Mengenlehre - Beweise

01.05.2010, 20:04

Tokiomonsta

Mengenlehre - Beweise

Hallo!

Bitte jetzt nicht lachen, aber ich bin in Mathematik eine absolute Null (aber trotzdem durch das Abi gekommen Augenzwinkern

) MUSS mich aber dieses Semester zwangsläufig doch mit der Mengenlehre beschäftigen.

Für die folgenden Formeln muss ich je einen Beweis erbringen:

$\begin{eqnarray*} M\cup (M\cap N)= M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M\cap (M\cup N)=M \end{eqnarray*}$

Ich hab mich mit einer Menge Mathe-Literatur eingedeckt, aber ich kapier's trotzdem einfach nicht. Was mich schon zum Stolpern bringt: In jedem Schrieb zur Mengenlehre geht es immer um drei Mengen. Hier aber nur um zwei. Ansonsten könnte ich ja eventuell diverse Gesetze herleiten...

Aber wie ich hier einen Beweis führen soll kapier ich nicht im Ansatz.

Kann mir bitte jemand helfen?

01.05.2010, 20:49

wisili

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RE: Mengenlehre - Beweise
$\begin{eqnarray*} M\cup (M\cap N) = (M\cup M)\cap (M\cup N) = M\cap (M\cup N) \ \ \subset M = M\cap (M\cup N) = (M\cap M)\cup (M\cap N) = M\cup (M\cap N) \ \ \supset M \end{eqnarray*}$

01.05.2010, 23:52

DarkD

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RE: Mengenlehre - Beweise
Also, wenn ihr die Rechnenregel für Mengen so bewiesen habt, kannst du den Beweis von meinem Vorposter benutzen.

$\begin{eqnarray*} M \cup (M \cap N) = M \end{eqnarray*}$

bedeutet, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} M \cup (M \cap N) \subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \cup (M \cap N) \supseteq M \end{eqnarray*}$

Ich zeige erstmal nur $\begin{eqnarray*} M \cup (M \cap N) \subseteq M \end{eqnarray*}$ den Rest überlass ich dir.

$\begin{eqnarray*} M \cup (M \cap N) \subseteq M \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass JEDES Element, das in der linken Menge ist, in der rechten Menge drin ist.

Und genauo das zeigen wir jetzt.
Sei also $\begin{eqnarray*} x\in M \cup (M \cap N) \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Element.

Dann ist x in M oder in $\begin{eqnarray*} M \cap N \end{eqnarray*}$

Den Fall dass x in M ist, überlass ich dir, ich mach den anderen.

Falls also $\begin{eqnarray*} x\in M \cap N \end{eqnarray*}$ , dann ist x in M UND in N.
Also ist x in M und das war zu zeigen.

So jetzt bis du dran, poste deine Lösungen hier, damit wir die überprüfen können.

02.05.2010, 17:46

Tokiomonsta

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Danke. Ich glaub mein größtes Problem ist mir das alles vorzustellen...

Ich probier's mal:

$\begin{eqnarray*} X\in M M\cup (M\cap N)\subseteq M und: M\subseteq M\cup (M\cap N) x\in M (M\cap N)\subseteq x\in M M\subseteq M\cup (M\cap N) \end{eqnarray*}$

So?

Noch ne Frage: Entweder bin ich blind oder....wie kann ich denn das $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ - Zeichen umdrehen?

02.05.2010, 18:00

DarkD

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Zitat:

Original von Tokiomonsta
Noch ne Frage: Entweder bin ich blind oder....wie kann ich denn das $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ - Zeichen umdrehen?

\supseteq

Irgendwie versteh ich nicht ganz was du da machst. Sowas wie:

Zitat:

Original von Tokiomonsta
$\begin{eqnarray*} (M\cap N)\subseteq x\in M \end{eqnarray*}$

muss falsch sein, weil links eine Menge steht und rechts ein Element aus der Menge.

Machen wir mal folgendes:
Behauptung: $\begin{eqnarray*} M \cap (M \cup N) \supseteq M \end{eqnarray*}$

Ich mach mal den Anfang
Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$

02.05.2010, 22:39

Tokiomonsta

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$\begin{eqnarray*} X \in M \cap (M \cap N) \end{eqnarray*}$

Dann ist

X in M und in $\begin{eqnarray*} (M \cap N) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} X \in M \cap (X \in M \cup X \in N) \end{eqnarray*}$

Oder?

03.05.2010, 19:01

DarkD

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Also im Grunde meinst du schon das richtige, es ist nur noch nicht ganz passend aufgeschrieben.

Zitat:

Original von Tokiomonsta
also

$\begin{eqnarray*} X \in M \cap (X \in M \cup X \in N) \end{eqnarray*}$

Oder?

Schreib das lieber als
$\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \in M \cup N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ bedeutet nicht "und"

Wobei ich mal vermute, dass du am Anfang einmal \cup und \cap vertauscht hast.

Fangen wir nochmal sauber an:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} M \cap (M \cup N) \supseteq M \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$

Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} x\in M \cup N \end{eqnarray*}$ (weil die Menge ja größer ist, und wir durch das Vereinigen nicht ein Element verlieren)

Wir haben also:

$\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in M \cup N \end{eqnarray*}$

So jetzt bist du wieder dran und die Rückrichtung darfst du auch gleich anfangen.

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