jeweils die Primfaktorzerlegung bestimmt werden:

$\begin{eqnarray*} a) \quad t^3+t^2+t+1 \quad \text{in} \, \, \mathbb R[t] \, \text{und in} \, \, \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \quad t^4+t^2+1 \quad \text{in} \, \, \mathbb R[t] \, \text{und in} \, \, \mathbb Q[t] \end{eqnarray*}$

Zur a) findet man ja auf üblichem Wege (Polynomdivision) schon mal

$\begin{eqnarray*} t^3+t^2+t+t = (t+1)(t^2+1) \end{eqnarray*}$

Weiter lässt sich das über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht mehr zerlegen. Dann wäre das ja die Primfaktorzerlegung für $\begin{eqnarray*} \mathbb R[t] \end{eqnarray*}$ , oder? Wie aber verhält es sich mit $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$ ?

Bei der b) habe ich noch nicht so recht einen Ansatz gefunden. Nullstellen hat dieses Polynom in R und Q nicht. Das ist zwar notwendig dafür, dass es prim ist, aber ja nicht hinreichend. Es müssen ja keine Linearfaktoren bei der Zerlegung dabei sein. Nur, wie finde ich die Zerlegung dann?

28.04.2010, 18:23

Elvis

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zu a) Die Zerlegung gilt auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$ . Preisfrage: Kann man den quadratischen Faktor weiter zerlegen ? Tipp: Die Antwort ist "ja".
zu b) Probier's mal mit $\begin{eqnarray*} x:=t^2 \end{eqnarray*}$

28.04.2010, 18:33

Mulder

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Zitat:

Original von Elvis
zu a) [...] Preisfrage: Kann man den quadratischen Faktor weiter zerlegen ? Tipp: Die Antwort ist "ja".

Ich verstehe jetzt leider nicht genau, was du damit sagen möchtest.

Zitat:

Original von Elvis
zu b) Probier's mal mit $\begin{eqnarray*} x:=t^2 \end{eqnarray*}$

Hatte ich probiert... nur, wo führt das hin? Es ergäbe sich ein Polynom mit der Nullstelle -1. Und dann?

Du siehst, ich bin gerade noch etwas unsicher. Augenzwinkern

28.04.2010, 18:45

Elvis

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Zu a) In $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$ gibt es nicht allzu viele lineare Polynome, die kannst du alle mal miteinander multiplizieren, dann kommt bestimmt $\begin{eqnarray*} t^2+1 \end{eqnarray*}$ als Produkt vor.
Zu b) Wieso -1 verwirrt

Ich bekomme 4 komplexe Nullstellen, die quadratische Gleichung in x hilft bei deren Berechnung. Dann hat man also vier Linearfaktoren, die man spaßeshalber miteinander multiplizieren kann. Und dann staune !

28.04.2010, 18:48

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Oder man hat gleich ein "Auge" für $\begin{eqnarray*} t^4 + t^2 + 1 = (t^4 + 2t^2 + 1) - t^2 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

28.04.2010, 19:15

Mystic

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Es gibt da die Geschichte von dem Beduinenfürst, der seine 17 Kamele an seine drei Söhne vererben wollte, und zwar so, dass der erste die Hälfte, der zweite ein Drittel und der dritte ein Neuntel bekommen sollte... Ein weiser Mann, der nach dem Tod des Fürsten um Rat gefragt wurde, wie man diesem Wunsch am besten Rechnung tragen könne, stellte sein eigenes Kamel noch dazu, gab dann jedem der Söhne den Anteil an Kamelen, der dem Wunsch des Vaters entsprach, nämlich 9, 6 und 2, und konnte damit zum Schluß das übrigbleibende Kamel wieder wegnehmen...

Okay, was in aller Welt hat das mit der Faktorisierung von $\begin{eqnarray*} x^4+x^2+1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu tun?... Nun, wir sollten eigentlich dessen Faktoren bestimmen, geben aber stattdessen noch einen weiteren Faktor, nämlich $\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$ dazu, womit wir das Polynom $\begin{eqnarray*} x^6-1 \end{eqnarray*}$ erhalten, das wir faktorsieren müssen... Diese Aufgabe ist aber damit erheblich einfacher geworden...Ich hoffe, du weißt nun selber, wie die Geschichte weitergeht... Augenzwinkern

29.04.2010, 13:15

Mulder

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RE: Primfaktorzerlegung von Polynomen
Danke für die vielen Anregungen. Die a) ist jetzt klar, da ist (t²+1)=(t+1)² in F2.

Für die b) finde ich den Ansatz von Mystic richtig spannend. Freude

Das habe ich jetzt mal probiert. Mit binomischer Formel:

$\begin{eqnarray*} (x^6-1) = (x^3-1)(x^3+1) \end{eqnarray*}$

Jeweils Polynomdivison drauf loslassen liefert schlussendlich dann:

$\begin{eqnarray*} (x^6-1) = (x-1)(x^2-x+1)(x+1)(x^2+x+1) = (x^2-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$

Und damit

$\begin{eqnarray*} x^4+x^2+1 = (x^2-x+1)(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$

Mehr geht über R glaube ich nicht, oder? Ich sehe jetzt nicht so ganz den Unterschied zu dem Fall über Q. Gilt in beiden die gleiche Zerlegung? Bei weiterer Zerlegung würde man ja auf jeden Fall wieder Linearfaktoren erhalten und die könnten nur komplexe Nullstellen enthalten.

29.04.2010, 14:51

Mystic

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RE: Primfaktorzerlegung von Polynomen

Zitat:

Original von Mulder
Für die b) finde ich den Ansatz von Mystic richtig spannend. Freude

Ja, ich hab das auch ganz nett gefunden... Augenzwinkern

Leider gibt es einen noch direkteren Zugang zur Lösung, wie von Arthur oben angeführt (hast das überhaupt gesehen?), wodurch mein Lösungsansatz dann doch etwas an Wert verliert...

Zitat:

Original von Mulder
Mehr geht über R glaube ich nicht, oder? Ich sehe jetzt nicht so ganz den Unterschied zu dem Fall über Q. Gilt in beiden die gleiche Zerlegung? Bei weiterer Zerlegung würde man ja auf jeden Fall wieder Linearfaktoren erhalten und die könnten nur komplexe Nullstellen enthalten.

Spricht denn was dagegen, dass über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ es die gleiche Zerlegung in irreduzible Polynome ist? Die Begründung dafür, dass es hier so ist, hast du ja oben selbst gegeben...

29.04.2010, 15:18

Mulder

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RE: Primfaktorzerlegung von Polynomen

Zitat:

Original von Mystic
Leider gibt es einen noch direkteren Zugang zur Lösung, wie von Arthur oben angeführt (hast das überhaupt gesehen?) [...]

Ja, auch das ist natürlich richtig schön.

$\begin{eqnarray*} (x^4+2x^2+1)-x^2 = (x^2+1)^2-x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt, deinen Weg fand ich jetzt von der Idee her gewitzter. Arthurs Weg ist der kürzeste, deiner der interessante. Für den Übungszettel habe ich ja die Qual der Wahl, was ich aufschreibe. Big Laugh

Zitat:

Original von Mystic
Spricht denn was dagegen, dass über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ es die gleiche Zerlegung in irreduzible Polynome ist?

Nein, gar nicht. Die Aufgabe war eben, es jeweils für R und Q zu machen. Und wenn man noch nicht so ganz in dem Thema drin und dementsprechend noch etwas unsicher ist, dann lässt man sich das Ganze lieber nochmal bestätigen. Hast du ja nun auch getan. smile

Ich danke allen für Hilfe! Wink

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