Äquivalenzklassen,Repräsentantensystem

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Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen,Repräsentantensystem
Hallo,

habe folgende Aufgabe:

~<=> ist eine Äquivalenzrelation auf .
Geben Sie ein vollständiges Repräsentantensystem an und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse des Punktes (3,4) in .

Also ein Repräsentantensystem ist doch eine Menge, die aus jeder Äquivalenzklasse ein Element enthält. Mein Problem ist nun, dass ich schon immer Probleme damit hatte, Äquivalenzklassen zu bestimmen. Die Äquivalenzklasse eines Elementes enthält doch alle Objekte, zu denen es in Relation steht,oder verstehe ich das falsch?
Meines erachtens gibt es dann hier nur eine Äquivalenzklasse und zwar:
{(),(),(),(),(),()} Ich befürchte fast,dass das falsch ist...

Die Äquivalenzklasse des Punktes (3,4) wäre doch dann {(3,4),(4,3),(-3,4),(-3,-4),(3,-4),(4,-3),(-4,3),(-4,-3),(5,0),(0,5),(-5,0),(0,-5)} da in allen Fällen das Ergebnis 25 ist, also +=25=+...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Obs nur ein Zufall ist?

air
 
 
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, habe das Thema auch gerade entdeckt als ich meinen Beitrag auch gepostet hatte. Da war wohl jemand schneller als ich und steht vor demselben Problem Big Laugh
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Okay habe noch ein bissl weiter probiert und ich glaube, die Äquivalenzklasse von dem Punkt (3,4) ist undendlich groß,sodass man gar nicht alle angeben kann. Ich habe nämlich mal meine die Punkte, die ich in der Äquivalenzklasse angegeben habe eingezeichnet und wenn man sie alle verbindet, bilden sie einen Kreis und jeder Punkt auf diesem Kreis gehört in die Äquivalenzklasse. Stimmt das? verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Beobachtung ist korrekt.
Wir suchen ja alle Paare (x,y), so dass x²+y² = 25 ergibt. Dies stellst du nach y um und du erhälst eine Kreisgleichung:



(Nicht von den zwei unterschiedlichen Farben irritieren lassen).
Es hat ja niemand verlangt, dass du alle Paare angeben sollst (was, wie du sagst, unmöglich wäre). Du sollst es ja nur skizzieren, was mit dem Kreis bereits getan ist. Augenzwinkern

Jetzt denke mal genau über diese Kreissache nach. Mach vielleicht das selbe mal für einen anderen Punkt als nur (3/4). Was stellst du fest?
Mit dem Repräsetantensystem willst du nachher ja eine Menge, die aus jeder Äquivalenzklasse (wie diese aussehen solltest du nach dem "Was stellst du est?" wissen) genau ein Element enthält.

air
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also jede Äquivalenzklasse bildet einen Kreis in diesem Fall.
Allgemein könnte man für den Punkt (3,4) die Ä.-klasse so beschreiben: [(3,4)]={(x,y)} wobei ist.
Das gleiche kann man auch mit jedem anderen Punkt machen.

Für's Repräsentantensystem will ich jetzt genau ein Element aus jeder Äquivalenzklasse....mhm... verwirrt
Also der Punkt (0,y) ist doch z.b. in jeder Äquivalenzklasse.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir es mal anschaulich:

Du willst eine Menge finden, so dass diese Menge geschnitten mit einem Kreis von beliebigem Radius nur einen Punkt enthält.
Wie sieht so eine Menge anschaulich z.B. aus, wenn du nun weißt, dass die Äquivalenzklassen Kreise sind?

air
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie bin ich jetzt vollkommen verwirrt... die Kreise werden sich doch niemals alle in einem Punkt schneiden...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst auch nicht, dass sich die Kreise in einem Punkt schneiden!
Du suchst eine Menge, die mit einem beliebigen Kreis immer nur genau einen einzigen Punkt gemeinsam hat.

Und schlauerweise wählst du diese Menge so, dass dabei ein geometrisches Objekt entsteht, das du beschreiben kannst (also nicht einfach willkürlich).

air
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also nur einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam und geometrisches Objekt...mhm...also ne Gerade fällt dann schon mal weg, die schneidet einen Kreis ja zweimal. Kann also nur eine Strecke/ein Vektor sein, die ab dem Punkt (0,0) losgeht und endet wenn sie den Kreis schneidet.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Auch bei dir: Ein Vektor ist etwas völlig anderes! Ein Vektor ist kein "Pfeil" im Koordinatensystem und schon gar keine Strecke Augenzwinkern

Eine Gerade ist so schlecht schon nicht.
Wie du sagtest: Sie schneidet jeden Kreis aber zweimal.

