Lotto mit Reihenfolge

29.04.2010, 18:27

nicosch

Lotto mit Reihenfolge

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgendes Problem: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einer Urne mit N Kugeln k genau in einer Reihenfolge zu ziehen. ich möchte aber nicht eine einzelne Wahrscheinlichkeit, sondern die Verteilung über alle Fälle. Hier ein Beispiel. Angenommen in der Urne sind 32 Kugeln, ich darf vier ziehen und es geht um die Kugeln 1,2,3,4 in dieser Reihenfolge, die als Treffer zählen. Ich suche jetzt die Wahrscheinlichkeit für alle Fälle von 0, 1, 2, 3, und 4 Treffern an der richtigen Stelle. Ich verstehe runter:
4 Treffer: nur die Kombination 1,2,3,4
3 Treffer: alle Kombinationen, bei denen 3 Kugeln an der richtige Stelle stehen, z. B. 1, 2, 3, 10; aber auch 1, 2, 21, 4 oder 9, 2, 3, 4.
Genauso dann eben für die anderen anderen Fälle von 2,1 und 0 Treffern

Meine Ideen:
Die Lösung für 4 treffer ist einfach und steht auch hier:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=391215&hilight=lotto+mit+reihenfolge

Meine weiteren Überlegungen:
N=Anzahl der Kugeln
n=Anzahl der Ziehungen
k=Anzahl der Treffer

- Es gibt insgesamt $\begin{eqnarray*} N!\over(N-n)! \end{eqnarray*}$ Kombinationen n Kugeln aus der Urne zu Ziehen, wenn die Reihenfolge wichtig ist.
- Für den Fall, dass nur k Treffer gezählt wurden (1,2,3,X oder 1,2,X,4, ect) gibt es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, die darunter verstanden werden sollen
- für jede dieser Möglichkeiten k Treffer zu erzielen, stellt sich nun die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, die nicht Treffer zu arrangieren. Die Anzahl der Nicht-Treffer ist jeweils $\begin{eqnarray*} N-k \end{eqnarray*}$ , und diese müssen auf n-k Plätze verteilt werden. Das wäre also $\begin{eqnarray*} (N-k)!\over(N-k-n+k)! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

Das müsste dann heißen, dass die Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} p(k|N,n) = {\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}{(N-k)!\over (N-k-n+k)!} \over {N!\over(N-n)!}} \end{eqnarray*}$

Leider kann das so schon mal gar nicht stimmen, weil
$\begin{eqnarray*} \sum_k p(k|N,n) > 1 \end{eqnarray*}$

Jemand Ideen? Ich glaube, es kann daran liege, dass die Anzahl der Möglichkeiten, die die Nicht-Treffer auf die Nicht-Treffer Position verteilt werden können, anders berechnet werden müssen.

Danke für Eure Hilfe, ich bin hier wirklich am verzweifeln!

30.04.2010, 18:04

nicosch

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kleine Fortschritte
ich glaube, ich weiß wo das Problem liegt, kann es aber leider noch nicht ganz mathematisch formulieren:

für jede der Möglichkeiten, k Treffer zu landen, muss für die (n-k) Nicht-Treffer von t=0 : (n-k) jede Möglichkeit durchgespielt werden, in der
- (n-k-t) der Nicht-Treffer mit Treffer Kugeln besetzt sind (Kugeln, die zum gewünschten set gehören, aber in der flaschen Reihenfolge, siehe Beispiel unten) und
- t Nicht-Treffer mit Nicht-Treffer-Kugeln besetzt sind

