Grenzwert im komplexen

27.10.2006, 17:20

KalBerdok

Grenzwert im komplexen

Hallo zusammen.

Bin leider mit dem Konvergieren im komplexen nicht so vertraut. Brauche für eine Numerik-Aufgabe nun folgendes:
Soll n gegen unendlich laufen lassen. Wie muss ich h aus IR wählen damit der Grenzwert gegen 0 läuft. Bei 2 der 3 soll die Wahl von h egal sein, bei einem weiss ich nur vom Dozenten das h sehr klein sein muss.
$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C, Re \lambda < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) (1+h* \lambda ) ^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) (1-h* \lambda ) ^{-n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c) ({\frac{1+h/2* \lambda }{1-h/2* \lambda }})^n \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich also die Konvergenz im komplexen ?

Gruss
KB

27.10.2006, 19:15

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert im komplexen
Was sind deine Ideen bzw. wo hakt es ?

Grüße Abakus smile

**** verschoben nach Numerik ****

27.10.2006, 20:10

KalBerdok

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das ganze in IR abspielen würde, hätte ich keine Schwierigkeiten.

bei a) $\begin{eqnarray*} Ist |1+h* \lambda | < 1 <=> -1 < 1+h* \lambda < 1 => -2 < h* \lambda < 0 <=> \frac{-2}{\lambda} > h > 0, also: h \in (0, \frac{-2}{\lambda}) \end{eqnarray*}$
ist dies erfüllt so würde die Folge gegen 0 konvergieren...
aber für \lambda komplex kann man das ja nicht so machen (wobei der reelle Teil ja negativ sein soll).

Gruss
KB

28.10.2006, 01:59

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert im komplexen
Für a) hast du etwa $\begin{eqnarray*} ||(1+h* \lambda ) ^n|| = ||(1+h* \lambda )|| ^n \end{eqnarray*}$

Vorstellbar ist die komplexe Multiplikation (siehe hier) ja als Drehstreckung. Nun gibt es 3 Fälle zu unterscheiden: der Betrag ist genau 1, oder größer 1, oder kleiner 1.

In jedem dieser Fälle ergibt sich ein bestimmtes Verhalten der Folge.

Grüße Abakus smile

28.10.2006, 14:05

KalBerdok

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich alles richtig verstanden habe, konvergieren die ganzen Folgen nur dann, wenn

- sie im inneren des Einheitskreises der Polarebene liegen (r<0, der Winkel Phi ist egal) -> gegen 0
- auf dem Einheitskreis liegen (r=1) -> der Einheitskreis wird durchlaufen bzw. nur einzelne Punkte des Einheitskreises
- nicht im Einheitskreis liegen (r>1) -> divergent

Vielleicht schaffe ich heute noch die Folgen genauer zu untersuchen, danke bisher!

Gruss
KB

28.10.2006, 17:35

KalBerdok

Auf diesen Beitrag antworten »

ok denke bei a) und b) klappt das ganz gut, betrachte den Fall, wo der Radius kleiner 1 ist.
$\begin{eqnarray*} habe \lambda = \lambda_R+i*\lambda_I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) h < \frac{-2*\lambda_R}{\lambda_R^2+\lambda_I^2} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} h > \frac{2*\lambda_R}{\lambda_R^2+\lambda_I^2} => h>0 \end{eqnarray*}$
beliebig
Bei c) habe ich dann folgendes gemacht:
Damit der Ausdruck in der Klammer kleiner eins ist...muss
$\begin{eqnarray*} || 1+\lambda*\frac{h}{2} || < || 1-\lambda*\frac{h}{2} || \end{eqnarray*}$
dann kam nach etwas rechnung raus:
h > -h => h > 0.

Nun meine Frage wieso durfte ich das so machen?
Also: $\begin{eqnarray*} ||\frac{a}{b}|| < 1 => ??? ||a|| < ||b|| bzw. wieso gilt ||\frac{a}{b}||= \frac{||a||}{||b||} \end{eqnarray*}$
Wenn ich den Radius ausrechne, so rechne ich doch im Prinzip die euklidische Norm aus, oder?

Gruss
KB

28.10.2006, 18:08

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt nicht einzeln nachgerechnet, doch bedenke folgendes: wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst (dividierst), kehrt sich das Ungleichheitszeichen um (bei a) zB müsstest du noch eine Bedingung dazukriegen?).

Zitat:

Nun meine Frage wieso durfte ich das so machen?
Also: $\begin{eqnarray*} ||\frac{a}{b}|| < 1 => ??? ||a|| < ||b|| bzw. wieso gilt ||\frac{a}{b}||= \frac{||a||}{||b||} \end{eqnarray*}$
Wenn ich den Radius ausrechne, so rechne ich doch im Prinzip die euklidische Norm aus, oder?

Das ist eine Rechenregel für den Betrag bzw. die Norm. Eine Norm ist ein Begriff für Vektorräume, wenn du also $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ als Vektorraum geeignet auffasst, kommt das hin.

Grüße Abakus smile

28.10.2006, 20:21

KalBerdok

Auf diesen Beitrag antworten »

aso, habe ich vielleicht vergessen zu zusagen: h soll größer null sein...h misst die Schrittweite...
in der Rechnung von a) und b) hatte ich h in der 1. und 2. Potenz stehen. habe anschließend durch h geteilt und das Ungleichheitszeichen so gelassen (da ich nur die Fälle betrachte wo h>0 ist), bin noch mal die Rechnung durchgegangen, wenn ich das Ungleichheitszeichen dann noch mal wechseln würde (weil h<0 theoretisch auch möglich wäre), so hätte ich 2 Fälle.
In a) und b) gibt es dann den Fall der schon unten bei mir im Beitrag steht und den Fall wo das Ungleichheitszeichen geändert ist...

Danke Abakus für deine Hilfe.

Gruss
KB

28.10.2006, 23:57

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit h>0 ist es ok.

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert im komplexen

Verwandte Themen