Was du sagst mit "einer Strecke die bis zum Schnittpunkt geht" ist unbrauchbar. Die Menge darf ja nicht vom "Kreis" abhängen. Es muss eine(!) Menge sein, die mit ALLEN möglichen Kreisen einen Schnittpunkt hat.

Also zurück zu der Idee mit der Gerade, die ist nämlich nicht schlecht:
Welchen Teil kannst du von einer Gerade denn weglassen und was bleibt von ihr über, so dass nur ein Schnittpunkt überbleibt?
Eine Gerade ist in beide Richtungen unbegrenzt. Wir wollen sie nun in eine Richtung begrenzen. Wo wollen wir das tun und wie nennt man sowas?

air
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,habe dann doch in den anderen Thread geschaut, kam nämlich nicht weiter. Hab's jetzt aber (hoffe ich mal) verstanden.

Trotzdem vielen Dank für die Hilfe und vor allem die Geduld. smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne.
Ich hoffe, das war für dich die richtige Entscheidung. Augenzwinkern

Es ist verlockend, sich die Arbeit zu ersparen, ich weiß. Aber du solltest bedenken, dass man viel mehr davon hat, wenn man sich die Lösung selbst überlegt. Sie anzuschauen und zu sagen "Ah - ja, klar!" ist viel einfacher, bringt dir aber in keiner Prüfung etwas. Augenzwinkern

air
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, mir ging's nicht darum, mir die Arbeit zu ersparen, aber ich kam halt nicht weiter und es bringt ja auch nix, wenn ich noch 5 weitere Tage davor sitze, dann zwar selber zum richtigen Ergebnis komme aber der Abgabetermin schon lange vorbei ist. Und etwas neues lernen ist (meiner Meinung nach und dabei meine ich nicht nur Mathe) eine Mischung aus selber ausprobieren und Sachen gezeigt bekommen. Ansonsten bräuchte ich jar gar nicht mehr zur Schule/Uni ooder sonst wohin gehen.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Gezeigt bekommen hast du, was die Begriffe bedeuten und 1-2 Beispiele.
"Selber probieren" ist dann das, was du an dieser Aufgabe tun solltest.

Du wärst auch keine fünf Tage davor gesessen. Und versteh' mich nicht falsch .. mir ist das egal. Ich wollte dir nur sagen, wie ich das sehe. Wenn du meinst, dass es für dich die bessere Entscheidung war, dann akzeptiere ich das. Augenzwinkern

air
newbieee Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung?
Hallo!
Ich lerne grade für eine Klausur und bin bei der Frage: "Was ist eigentlich ein Repräsentantensystem?" auf diesen Thread gestoßen.
Nun war es wie ein Coitus interruptus für mich die Lösung nun nicht zu wissen :-/

Also meine Frage: Wie begrenzt man nun diese Gerade? Und wie sieht ein/dieses Rep-System nun formal aus? Wie muss ich das in einer Klausur aufschreiben?

Danke schonmal smile
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung?
Zitat:
Original von newbieee
Also meine Frage: Wie begrenzt man nun diese Gerade? Und wie sieht ein/dieses Rep-System nun formal aus? Wie muss ich das in einer Klausur aufschreiben?
Ich verstehe nicht ganz wo dein Problem liegt. Ist dir klar, dass die Kreise genau die Äquivalenzklassen bilden? Nun musst du nur noch aus jedem Kreis einen Vertreter auswählen - wie du das machst bleibt dir überlassen, am Besten gehst du dabei aber systematisch vor.
newbieee Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Math1986!
Ja, es ist mir klar, dass jeder Kreis eine Äquivalenzklasse bildet. Und dass man mit einer Geraden vom Ursprung bis in die Unendlichkeit genau einen Repräsentanten jeder Ä-Klasse trifft.
Meine Frage ist nur: Wie sieht die Antwort rein formal aus? Wie schreibe ich das Repräsentantensystem auf?
MfG
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gerade kannst du erstmal auch selbst bezuglich ihrer Richtung festlegen. Wenn wir jetzt mal die positive x-Achse festlegen dann kann man diese als Menge beschreiben als (die Null in der zweiten Koordinate ist fest, es "bewegt" sich nur der erste Teil).
newbieee Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
R={ [(x,y)] | x e R , y=0} ?
Oder wie schreibt man das auf?
Sorry, aber ich habe keine Ahnung und habe nirgens gesehen, wie man das jetzt zu Papier bringt.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Notation ist schon richtig so. Du kannst es auch schreiben als wie ich oben.
newbieee Auf diesen Beitrag antworten »

Ach das war schon alles! Achso.
Vielen, vielen Dank!
MfG
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt noch die Bedingung der Nichtnegativität, da sonst immer zwei Repräsentanten (außer bei der 0) auftauchen. Also:

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