Teilmengen von Teilvektoräumen

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01.05.2010, 16:01	mode	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen von Teilvektoräumen Meine Frage: Hi, habe volgende Aufgabe zu lösen, habe aber keinen Ansatz wie ich das herausfinden könnte, wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Ist die folgende Teilmenge ein Teilvektorraum von IRxIRx.......xIR? {(a1,a2,.....ak) \| Summe(E)(von i=1 bis k) ai=0} Meine Ideen: Ich kenne zwar die Kriterien die für einen Vektorraum erfüllt sein müssen: -Nullvektor muss enthalten sein -abgeschlossenheint bzgl. der Addition und Multiplikation -Inversis -darf nicht leere Mengr sein aber ich komme auf keinen Ansatz
01.05.2010, 16:04	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du "zu viele" Kriterien. Das 4. Kriterium folgt z.B. unmittelbar aus dem 1. Kriterium und wäre dahher unnötig. Allerdings ist das 4. eigentlich das richtige, aber man überprüft es meistens gerade dadurch, dass man zeigt, dass der Nullvektor enthalten ist. Auch dein drittes "Kriterium" ist überflüssig. Wenn du eine Teilmenge eines VRs anschaust und die Verknüpfungen abgeschlossen sind, so müssen ja bereits alle nötigen inversen Elemente existieren. Fangen wir doch mal damit an, zu zeigen, dass der Nullvektor enthalten ist. Dass du da keinen Ansatz hast kann ich mir nicht vorstellen. Du musst ja nur Einsetzen und gucken, ob es stimmt! Edit: Mal so nebenbei ... wir sprechen aber schon vom endlichdimensionalen $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ? air
01.05.2010, 16:25	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das stimmt wohl das die 3 und 4 überflüssig sind. und ja er ist auch endlich dimensonal. Ja ich denke mir das das nicht schwer sein kann, aber inwiefern setze ich das ein. Ich habe ja endlich viele Vektoren, und einer von denen ist der nullvekor oder er ist eben nicht vorhanden. Aber wie setze ich in die summenformel etwas ein und weise damit nach das es stimmt?
01.05.2010, 16:51	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet denn der Nullvektor im IR^n ? air
01.05.2010, 16:58	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm der vektor mit n zeilen, in jeder zeile 0? nur zum verständis für mich: die (a1,a2....) sind einzelne Vektoren und aufsummiert ergeben diese null?
01.05.2010, 17:00	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Teilmenge, die du untersuchen sollst, besteht einfach aus allen n-dimensionalen Vektoren, bei denen die Summe ihrer Einträge Null ergibt. Nehmen wir im IR^3 z.B. (1 1 -2)^t. Hier ist 1 + 1 + (-2) = 0, also ist dieser Vektor in deiner Teilmenge enthalten. Nehmen wir aber z.B. (0 0 1)^t, so ist 0 + 0 + 1 = 1 und damit ist der Vektor nicht enthalten. Macht das vielleicht schon einiges klarer? Der Nullvektor ist also 0 = (0 0 0 ... 0)^t mit eben n Nullen. Was ist die Summe aller Einträge und was folgt daraus über die Tatsache, ob 0 in deiner Menge liegt oder nicht? air
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01.05.2010, 17:06	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
achsooo oh man, ja das macht es definitiv verständlicher. Ja dann ist der nullvektor natürlich enthalten. wenn die summe =1 wäre wäre er nicht enthalten, also wäre es kein Vektorraum. vielen dank ich hatte grade ein vollkommen falsches verständnis von dem ganzen. dann mach ich mich mal weiter an die arbeit und versuch mich am rest für was steht das ^t eigentlich?
01.05.2010, 17:10	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
"^t" bedeutet "Transponiert". Ich mache das, weil wir eigentlich Spaltenvektoren meinen, sie hier aber der Einfachheit halber als Zeilenvektoren notieren. Der Vektor wäre nicht nur dann nicht enthalten, wenn die Summe 1 ergibt, sondern wenn die Summe IRGENDEINEN Wert ergibt, der nicht Null ist. Beim Nullvektor 0 = (0 0 0 ... 0)^t ist die Summe aber 0 + 0 + ... + 0 = 0 und damit ist er enthalten (insbesondere ist die Menge nicht leer). Was du nun zeigen musst: Wenn x und y zwei Vektoren sind, die in der Menge liegen, dann muss auch (x - y) in der Menge sein. Was kannst du dir dazu überlegen und wie weit kommst du? air
01.05.2010, 17:38	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn x und y in meiner menge liegen, ist jweils die summe der beiden 0. also z.B x=(a,a,-2a)^t und y=(4a, -3a,-a)^t x-y =(-3a,4a,a)^t dessen summe istauch null also ist es bzgl. der addition abgeschlossen. stimmt das soweit?
