Rekurrente Formel einer trigonalen Matrix

02.05.2010, 17:28

T0b1a5

Rekurrente Formel einer trigonalen Matrix

Hi,

ich mag garnicht viel sagen. Hier erstmal die ***** Aufgabe :-|

Sei K ein Körper, a,b,c aus K.
$\begin{eqnarray*} A_{n}\left(a,b,c\right)=\left(\begin{array}{cccccc} a & b & 0 & \dots & 0 & 0\\ c & a & b & \ddots & 0 & 0\\ 0 & c & a & \ddots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \text{0} & \dots & c & a & b\\ 0 & 0 & \dots & 0 & c & a\end{array}\right)\in Matn_{nxn}\left(K\right) \end{eqnarray*}$
eine trigonale Matrix $\begin{eqnarray*} \delta_{n}=\delta\left(a,b,c\right):=det\left(A_{n}\left(a,b,c\right)\right) \end{eqnarray*}$
a) Beweisen SIe die rekurrente Fomel $\begin{eqnarray*} \delta_{n}=a\delta_{n-1}-bc\delta_{n-2}\leq2 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \delta_{1}=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta_{2}=a^{2}-bc \end{eqnarray*}$ .
b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix:
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccccc} 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \text{0} & \dots & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 2\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Also:
Bei a) wollte ich zuerst per Induktion die Formel beweisen, will aber nicht. Dann per Laplace-Entwicklung, wollte auch nicht und mehr fällt mir nicht ein.
b) Da krieg ich mittlerweile Wut Big Laugh

Ist es nxn oder 10x10 oder was ist es? Hab mal ein paar Beispiele mit Mapple durchgespielt und bekomme nichts feines raus. Bin ich jetzt schon zu doof die gegebene Formel anzuwenden?

Bin echt ratlos, Kommilitone, der sonst immer einen Rat hat, weiß auch nicht weiter.

Was sagt ihr?

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

03.05.2010, 15:08

Reksilat

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RE: Rekurrente Formel einer trigonalen Matrix
Zu a):
Induktion ist das beste Mittel. Induktionsanfang bei n=3 und im Induktionsschritt eine Laplaceentwicklung nach der ersten Zeile oder Spalte. Sehe nicht, wo da Deine Probleme liegen sollten. Bitte sag wo es scheitert.

Zu b):
Das ist eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix. Der Bezug zu a) brüllt einen ja förmlich an.
Rekursive Formel für die Determinante rausfinden, damit eine Vermutung für die explizite Form aufstellen und diese per Induktion beweisen.
Klingt nach mehr Arbeit, als es wirklich ist. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

03.05.2010, 16:24

T0b1a5

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Okay, danke.

Mussten den Zettel heute abgeben Big Laugh

Ich weiß, kam damit spät an, werde es aber die Tage dann mal machen smile

03.05.2010, 17:39

WebFritzi

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RE: Rekurrente Formel einer trigonalen Matrix

Zitat:

Original von T0b1a5
Sei K ein Körper, a,b,c aus K.

[...]

$\begin{eqnarray*} \delta_{n}=a\delta_{n-1}-bc\delta_{n-2}\leq2 \end{eqnarray*}$ .

Das macht unter den allgemeinen Voraussetzungen gar keinen Sinn. Nur, wenn K ein geordneter Körper ist. Soll vielleicht K = IR sein?

03.05.2010, 17:42

Reksilat

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RE: Rekurrente Formel einer trigonalen Matrix
Hab ich gar nicht gesehen. Big Laugh

Aber $\begin{eqnarray*} \delta_n\leq 2 \end{eqnarray*}$ ist auch für $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ falsch, wie man z.B. bei b) schnell sieht.

08.05.2010, 20:09

T0b1a5

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RE: Rekurrente Formel einer trigonalen Matrix

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von T0b1a5
Sei K ein Körper, a,b,c aus K.

[...]

$\begin{eqnarray*} \delta_{n}=a\delta_{n-1}-bc\delta_{n-2}\leq2 \end{eqnarray*}$ .

Das macht unter den allgemeinen Voraussetzungen gar keinen Sinn. Nur, wenn K ein geordneter Körper ist. Soll vielleicht K = IR sein?

In der Regel wählt man K = R oder K = C, aber auf dem Blatt sind die AUfgaben so gegeben. Morgen ist großer LA Tag, dann wdh. ich das hier Augenzwinkern

09.05.2010, 01:14

Bjoern1982

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Wiederhole es lieber nicht in der Übung , das könnte unter Umständen peinlich werden denn du hast wahrscheinlich einfach nur falsch abgeschrieben Idee!

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~axle...mer/Blatt02.pdf

09.05.2010, 21:37

T0b1a5

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Wiederhole es lieber nicht in der Übung , das könnte unter Umständen peinlich werden denn du hast wahrscheinlich einfach nur falsch abgeschrieben Idee!

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~axle...mer/Blatt02.pdf

Bin ich froh, dass die Übung schon vorbei ist LOL Hammer

Hab das Wochenende quasi nur durchgelernt und da übersieht man Sachen traurig

Die Aufgabe war auf jeden Fall um einiges einfacher als geplant...peinlich ^^

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