endliche Durchschnittseigenschaft

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Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »
endliche Durchschnittseigenschaft
Also es geht um die Kompaktheit topologischer Räume. In meiner Mitschrift steht:

Äquivalent zur Kompaktheit von X ist die die endliche Durchschnittseigenschaft, d.h.:

Sind abgeschlossene Mengen von X mit , so gibt es eine endliche Teilmenge B von A (Indexmenge von mit


Müssen aber nicht anstatt der Gleichheitszeichen ungleichzeichen stehen?

EDIT: Nach ungefähr 1 stunde googeln, hab ich eine Erklärung gefunden. Die obige Def. ist demnach richtig.
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun kommt hier doch noch eine Frage hin: Ich soll zeigen,dass die kofinite Topologie, eine unendliche Menge mit kompakt ist.

Also eigentlich soll eine Aussage gemacht werden, ob dieser Raum kompakt ist oder nicht, aber ich bin mir recht sicher das er es ist. kompakt bedeutet im Übrigen nur, das jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Die Hausdorffeigenschaft ist nicht gefordert.

Ich will nun die obige Durschnitsseigenschaft zeigen, und wäre dann ja fertig. Nur irgendwie hapert's etwas:

, wobei ich die Indexmengen nun nicht alle aufschreiben will.

Alle A sind nach Def abgeschlossen und endlich.

Nun ist

Insgesamt würde ich also erhalten, das gilt

Nun ist X aber unendlich, während die rechte Seite doch endlich sein müsste (denn unendlicher schnitt endlicher mengen ist endlich)

Oder kann ich nun eine endliche Indexmenge definieren, und wäre damit fertig?

Danke schonmal im Voraus
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die speziellen Eigenschaften der Mengen in der kofiniten Topologie benutzen.

Grüße Abakus smile
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich das nicht schon gemacht, dadurch das alle abgeschlossenen mengen endlich sind?

welche spezielle eigenschaft haben die mengen denn noch?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ambrosius
hab ich das nicht schon gemacht, dadurch das alle abgeschlossenen mengen endlich sind?


Ja, als Voraussetzung hast du es erwähnt. Nun wäre diese Voraussetzung noch anzuwenden.

Wenn du eine endliche Menge hast und diese mit anderen Mengen schneidest, welche Mengen sind dann besonders nützlich und wieviele brauchst du davon bis die leere Menge rauskommt ?

Grüße Abakus smile
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus

Wenn du eine endliche Menge hast und diese mit anderen Mengen schneidest, welche Mengen sind dann besonders nützlich und wieviele brauchst du davon bis die leere Menge rauskommt ?



Ich kann dir nicht ganz folgen. Ich versteh nicht was noch zu zeigen ist.

Also ich habe



Da die endlich sind, ist auch der Schnitt endlich. Das wiederum impliziert doch schon, das die Durchschnittseigenschaft erfüllt ist. Denn ich kann doch nun eine neue endliche Indexmenge definieren.

Steh ich nun voll aufm Schlauch ?

Danke schon mal im Voraus
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ambrosius
Also ich habe



Da die endlich sind, ist auch der Schnitt endlich. Das wiederum impliziert doch schon, das die Durchschnittseigenschaft erfüllt ist. Denn ich kann doch nun eine neue endliche Indexmenge definieren.



Nur das hier ist die Annahme:



Nun gebe eine endliche Teilmenge von an, die diese Durchschnittseigenschaft immer noch besitzt.

Deine Aufgabe ist es hier, diese endliche Indexmenge explizit zu konstruieren bzw. anzugeben, selbst wenn es offensichtlich ist.

Grüße Abakus smile
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

traurig ich hasse dieses Mengengeplänkel traurig

also offensichtlich ist für mich hier garnix mehr Hammer

Kann ich als B etwa die Indexmenge wählen die die leere Menge indiziert? B ist endlich, und der Schnitt wäre leer, zudem ist die leere Menge abgeschlossen.

ich komm mit dieser aufgabe einfach nicht weiter
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wenn eine der Mengen die leere Menge ist, bist du fertig, weil du die dann wählst.

Sind alle diese Mengen nichtleer, wähle zunächst irgendeine

Diese enthält endlich viele Elemente, etwa

Da der Durchschnitt über alle Mengen leer ist (), gibt es zu jedem der obigen Elemente mindestens eine Menge, die dieses Element enthält, etwa:



(ansonsten wäre der Durchschnitt nichtleer)

Nach Konstruktion ist dann:

Grüße Abakus smile

PS: du magst eher Analysis ?
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das kann man wohl sagen, allerdings kommen solche sachen immer wieder vor, und deswegen muss man sich damit auch beschäftigen, wenns nicht das Lieblingsthema ist.
Nur Übung macht den Meister smile

Jedenfalls werd ich mir die Aufgabe morgen nochmal in aller Ruhe durch den Kopf gehen lassen und bedanke mich für deine Hilfe
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