Körper konstruieren

27.10.2006, 19:45

Sunwater

Körper konstruieren

Hi...

wir hatten jetzt in der Vorlesung einen Satz:

Sei A ein Ring, m ein Ideal von A. Dann ist A/m ein Körper gdw m maximales Ideal ist.

Jetzt haben wir das ganze über dem Polynomring k[X] betrachtet.
Wir haben festgestellt, dass jedes irreduzible Polynom ein Ideal bildet.

Also k[X]/(P) ist ein Körper. mit P irreduzibel und (P) = {aP, a aus k}

Kann man am Grad von P auch etwas über die Anzahl der Elemente von k[X]/(P) sagen?

weil ich glaube über diesen Satz kann man doch gut zeigen, dass es Körper mit 4, 8 oder 9 Elementen gibt ( was unsere Aufgabe ist )

28.10.2006, 13:18

Abakus

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RE: Körper konstruieren
Die Frage ist, was du über die Elemente des Körpers aussagen kannst. Wieviele verschiedene gibt es ? (-> Modulorechnen)

Grüße Abakus smile

29.10.2006, 12:20

Sunwater

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genau das ist ja meine Frage!

ich weiß nicht, ob ich den einen Satz richtig verstanden habe, danach währe die Anzahl der Elemente im Körper gleich dem Grad des Polynoms, dass ich rausteile...

aber dann könnte ich ja Körper mit beliebigen Elementen ganz leicht konstruieren, denn über dem $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist ja jedes Polynom folgender Form irreduzibel: $\begin{eqnarray*} x^n + x + 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

dass hieße ein Körper mit n Elementen ließe sich konstruieren durch:

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 / (x^n + x + 1) \end{eqnarray*}$

dann könnte ich drei Aufgaben meiner nächsten Übungsserie mit einer Antwort lösen? - das glaub ich nicht...

29.10.2006, 15:47

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
dass hieße ein Körper mit n Elementen ließe sich konstruieren durch:

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 / (x^n + x + 1) \end{eqnarray*}$

dann könnte ich drei Aufgaben meiner nächsten Übungsserie mit einer Antwort lösen? - das glaub ich nicht...

Da fehlt zunächst ein "[X]".

Ansonsten richtig. Der Körper wird mindestens n Elemente haben. Diese Elemente kannst du in Form von Polynomen auch hinschreiben bzw. aufzählen (das meinte ich oben).

Grüße Abakus smile

29.10.2006, 17:58

Sunwater

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und warum mindestens?

29.10.2006, 19:25

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
und warum mindestens?

Schau dir die Restklassen doch mal an:

$\begin{eqnarray*} 0, 1, x, x^2,~..., x^{n-1}, 1+x, 1+x+x^2,~ ... \end{eqnarray*}$

Kannst du alle aufzählen und wenn ja, wie machst du das ?

Grüße Abakus smile

30.10.2006, 11:23

Sunwater

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naja, ich denke ich kann alle aufzählen, indem ich einfach die irreduziblen Polynome bis zum Grad n aufschreibe...

also als Versuch:

dann hätte $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[X] / (x^2 + x + 1) \end{eqnarray*}$ als Elemente:

$\begin{eqnarray*} 0,1,x,x+1,x^2 + 1, x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$

???

30.10.2006, 12:26

Abakus

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Es ist $\begin{eqnarray*} x^2 + x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} x^2 = x + 1 \end{eqnarray*}$ (modulo gerechnet).

Daher kommst du hier auf folgende Elemente:

$\begin{eqnarray*} 0, 1, x, x+1 \end{eqnarray*}$

Für n=3 hättest du:

$\begin{eqnarray*} 0, 1, x, x+1, x^2, x^2 + 1, x^2 + x, x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$

Irreduzibel müssen diese Elemente nicht sein, es wird nur modulo einem irreduziblen Polynom gerechnet. Wie es für beliebige n aussieht, kannst du nun formulieren.

Grüße Abakus smile

30.10.2006, 18:20

Sunwater

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naja für ein Polynom vom Grad n hab ich dann folgende Elemente:

$\begin{eqnarray*} 0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1,x^3,...,x^n,x^n+1,x^n+x,...,x^n+x^{n-1}, x^n + x^{n-1} + 1, ... , x^n + x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x + 1 \end{eqnarray*}$

wenn ich das richtig sehen - hab ich dann im Körper 2^n Elemente?

weil das sieht ja verdammt so aus und lässt sich kombinatorisch bestimmt auch ausrechnen...

30.10.2006, 21:45

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
wenn ich das richtig sehen - hab ich dann im Körper 2^n Elemente?

Ja, so ist es. Für die Angabe von Körpern mit 4, 8, 9 Elementen sollte das im Prinzip reichen. Ggf. musst du es in deiner Lösung nochmal etwas begründen, wieso das so funktioniert (Definition der Körperoperationen, Anzahl der Elemente usw.).

Grüße Abakus smile

31.10.2006, 10:37

Sunwater

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Super - danke für's durchhalten mit erklären!!! Tanzen

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