Angenommen, man hat 32 nummerierte Kugeln und es geht um die Kugeln 1,2,3,4 (in dieser Reihenfolge). Wenn man jetzt den Fall "ein Treffer" hat, dann gibt es
- 4 Möglichkeiten, wo der eine Treffer sein könnte (1XXX; X2XX; XX3X; XXX4; wobei X mal für Nicht-Treffer stehen soll)
Nehmen jetzt wir mal an, der Treffer ist Kugel 1, die an erster Stelle gezogen wurde. Dann gibt es für diesen Fall wiederum 4 Fälle:
- (a) alle nicht Treffer sind aus den Kugeln 5-32 (aus Nicht Treffer Kugeln), z.B. (1,32,16,18)
- (b) zwei nicht Treffer sind aus den Nicht Treffer Kugeln 5-32, eine ist aus den Treffer-Kugeln 2-4, die aber an der falschen Stelle erscheint. (Z. B. 1,32,16,2),
- (c) ein Nicht-Treffer aus den Kugeln 5-32, 2 aus den Kugeln 2-4, z.B. 1,32,4,2, oder
- (d) alle Nicht Treffer sind aus den Kugeln 2-4, nur falsch angeordnet, z.B. 1,3,4,2.

Man braucht also

- die Anzahl der Möglichkeiten, k Treffer zu erzielen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

- die Anzahl der Möglichkeiten, t der Stellen, die nicht Treffer sind, aus den Nicht-Treffer Kugeln zu ziehen:

$\begin{eqnarray*} (N-n)! \over (N-n-t)! \end{eqnarray*}$

- die Anzahl der Möglichkeiten, n-k-t der Stellen, die Nicht Treffer sind, aus den verbleibenden n-k Treffer Kugeln zu ziehen, allerdings exklusive der Möglichkeiten, dass mindestens eine dieser relevanten Kugeln an der richtigen Stelle landet:

$\begin{eqnarray*} {(n-k)! \over (n-k-t)!} - \sum_{i=0}^{t} \begin{pmatrix} n-k \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die letzteren beiden Terme, müssen dann über t=0 : (n-k) summiert werden:

$\begin{eqnarray*} p(k|N,n) = {{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}} \sum_{t=0}^{(n-k)} \left[ {(N-n)! \over (N-n-t)!} + {(n-k)! \over (n-k-t)!} - \sum_{i=0}^{t} \begin{pmatrix} n-k \\ i \end{pmatrix} \right] \over {N! \over (N-n)!}} \end{eqnarray*}$

Da stimmt soweit wieder nicht, aber ich dachte, jetzt wo ich es noch weiter seziert habe, kann jemand anderes besser einsteigen/meinen Fehler sehen. Ich vermute mal, dass der Fehler bei der Berechnung des letzten Termes liegt.

Danke!!

30.04.2010, 22:14

wisili

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RE: Lotto mit Reihenfolge
Es gelte:
N = Anzahl der Kugeln
n = Anzahl der Ziehungen je einer Kugel ohne Zurücklegen (aus deren N) = Anzahl der Gewinnzahlen
k = Anzahl der gezogenen Gewinnzahlen (aus deren n)
n-k = Anzahl der gezogenen Nicht-Gewinnzahlen (aus deren N-n)

Dann beträgt die W'keit, k Gewinnzahlen und n-k Nicht-Gewinnzahlen zu ziehen (gemäss hypergeometrischer Verteilung):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} N-n \\ n-k \end{pmatrix} \over \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Siehe auch hier, mit M=n)

Die Bedeutung der Reihenfolge ist aus der Frage oben nicht klar hervorgegangen. Du möchtest noch zusätzlich vorgeben, dass k1 Treffer am «richtigen» Ort stehen, folglich k-k1 Treffer an einem falschen Ort. Oder ist k1=k? Fragen über Fragen

04.05.2010, 13:38

nicosch

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hi wisili,

danke für deine antwort. das ist leider nicht wonach ich suche. die hypergeometrische verteilung gibt die wahrscheinlichkeit an, dass man genau ein, zwei, drei usw treffer landet, allerdings ohne reihenfolge. wieder angenommen die kugeln sind von 1-32 nummeriert, und es geht mir um die kugel 1,2,3,4. dann gilt die verteilung, die du angegeben hast, dass ,7,10,12,1 als ein treffer zählt, weil eine 1 gezgen wurde. in meinem fall soll eine gezogene zahl nur als treffer gelten, wenn sie unter den zahlen 1,2,3,4 UND an der richtigen stelle gezogen wurde (also 1 an erster stellen, zwei an zweiter stelle) usw. Es kann also auch den (extremen) Fall geben, dass alle vier in Frage kommenden Kugeln gezogen werden, es aber als 0 Treffer gezählt werden würde, weil alle an der falschen stelle sind, z. b. 3,4,2,1.

