Probleme mit Galois Feld GF(2^8)

27.10.2006, 17:18

Ishildur

Probleme mit Galois Feld GF(2^8)

Hallo zusammen
Ich bin gerade dabei, mir den Rijndal Verschlüsselungsalgorithmus anzueignen, habe allerdings massive Verständnisfrage bezüglich dem Galoisfeld GF(2^8). Insbesondere weil ich sehr wiedersprüchliche Aussagen im Netz finden.

Also was ich bspw. überhaupt nicht verstehe ist, wieso man bei einer Addition einfach xor'en kann und wieso eine subtraktion einer addition entspricht. Beim GF(2) ist mir dies ja schon klar, da dieser auf Mod 2 basiert, und (1+1)mod2 = (1-1)mod2 = 0. Aber der Rijndael Algorithmus benutzt ja ein Galoisfeld von GF(2^8) = GF(256) = {0,1,2,3,...253,254,255}. Benutzt also auf Mod256 und (1+1)mod256 != (1-1)mod256, oder etwa nicht :rolleyes: ???

Bei der Multiplikation verstehe ich überhaupt nichts mehr: Ich lese folgende Definition:

c(x) = (a(x) * b(x)) mod x8 + x4 + x3 + x + 1
Wenn ich also folgende Zahlen habe: 0x57 * 0x83, dann mache ich doch:
0x57 * 0x83 mod 0x11b = 4D

Aber in der Doku steht 0x57 * 0x83 = 0xC1
Ich blicke einfach nicht durch!

Wäre wirklich cool, wenn mir jemand helfen könnte, bin echt am verzweifeln!
Lg Ishildur

31.01.2007, 22:04

MatzeJ

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Hi.

Du hast natürlich recht, in GF(2^8) wird normalerweise mod 256 gerechnet.

Bei AES ist das etwas anders, dort findet eine byteweise Verarbeitung statt und die 8 Bits eines Bytes werden mod 2 (also in GF(2)) gerechnet. Insgesamt findet also immernoch eine Rechnung in GF(2^8) statt, nur für die einzelnen Bits in GF(2). Damit wäre der Bezug hergestellt...

Vielleicht hilft es ja ein wenig (auch anderen, ich musste lange danach suchen und dieses Topic war ziemlich weit oben bei google)...

Cu, Matze

31.01.2007, 23:10

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Zitat:

Original von MatzeJ
Du hast natürlich recht, in GF(2^8) wird normalerweise mod 256 gerechnet.

Ganz und gar nicht: $\begin{eqnarray*} GF(2^8) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(256\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ sind nicht isomorphe Ringe. Das sieht man schon daran, dass ersterer ein Körper ist, letzterer nicht.

01.02.2007, 07:57

MatzeJ

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Ok, dann habe anders: Rechnungen im GF(2^8) führen zu Zahlen im Bereich [0..255]. So besser? Bin halt kein Mathe-Pro wie ihr Augenzwinkern

01.02.2007, 22:58

Leopold

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Du kannst natürlich den 256 Elementen des Galois-Feldes $\begin{eqnarray*} 2^8 \end{eqnarray*}$ die Namen $\begin{eqnarray*} 0,1,2,\ldots,255 \end{eqnarray*}$ geben. Aber mehr als Namen sind das dann nicht. Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ hat das jedenfalls nicht viel zu tun. Es wäre daher besser, du gäbest den Elementen diese Namen erst gar nicht (um auch solche unangenehmen Erscheinungen wie $\begin{eqnarray*} 0 = 3+3 \neq 6 \end{eqnarray*}$ zu vermeiden). Wie Arthur vermute ich, daß du schlicht den Körper $\begin{eqnarray*} \operatorname{GF}\left( 2^8 \right) \end{eqnarray*}$ mit dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} / (256 \, \mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ , also dem Rechnen mit ganzen Zahlen modulo 256, verwechselst.

02.02.2007, 07:59

MatzeJ

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Nein, nicht mehr. Hat sich erledigt.

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