01.05.2010, 17:42	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt, aber eben erstmal nur für diese beiden "Klassen" an Vektoren. Du musst es ja für alle Vektoren zeigen! Fangen wir mal so an: Wir nehmen uns $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x = (x_1, x_2, \ldots , x_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = (y_1, y_2, \ldots , y_n) \end{eqnarray}$ Von denen wir nun n.V. wissen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i = 0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Du sollst nun eine Aussage darüber treffen, ob dann (x-y) auch in der Menge liegt, die potenziell den UVR bildet. D.h. also etwas genauer: Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \left(x_i - y_i\right) = 0 \end{eqnarray}$ ist. Wie kannst du das anstellen? air
01.05.2010, 17:54	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke man kann es dadurch zeigen, man nun die rechengesetze mit summen anwendet, da diese ja in der teilmenge gelten, weil sie auch in IR gelten. also E(x)-E(y)=E(x-y) E(x)=0, E(y)=0 => 0-0=0 bin ich da richtig oder geht das nicht?
01.05.2010, 17:56	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist korrekt Zu guter letzt müssen wir zeigen, dass sich das Ganze mit der Skalarmultiplikation verträgt. - Formuliere, welche Voraussetzungen du nun hast - Formuliere, was du zeigen musst - Versuche dich an dem Beweis Keine Sorge, der Beweis ist ähnlich banal. air
01.05.2010, 18:01	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar hab ich grad gemacht. tausend dank an dich habe da echt ein paar tipps gebraucht. cool das du so schnell geantwortet hast
01.05.2010, 18:02	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Vielleicht magst du den letzten Schritt hier ja auch noch reinstellen. Zum Einen kann ichs dann überprüfen und außerdem komplettiert des den Thread. air
01.05.2010, 18:18	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
noch zu zeigen: Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n(\alpha \vec{x}_{i})=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \sum\limits_{i=1}^n(\vec{x}_{i})=\sum\limits_{i=1}^n(\alpha \vec{x}_{i}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n(\vec{x}_{i})=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \alpha \sum\limits_{i=1}^n(\vec{x}_{i})=\alpha 0=0 \end{eqnarray*}$ => Abgeschlossen bezgl. der Skalarmultiplikation
01.05.2010, 18:19	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas wirr aufgeschrieben, aber im Prinzip in Ordnung! Der Vollständigkeit halber: Daraus folgt nach dem UVR-Kriterium, dass deine Menge einen UVR des IR^n bildet. air
01.05.2010, 18:27	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm mir fällt grad so auf das da steht: $\begin{eqnarray} (\alpha_{1},\alpha_{2},.....,\alpha_{k}) \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i}=0 \end{eqnarray}$ und grieschiche Buchstaben stehen bei uns für Zahlen aus IR.
01.05.2010, 18:29	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass das wo steht? Was das Alpha ist, das du für den Beweis definierst, ist doch dir überlassen. Dein Alpha darf hier ja kein Vektor sein, sondern ein Skalar! air
01.05.2010, 18:36	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aber in der klammer stehen alpha's und keine a's. Also ist das doch eine Menge aus IR. Würde das einen Sinn machen oder wird das eher ein Tippfehler sein?
01.05.2010, 18:37	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe leider keine Ahnung was du meinst. Ein Vektor des IR^n besteht aus n Einträgen reeller Zahlen. Ob man die nun 'a' oder 'alpha' nennt ist doch völlig egal. Auch, als da a's standen waren das nur reelle Zahlen, alles andere wäre ja sinnfrei. air
01.05.2010, 18:47	silend	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar danke, ich glaube dann lief in der vorlesung was durcheinander oder ich hab was flaasch verstanden^^

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