Die hypergeometrische verteilung ist also ein guter anfangspunkt, nur dass man bedenken muss, dass gesucht ist p(k) = k Treffer UND k Treffer an der richtigen Reihenfolge. Das ist aber noch nicht alles, weil man jene Fälle, die nach der hypergeometrischen Verteilung als k Treffer zählen würden, unter der hier gesuchten Verteilung aber als k=x Treffer gelten würden, auch bei der gesuchten Verteilung unter k=x addieren müsste. Also z. B. alle Fälle, die nach der hypergemetrischen Verteilung als k=4 gelten (wie oben, 3,4,2,1), unter der hier gesuchten Verteilung aber als k=0 gelten würden.

Beantwortet das deine Fragen?

Danke, Nico

04.05.2010, 14:22

wisili

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RE: Lotto mit Reihenfolge
Ich nehme mal k1=k an. Dann ist (n über k) mit 1/k! zu ersetzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} N-n \\ n-k \end{pmatrix} \over {k !} \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist mir aber nach wie vor unklar, ob mit «k Treffer an der richtigen Stelle» gemeint ist, dass es keine weiteren Treffer mehr geben darf, oder schon (aber am falschen Ort). Wahrscheinlich meinst du den letzteren Fall; hiefür gilt meine Antwort NICHT.

04.05.2010, 14:41

nicosch

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RE: Lotto mit Reihenfolge
ok, ich glaube das geht in die richtige richtung. zuerst zu deiner frage: ja, ich meine mit "k treffer an der richtigen stelle", dass es weitere treffer geben kann, aber am falschen ort.

die verteilung, die du oben angibst jetzt, zeigt mir also die wahrscheinlichkeiten für jene fälle an, dass es k treffer an der richtigen stelle gibt, und unter den restlichen gezogenen zahlen (n-k), keine treffer zahl (an der falschen stelle) dabei ist?

04.05.2010, 16:06

wisili

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RE: Lotto mit Reihenfolge
Ja, so meinte ich es. Leider habe ich im Moment nicht die Zeit, über dein allgemeineres Problem nachzudenken.

28.01.2020, 22:18

Rolandon

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Lotto mit Reihenfolge Beispiel - Lottozahlen 30.7.2014
Interessanterweise kam es am 30.7.2014 im Lotto fast zu einem solchen Fall, als 5 Lottozahlen in der Reihenfolge waren lottozahlen.de/2014-07-30/, nur die sechs fehlten: 9,10,11,12,13

Ich habe irgendwo gelesen, dass solche Fälle 6x seltener sind als eine zufällige Kombination, weil es 6x mehr zufällige Kombinationen gibt, als es Lottozahlen-Kombinationen in der Reihenfolge gibt.

28.01.2020, 22:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rolandon
Ich habe irgendwo gelesen, dass solche Fälle 6x seltener sind als eine zufällige Kombination, weil es 6x mehr zufällige Kombinationen gibt, als es Lottozahlen-Kombinationen in der Reihenfolge gibt.

Jede Auswahl von 6 aus 49 sollte gleichwahrscheinlich sein - andernfalls ist mit dem Ziehungsgerät was nicht in Ordnung.

Was anderes ist es, die Wahrscheinlichkeit von "genau 5 direkt aufeinander folgende Gewinnzahlen" zu berechnen, die ist

$\begin{eqnarray*} \frac{45\cdot 42+2}{\binom{49}{6}} = \frac{43}{317814}\approx 0.0001353 \end{eqnarray*}$ .

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